Appunti primo modulo Progetto in zona sismica - Parte 1

R• V

Allo stesso modo si può dire che il valore massimo delle accelerazioni del j-esimo grado di libertà per l’i-esimo

a °± a , °± a °

modo di vibrare, sarà:

In questo modo, per ogni modo di vibrare si riesce a determinare quello che accade in termini di spostamenti

•,

e di accelerazioni, si fa sempre riferimento ai valori massimi, sapendo che questi valori massimi sono modulati

nel tempo con le funzioni che sono delle funzioni di tipo sinusoidale e quindi di tipo armonico.

Essendo per ora in campo elastico non ci interessa la storia di quello che accade ma ci interessa il valore

massimo dello stato di sollecitazione; per cui si può dire anche che per ogni grado di libertà la forza di inerzia

massima che agisce sul j-esimo grado di libertà per l’i-esimo modo di vibrare, sarà data dalla massa del j-

esimo grado di libertà per l’accelerazione massima del j-esimo grado di libertà per l’i-esimo modo di vibrare.

Ma il massimo dell’accelerazione è stato appena scritto, per cui andando a sostituire si ottiene la forza

massima associata a ciascun modo di vibrare:

} ∙ ϕ ∙ v ∙ 3

R V

a °± a a a a °

°±

ϕ

Si può notare come, per ogni modo, la distribuzione delle forze, delle accelerazioni e degli spostamenti hanno

a

la stessa forma poiché funzioni di , per questo motivo si dicono “forze e spostamenti omotetici”.

Generalmente nel caso di forze applicate alla struttura, non ci si aspetta che forze e spostamenti abbiano la

stessa forma.

Allora si ottiene un fatto importante, cioè che per ogni modo di vibrare e quindi per tutte le si ha una

pulsazione, una deformata modale, ma anche un sistema di deformazioni, un sistema di accelerazioni e un

'ϕ ( ' ( ' ( '} (

∀ : 3

sistema di forze. ³ ³ ³ ³

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Andiamo a rappresentare tutto ciò pensando ad un

sistema a più gradi di libertà, dove si hanno le masse da

³

1 a n e si considera la generica massa , in

³

corrispondenza della quale ci sarà . Si ha un modo di

vibrare di questa struttura che dà luogo ad una certa

3

deformazione, per esempio per una generica pulsazione

il primo modo di vibrare è fatto in questo modo, si

hanno spostamenti tutti dallo stesso lato del telaio e

quindi questa è la deformata del primo modo di vibrare:

ϕ, ³´

' ( %Φ& '•(,

∙

è governata nella forma dalla perché se in corrispondenza di ogni piano si hanno le grandezze , dove i è

l’indice di modo e j varia da 1 a n, sapendo che allora la deformata modale assume l’aspetto

di una colonna della matrice modale, in particolare della colonna relativa al modo di vibrare i-esimo.

Se adesso si vanno a scrivere le forze si riconosce che la distribuzione delle forze di

inerzia sulla struttura, ha delle intensità ai diversi piani che hanno lo stesso aspetto

della deformata modale, cioè i rapporti tra le forze sono gli stessi rapporti che si

ϕ

hanno sugli spostamenti. Questo perché se si vanno a vedere le espressioni delle

a

forze, la parte che si modifica nei diversi piani è data da , perché tutti gli altri

termini sono delle costanti; quindi sia la forza che lo spostamento dipendono dalla

stessa distribuzione.

Si ha una distribuzione di forze che genera una deformata che ha lo stesso aspetto della distribuzione delle

forze, questo è un fatto singolare e anomalo rispetto a quello a cui si è abituati, in quanto le cose in genere

non vanno in questo modo. Infatti se si pensa ad una mensola, se si applicano delle forze distribuite secondo

una certa legge la mensola si deforma, però le deformazioni non stanno nello stesso rapporto in cui stanno

le forze, quindi è una situazione particolare che si manifesta solo nel caso di analisi dinamica.

Le forze associate a ciascun modo di vibrare, intendendole sempre come massime, sono:

} ∙ ϕ ∙ v ∙ 3

a a a °

Adesso si prende questa relazione e la si rappresenta dicendo che la forza che riguarda il j-esimo grado di

libertà per l’i-esimo modo di vibrare, si può riscrivere come:

} ∙ ϕ ∙ v ∙ 3 ∙ F

Ž•

•

•

•••

•

••‘

a a a ° a a

° µ¶

La quantità tra parentesi è un’accelerazione visto che l’altro termine è una massa, in particolare è

3

l’accelerazione del j-esimo grado di libertà per l’i-esimo modo di vibrare; vista in questo modo, questa

°

accelerazione non è altro che la parte di che si riversa sul j-esimo grado di libertà per l’i-esimo modo

di vibrare.

In alternativa si possono raccogliere i termini anche in maniera diversa:

} ∙ ϕ ∙ v ∙ 3 ∙ 3

Ž•

••••

•

•‘ ∗

a a a ° °

a

∗

µ¶ ∗

a

La quantità tra parentesi in questo caso è una particolare quantità di massa, che si indica con . Questa

quantità è la parte di massa che partecipa al modo di vibrare (in quanto al suo interno c’è il coefficiente di

v

partecipazione); cioè la quota parte della massa relativa al j-esimo grado di libertà per l’i-esimo modo di

ha questo particolare significato.

vibrare, quindi è come se non tutta la massa partecipasse e il coefficiente

53

%Φ&

Con è stata indicata la matrice modale normalizzata, allora si potrebbe pensare che se si cambia la

v

normalizzazione cambiano anche le forze e le accelerazioni, questo non è vero perché anche il coefficiente

v

è calcolato con la stessa normalizzazione. Allora se ci si ricorda l’espressione del coefficiente di

∑ s

partecipazione , omettendo gli indici: v ∑ s

v

Si riconosce che la è una quantità indipendente anch’essa dalla normalizzazione che si può dare, quindi i

valori delle forze risultano indipendenti dalla normalizzazione, per cui la normalizzazione dei modi di vibrare

si deve fare secondo la forma più conveniente. '} (

3 ³

Per ogni modo di vibrare si ha un set di forze ed è stato visto come possono essere calcolate, allora

se per l’i-esimo modo di vibrare si vanno a sommare tutte le forze applicate alle diverse masse nel generico

^

:

modo di vibrare H ` }

a

ab }

a °

v

Se si va a sostituire l’espressione vista prima per la forza (portando fuori dalla sommatoria ), andando

poi ad esplicitare il coefficiente di partecipazione : ∑ ϕ

^ ^ ^ab

H ` ∙ ϕ ∙ v ` ∙ ϕ ∙ a

∑ ϕ

° a a ° a a ^ab a

ab ab

Poiché il primo termine è uguale a quello presente al numeratore si può riscrivere:

R∑ ϕ V

^ab

H ∙ a

∑ ϕ

° ^ab a

} 3

Questa è l’azione complessiva, se si ha una struttura a telaio con n gradi di libertà, su

³

cui agiscono le forze applicate ad ogni piano dell’i-esimo modo di vibrare , allora

H

facendo la somma di queste forze si ottiene il Taglio alla base dovuto all’i-esimo modo,

che vale . ∗

Andando a proseguire la relazione precedente, il taglio alla base lo si può riscrivere

considerando che la quantità data dal rapporto non è altro che la massa modale che

H ∙ ∗

partecipa al modo: °

H, H

Se si considera l’azione complessiva intesa come la sommatoria per tutti gli i che vanno da 1 a n, delle

azioni complessive conseguenti a ciascun modo di vibrare , allora si può scrivere:

R∑ ϕ V

^ ^

^ ^ab

H `H ` ∙ ` a

∗ ∑ ϕ

° ^ab a

b b b

H,

H

Allora se questa è l’azione complessiva si può fare il rapporto tra la somma delle forze conseguente al

primo modo di vibrare e l’azione complessiva delle forze che avrei al piede della struttura sommando tutti

H ∙ ∗ ∗

questi massimi: °

H ∑ ∙ ∑

∗ ∗

° 54

La massa modale rappresenta qual è la quota parte di massa che partecipa al modo e ogni modo ha una sua

∗

quota parte ella massa totale che partecipa al modo stesso. Questo è molto importante perché la sommatoria

¸

in da 1 a n delle masse è uguale alla massa totale :

^

` ∗ ¸

b

Quindi se si ha il rapporto tra la massa che partecipa al modo rispetto alla massa totale, il rapporto lo si può

vedere anche come il taglio alla base che partecipa al modo rispetto al taglio totale.

Si è interessati a definire la massa che partecipa a ciascun modo di vibrare, perché se si considerano tutti i

modi di vibrare, ciascuno ha una sua massa che partecipa al modo e se si vanno a sommare le masse che

partecipano al modo di ciascun modo di vibrare, ovviamente si deve trovare la massa totale.

Di fatto però la normativa dice che ai fini della risposta sismica il contributo all’azione complessiva, derivante

da ciascun modo di vibrare, è un contributo che è calante all’incrementare dell’indice del modo. Infatti i modi

sono stati ordinati in termini di pulsazioni crescenti e quindi di periodi decrescenti, ad ogni modo di vibrare

è associata una distribuzione di forze e questa distribuzione di forze sarà di maggior importanza e di maggiore

rilevanza, ai fini del comportamento complessivo della struttura, per i modi che hanno le frequenze più basse,

cioè per quelli che hanno i periodi più alti.

Questo avviene perché se cresce l’indice di modo cala il coefficiente di partecipazione, quindi diminuisce

anche la quota parte di accelerazione che agisce relativamente a quel modo, di conseguenza diminuiscono

le forze che agiscono sulla struttura relativamente a quel modo.

Per cui se una struttura ha n gradi di libertà, a rigore si dovrebbero andare a valutare gli effetti sulla struttura

per ciascun modo di vibrare e poi si dovrebbero sommare per trovare la sollecitazione complessiva.

Si sa che ogni modo di vibrare ha una sua massa che partecipa al modo (che dà luogo a delle accelerazioni e

a delle forze), la norma però riconosce che per i modi di vibrare superiori, cioè quelli che hanno un periodo

più corto e una frequenza più alta, ossia quelli che hanno un numero maggiore di inversioni di segno nella

deformata modale e quindi un taglio alla base che tende a diminuire; non è necessario considerare tutti i

modi di vibrare, ma ai fini della risposta è sufficiente i modi di vibrare che globalmente danno una