Appunti Primo modulo Progetto in zona sismica - Parte 3

I

éh

Allora posso determinare la rigidezza del j-esimo telaio all’i-esimo piano che non è altro:

∑ 12

I ℎ (–)!**( '%(+ %

bhêŒ 7T

ℎ

éh h

h9 ã ≡ 0,

Detto questo valgono le stesse relazioni che abbiamo visto prima, anche qui ipotizziamo da prima che

se abbiamo un centro delle masse posso definire un centro delle rigidezze che hanno delle espressioni

analoghe a quelle che abbiamo visto per le mensole:

I I

- ë

é é

∑ ∑

$ $

I I

ç ç

é Pé é ìé

A differenza di prima, abbiamo sostituito al termine EJ il termine k. Quindi posso scrivere:

J

ä ä áÎ

∑ J

áÎ Î Í áÎ

áÌ ≡ 0),

Se ho un fabbricato mi conviene progettare in modo che C e G coincidono (ã facendo così il

N.B:

fabbricato per effetto dell’azione sismica tende a spostarsi solo in una direzione e non ha rotazioni intorno

all’asse verticale. ≢ 0)

Se C e G non coincidessero (ã e di conseguenza avessi la rotazione,

mi porterebbe a degli aggravi di stati di sollecitazione per gli elementi

0,

resistenti che sono più distanti dal centro di rotazione e quindi dal

0

baricentro delle rigidezze. Avrei come sempre la forza che passa per

-

-

siccome il centro delle rigidezze C non coincide con allora sposto la forza

æ î la distanza tra il centro delle masse

e applico una coppia, chiamo

e il centro delle rigidezze: 146

Allora nasce una coppia data da: Þ - -

h h æ î

Perciò avremo che la forza applicata al j-esimo telaio dell’i-esimo piano sarà data da:

J J ∙ G

ä ä áÎ áÎ á

∑ J ∑ J ∙ G

áÎ Î Î

Í èáÌ

áÎ

áÌ áÎ á

Osserviamo che le due sommatorie sono estese a “m” e “n”, questo perché nella ripartizione che passa per

il baricentro partecipano alla resistenza solo gli elementi che hanno rigidezza nella direzione applicata, invece

per quel che riguarda la ripartizione delle azioni, occorre mettere in conto tutti gli elementi resistenti, anche

quelli che hanno una rigidezza che agisce in direzione ortogonale alla direzione della forza.

Quindi fino ad ora abbiamo esaminato i casi più semplici, cioè quelli dei quali gli elementi irrigidenti sono

tutti dello stesso tipo di rigidezza, perciò in questo caso la soluzione è molto facilitata.

147

Elementi con diverse deformabilità

La realtà spesso è diversa perché se prendo un fabbricato e considero sempre

il piano generico, posso avere la presenza di telai, pareti, elementi scatolari

(vano ascensore) che nello specifico oltre ad avere rigidezze flessionali ha

anche rigidezza torsionale (riesce ad assorbire dei momenti per effetti di

rotazione attorno all’asse z), oppure ci possono essere degli elementi scatolari

aperti, tutto sempre facendo riferimento a un piano infinitamente rigido.

Spesso ci si trova in costruzioni cui sono presenti elementi irrigidenti con diverse deformabilità, ovvero anche

di diversa rigidezza (mensole a taglio e a flessione), allora non è più possibile definire un centro delle

rigidezze, quindi non esiste più un punto per il quale facendo passare la forza si hanno solamene traslazioni

e non esiste più il fatto che il piano che ruota, non ruota ad ogni livello in corrispondenza dello stesso punto,

cioè in corrispondenza dello stesso centro di istantanea rotazione perché questo non è più definito ma

cambia da piano a piano.

Si affronta tale problema nel modo più generale possibile e considero un fabbricato

con tanti piani rigidi e adotto un sistema di riferimento x-y-z.

Se considero il piano generico, prendo l’i-esimo piano e posso dire che se conosco i

ë •

-

movimenti di un punto del piano, ad esempio dell’origine, allora conosco i

é é

-, ë ï *.

e e chiamerò con gli spostamenti secondo

movimenti di tutti i punti del piano

con gli spostamenti secondo e con le rotazioni attorno a

Se considero un generico elemento resistente j e conosco il movimento del piano con una rotazione attorno

all’origine allora posso determinare lo spostamento del j-esimo elemento.

Considerando le rotazioni positive, posso dire che lo spostamento del j-esimo elemento all’i-esimo piano è:

† † ð ∙ â ñ`W BÍ è W WAÎYYWè Bò

áÎ Î Î á

ð ∙ ñ`W BÍ è W A ÎyBò

áÎ Î Î á

ð ð óW BYÎWè

Îá Î

† ð

Il campo di spostamenti è determinato univocamente dalla conoscenza dello spostamento dell’origine e

Î Î Î

pertanto da 3 parametri . Noti gli spostamenti di piano posso ricavare gli spostamenti di ciascun

, ,

elemento di piano e pertanto le forze che assorbono e le loro rigidezze, quindi lo stato di sollecitazione.

Pertanto se ho un edificio di n piani, per ogni piano avrò 3 movimenti indipendenti per cui globalmente avrò

3n incognite. Perciò si procede così: RôSõ]ö õäö

R÷S

Dove:

õXö

• matrice delle rigidezze della struttura (matrice 3n x 3n).

õÞö

• vettore movimenti indipendenti (matrice 3n x 1).

• vettore forze sismiche applicate e ridotte all’origine del sistema di riferimento (matrice 3n x 1).

148 X,

Ora il problema è quello di impostare questo sistema, perché una volta fatto questo le forze sismiche sono

note, costruisco la matrice delle rigidezze, risolvo il sistema e trovo il vettore dei movimenti per ogni piano

conosco allora i movimenti e quindi posso andarmi a determinare per ogni elemento irrigidente quelli che

sono gli effettivi spostamenti nel piano orizzontale e dagli spostamenti posso risalire agli stati di

sollecitazione.

Ciascun elemento irrigidente ha una sua rigidezza per un certo piano per una particolare direzione e possiamo

scrivere la relazione tra le forze di piano e i movimenti, quindi dobbiamo costruire la matrice della rigidezza

del singolo elemento in un sistema di riferimento locale, poi successivamente per costruire la matrice di

rigidezza dell'intera struttura devo sommare la matrice di rigidezza dei singoli elementi; questo lo posso fare

solo se sono espresse con lo stesso sistema di riferimento quindi per ogni elemento dovrò passare dal sistema

di riferimento locale a quello globale.

Abbiamo detto che ci sono diversi elementi resistenti e quindi iniziamo ad esaminare uno alla volta per

vedere come costruire la singola matrice delle rigidezze e incominciamo dal caso semplice di una mensola;

tale problema lo andiamo a risolvere procedendo per passi:

• Creo matrice di rigidezza dell’elemento (caso mensola): ℎ

Partiamo da una mensola, che è un elemento irrigidente caratterizzato da degli EJ,

h

pensiamo di avere tanti piani che li numero da 1 a n, chiamo con l’altezza del generico

••• •••, •••

§ , § §

piano e a questo punto posso definire i gradi di libertà di questa struttura. Ogni nodo

ø

può subire delle traslazioni quindi associamo un che sono gli spostamenti

•••••• •••••• ••••••

§ § §

orizzontali, ma il comportamento della mensola deve tener conto del fatto che anche i

øÉ øÉ øÉø

nodi ruotano perciò avremo , , .

I movimenti indipendenti per una mensola di questo tipo sono traslazione e rotazione, ma quando vado a

trasferire questo elemento dal sistema locale al complesso, le incognite sono solamente le traslazioni in

direzione orizzontale, quindi devo in qualche modo eliminare queste rotazioni e tener conto comunque che

ℎ

i nodi possono ruotare. h

Se prendo il generico elemento irrigidente all’i-esimo piano di altezza si riportano i gradi di libertà a cui

corrispondono delle forze della singola asta di questo elemento (si rappresentano con il soprassegno tutte le

grandezze espresse nel sistema di riferimento locale).

12 12 6 6

Passiamo a ricavare la matrice di rigidezza della singola asta (4x4):

⎡ ⎤

ℎ ℎ ℎ ℎ

9 9

⎢ ⎥

12 12 6 6

⎢ ⎥

ℎ ℎ ℎ ℎ

⎢ ⎥

ú 9 9

R÷ S 6 6 4 2

⎢

ù ⎥

⎢ ℎ ℎ ℎ ℎ ⎥

6 6 2 4

⎢ ⎥

⎣ ⎦

ℎ ℎ ℎ ℎ

149

• Considerazione della matrice della mensola

La matrice di rigidezza della singola asta può anche essere riscritta in questo modo, ma se voglio determinare

la matrice di rigidezza complessiva dell’intero elemento irrigidente, dovrò sommare le matrici delle singole

••• ••••••

aste che la costituiscono: §

§

RI S RI S

I I I

I øÉ

ú úS õ5ö

R÷ S R÷ õ6 ö ;

+

“ “ ’ Ñ w Ñ

’ ’ “ w ⋮ ⋮

ŒŒ Œ™ ŒŒ Œ™ ŒŒ Œ™

I I I I RI S RI S

ù ••• ••••••

§ §

™Œ ™™ ™Œ ™™ ™Œ ™™

•P• øP ø ø øÉø

A questo punto omettendo le parentesi quadre si moltiplica la matrice delle rigidezze al vettore degli

spostamenti e questo deve essere uguale al vettore delle forze:

I I Þ•

6

’ “

ŒŒ Œ™ 5

I I

™Œ ™™

Siccome interessano solo gli spostamenti orizzontali poiché ho applicato solo carichi orizzontali (non abbiamo

momenti): I I Þ•

6

’ “

ŒŒ Œ™ 5

I I 0

™Œ ™™

Queste sono le forze che agiscono sulla singola parete, quindi è la relazione fra le forze e i movimenti.

Ricordiamoci però che questo è sul sistema di riferimento locale, quando vado nel sistema di riferimento

globale, ad ogni piano ho come effetto di movimento la sola traslazione quindi devo eliminare le rotazioni.

Di seguito si ha: Þ•

I ∙6 I ∙ 5 ①

© ŒŒ Œ™