Appunti primo modulo Progetto in zona sismica - Parte 2

W

3 ¦) 2FQ 165

€

^ s

^

Se adesso si va a scrivere l’espressione della , c’è rimasto solamente il primo termine:

s Ç 256 ¹

^ ^ ^

¹ 6p/€,

^ 6p

Ma siccome si può riscrivere: 256 Ë Ì }1P F 1;F 5

s Ç €

^ ^

s

^ rappresenta la deformata della trave per ogni valore di n e la forma modale ha un andamento di tipo

sinusoidale. 3 s

6 1

Considerando il primo modo, il primo modo ha un e che si possono determinare da queste relazioni,

infatti per si ha:

p IG p

W

3 s Ç 256 Ë Ì

€ € Ç

Se questa è la trave appoggiata, la deformata del primo modo è una deformata di tipo sinusoidale di questo

Ç

tipo, definita sempre a meno di una costante perché la quantità non rimane definita. In questo primo

modo di vibrare l’ampiezza massima della deformazione si ha in mezzeria, dove vale (che è un valore che

non conosciamo), in quanto è proprio in mezzeria che si raggiunge il massimo della funzione seno su un tratto

che va da 0 a L. 76

3 s

Il secondo modo invece ha una pulsazione e una che vengono definite come:

4p IG 2p

W

3 s Ç 256 < =

€ €

Ç

Se si rappresenta graficamente la deformata è una sinusoide fatta in questo modo, dove l’ordinata massima

è pari a , anche se ovviamente non è nota perché ci si trova in vibrazioni libere.

Si scrive anche quella del terzo modo:

IG

9p 3p

W

3 s 256 < =

Ç

€ €

K K K Ç

K

Nella deformata del terzo modo si hanno 3 semi-sinusoidi in cui le ordinate massime sono pari ad e sono

ad una distanza pari a L/3. Queste quindi sono le deformate dei 3 modi di vibrare.

“ , s ∙

^ ^ ^

Lo soluzione completa del problema, è stata scritta come , ma:

6p

spostamento verticale,

%¿ &

“ , 256 3 ¿ 012 3 ∙ Ç 256 Ë Ì u12 F 56 1 H5P 0F 5

Ž•••••••••••••••••‘ Ž•••••••‘

€

^ ^ ^ ^

Î Ï ±

¢ ¢

Questa è la soluzione che ci permette di determinare le vibrazioni libere di una trave appoggiata e ci si deve

Ã

ricordare che era stato scritto: ∙

“ , ` s

^ ^

^b ¿ Ç

¿ ^

, e si determinano

In questo modo si ha la soluzione completa del problema, naturalmente le costanti

a partire da delle condizioni al contorno.

I modi di vibrare di una trave semplicemente appoggiata sono quelli rappresentati sopra e sopra sono state

riportate anche le pulsazioni. Questa rappresentazione che ci dice quanto vale la pulsazione di ogni modo e

come sono fatte le deformate modali vale per tutte le travi appoggiate, perché tutte le travi appoggiate, con

una massa distribuita e con una sezione costante si comportano in questo modo. Questo sistema al continuo

risolve la classe dei problemi di vibrazioni libere di travi semplicemente appoggiate, per cui per tutte le travi

appoggiate si può far riferimento a espressioni di questo tipo, perché è immediato andare a determinare, per

le travi appoggiate, le caratteristiche dinamiche del sistema.

Mensola (vibrazioni libere)

Adesso si vuole orientare questo problema, del quale abbiamo trovato la soluzione

per la trave appoggiata, per qualcosa che possa essere utile nella progettazione

sismica, cioè andiamo a considerare una mensola incastrata al piede di lunghezza

L, con un J costante e con una massa m costante distribuita lungo l’altezza.

Il sistema di riferimento ha l’asse delle x parallelo alla mensola e l’asse y diretto

verso destra, perché si riporta la mensola in verticale, in quanto questo è un

edificio che appunto può essere schematizzato come una mensola incastrata al

piede. Si vuole andare a vedere come si opera per una mensola di questo tipo per

andare a fare l’analisi sismica. 77

L’equazione del moto è sempre quella che abbiamo scritto, cioè:

 “

>

“ IG 0 H wPFQ 16 w5P5

 > “ ,

“

Anche qui, essendo sempre in vibrazioni libere, la soluzione può essere scritta come la sommatoria di

^ che sono funzione di x e del tempo t, ma queste componenti si possono scomporre in

tante componenti

prodotti di 2 funzioni, una dipendente solo dal tempo e una dipendente solo dallo spazio:

à Ã

“ , ` “ , ` s ∙

^ ^ ^

^b ^b “

^

“

Fatto questo allora facendo riferimento alla componente n-esima si ottengono la derivata seconda di

^

rispetto al tempo 2 volte e la derivata quarta della fatta rispetto a x quattro volte:

“

 > s

“ , s ∙ ∙

^ ~Ä

Â

^ ^ ^ ^ ^

>

Andando sempre a sostituire nell’equazione del moto si trova la stessa relazione di prima e andando a

^

dividere per il coefficiente di :

IG ∙ s ∙ ∙ s ∙ 0

~Ä

^ ^ ^ ^

IG ∙ s IG ∙ s

~Ä ~Ä

∙ 0 → 3 012

^ ^ ^

∙ s ∙ s

^ ^ ^

^ ^ ^ 3

Al primo membro ho qualcosa che dipende solamente dalla x, al secondo membro ho qualcosa che dipende

^ . Fatte queste

solamente dal tempo t e allora questa quantità la si può porre uguale ad una costante

posizioni, da questa uguaglianza si ottengono rispettivamente le 2 equazioni:

3 ∙ 0

^ ^ ^

s ∙ 3 ∙ s 0

~Ä IG

Ž

•••‘

^ ^ ^

Å Æ

¢ ¹ ∙ 3 /IG

^> ^

La prima equazione ci dà l’equazione del tempo, la seconda equazione invece, ponendo che

s ¹ ∙ s 0

ci dice che: ~Ä ^>

^ ^ s

^

Essendo in vibrazione libera, la soluzione relativa all’n-esima componente è l’espressione di che

soddisfa identicamente l’equazione differenziale, per cui la si può scrivere come:

s Ç 256 ¹ È 012 ¹ ¿ 256ℎ ¹ ¯ 012ℎ ¹

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

Rispetto a prima cambiano le condizioni al contorno, ma ovviamente devono sempre essere 4 perché sono 4

le costanti di integrazione visto che si è partiti da un’equazione differenziale del 4° ordine.

®60F2 P1 0 ® : s 0 0 ®® : s 0 0

° ° É

¿16; Q 16 F 016 1P61 + ^ ^

I2. w5P1 € ®®® : s : s

€ 0 ®H € 0

° ÉÉ ° ÉÉÉ

^ ^

0 0, s 0

0 “

^ ^

0 0

0, “ É che questo si traduce nella

Per si ha l’incastro alla base e quindi si deve avere la ^

“ s 0 0 e questo è come dire che la derivata

poi alla base la rotazione deve essere pari a 0, quindi É

^ ^

prima di rispetto a x deve essere nulla, per cui si pone come seconda condizione al contorno.

78

€

Per si ha l’estremità libera e nell’estremità libera naturalmente non si può dire nulla sulle deformazioni,

s € 0.

ÉÉ

quindi si devono porre delle condizioni sugli stati di sollecitazione, in sommità il momento è uguale a 0 se

^

“ s € 0.

non ci sono forze applicate e quindi la derivata seconda In più si deve dire che anche il taglio è

ÉÉÉ

^ ^

nullo in sommità, perciò la derivata terza di rispetto a x deve essere nulla, per cui si pone

In corrispondenza dell’incastro si hanno delle condizioni di tipo geometrico, perché riguardano rotazione e

spostamento che devono essere nulli alla base, mentre in corrispondenza dell’estremo libero si hanno delle

condizioni di tipo meccanico, in quanto si può dire solo che taglio e momento devono essere uguali a 0.

® s 0 0,

° ^

®

s °

Adesso si vanno ad esplicitare le condizioni, cominciando con la condizione che è andando ad

^ si ottiene relativamente alla

effettuare le sostituzioni nell’espressione di condizione:

0 Ç ∙ 0 È ∙ 1 ¿ ∙ 0 ¯ ∙ 1 → ¯ È

^ ^ ^ ^ ^ ^

®® s 0 0,

° É ^

Scrivendo invece la condizione, per la quale la derivata prima per cui sostituendo

nell’espressione della derivata prima si ricava:

s′ Ç ¹ 012 ¹ È ¹ 256 ¹ ¿ ¹ 012ℎ ¹ ¯ ¹ 256ℎ ¹

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

∙ 1 È ∙ 0 ¿ ∙ 1 ¯ ∙ 0 → ¿ Ç

0 Ç

^ ^ ^ ^ ^ ^

s

Dopo aver riordinato le cose in questo modo si può andare a sostituire nell’Equazione delle forme modali di

^ , che può essere riscritta come:

%256 & %012 &

s Ç ¹ 256ℎ ¹ È ¹ 012ℎ ¹

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

®®® ®H ®®®

° ° °

s € 0

Adesso invece si vanno a scrivere anche le condizioni e , in particolare partendo dalla condizione,

ÉÉ ^

sapendo che la derivata seconda allora:

%256 & %012 &

Ç ¹ ¹ € 256ℎ ¹ € È ¹ ¹ € 012ℎ ¹ € 0

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

®H s € 0,

° ÉÉÉ ^

Per la condizione per cui la derivata terza diventa:

%012 & %256 &

Ç ¹ ¹ € 012ℎ ¹ € È ¹ ¹ € 256ℎ ¹ € 0

^K ^K

^ ^ ^ ^ ^ ^

Ç È

Allora dalla scrittura delle altre 2 condizioni al contorno rimangono queste 2 equazioni, e da queste si devono

^ ^ ¹ ¹

ricavare le 2 costanti di integrazione e per la soluzione complessiva della mensola.

^K

^ Ç È

Innanzitutto si possono semplificare le quantità e rispettivamente, perché sono diverse da 0 e allora

^ ^

rimane un sistema di 2 equazioni in 2 incognite, in particolare è un sistema omogeneo dove e sono le

incognite, mentre le espressioni tra parentesi rappresentano i coefficienti delle 2 incognite.

Questo sistema ha una soluzione diversa dalla ovvia se il determinante dei coefficienti è uguale a 0, visto che

il sistema è omogeneo; allora si deve scrivere che il determinante di questo sistema 2x2 deve essere uguale

256 ¹ € 256ℎ ¹ € 012 ¹ € 012ℎ ¹ €

a 0: ;5 0

Ð Ð

^ ^ ^ ^

012 ¹ € 012ℎ ¹ € 256 ¹ € 256ℎ ¹ €

^ ^ ^ ^

Questa condizione permette di dire che c’è una soluzione diversa dalla ovvia e se si va a sviluppare questo

determinante, moltiplicando il