Appunti sulla seconda parte del corso di fisica tecnica industriale

Conduzione Termica in regime stazionario

Come abbiamo visto, le equazioni fin ora introdotte sono di difficile risoluzione analitica, occorrono alcune semplificazioni per renderle più semplici. Un'altra limitazione si ha ai materiali solidi, omogenei e isotropi, con coefficiente indipendente dalla T.

Avendo così non siamo in grado di risolvere equazione di Laplace, dobbiamo semplificare ancora supponendo il passaggio di calore che avviene solo in una DIREZIONE.

Utilizzi in prima approssimazione non è un'affermazione troppo azzardata.

Parete piano semplice

In assenza di generazione, con K che non dipende da T, l'equazione di Laplace in vari soli, a rilievo è:

• T T / x 2 = 0.

La cui soluzione è T = C1 X + C2 verificando le condizioni al contorno: - X = 0, T = T1 - X = S, T = T2

quindi (C2 = T1 e C2 = (T2 - T1) / S)

di cui in fine T = T2 + (T2 - T1) X / S

Prendendo quindi una parete di piastrone si:

considerando questo risultato con interno più noto dell'interno piuttosto portere più noto dell'interno, piuttosto metere in uno scambio di conduzione le T usciamo fi-fasce con vertivi integrata la legge di Fourier risolve in variabili svarva affermativi i parate convertirà konusuptempo flaurero d'anario

Flusso Termico

(Calore scambiato attraverso quella parete unitaria) dalla legge di Fourier:

Q' = -k S _dT/^dx ⇒ ∂Q/∂T = - ∂Qx/^x_cIntegrando: q' = k (T₁ - T₂)/S

Per ottenere il calore scambiato basta moltiplicare per A

Q' = KA (T₁ - T₂)/S

Si preferisce però scrivere così:

Q' = T₁ - T₂/S/kA

Quindi un corpo scambierà tanto calore, quando vi è una forte ΔT tra le sue facce, quanto è ben isolato, evidenzi persistendo nello stato. Forma del tutto analogia a Na legge di Ohm! I = ΔV/R

Corrente elettrica → calore scambiato differenza di potenziale → attrito termoperale resistenza eoelvica → resistenza termica Reti capcsi elettriche → conpenti temoci

Sostituendo nell'equazione per la temperatura:

_Ti = _T1 + ( _T2 - _T1 ) / ln ( _r2 / _r1 ) × ln / _r

Andamento delle temperature in uno strato cilindrico semplice: curva retta di tipo logaritmico.

Dove il calore scambiato per unità di lunghezza:

_Q / _L = - k 2 π _r¹ d_T / d_r = - k 2 π _r² d_T

quindi in sintesi

_Q / _L = - k 2 π _{L T1} - _T2 / ln ( _r2 / _r1 )

Alternativo potessimo arrivare allo stesso risultato, integrando l'equazione di Fourrier:

g = - k d_T / d_r o _Q / _L = - k 2 π _r d_T

Integrando separando le variabili si ottiene proprio la relazione scritta sopra.

quindi:

_Q = 2 π _T L ( _T1 - _T2 ) / ln ( _r2 / _r1 )

La resistenza termica dello strato cilindrico si dispone:

_R = ln ( _r2 / _r1 ) / 2 π k L

Nel caso di un composto cilindrico a più strati il calore scambiato totale si dispone come:

_Q = 2 π _L ( _T1 - _T2 ) / ln ( _r2 / _r1 ) + ln ( _r2 / _r1 ) = _T1 - _T2 / _R1 + _R2

Effettuiamo il bilancio usando la legge di Fourier e quella di Newton:

_d/_dx(λA _dT/_dx) = hP(T - T_e) _dx Ȧ _f(A)[_{T - Te}] _dT/_dx + _∂/_∂x(1 - _Δ/_x0)

• A primo membro, ho il calore che arriva dall'elemento sottostante.
• A secondo primo elemento, ai il calore che viene dello stato si valutata.
• In fine, ho il calore che cede all'elemento superiore, secondo la superficie che moltiplica il primo termine detto come polinomio di Taylor tenuto al 1^o ordine, considerando k in condizioni di tipo continui:
• Ma _dT/_dx = hP(T - T_e)_dx Ȧ _d/_{dy dT}/_dx

_d2_T/_dx2 = _hP/_kA (T - T_e) = m²(T - T_e) chiamando m² = _hP/_kA

Questa è un equazione differenziale con soluzione tipo esponenziale

_{T - Te} = C₁e^mx + C₂e^-mx

"Imporando le condizioni di contorno."

• x = 0 e T = T_i
• x = L e Q = mȦ (A, T_e)

La distribuzione della temperatura diventa:

_{T - Te} = (T_i - T_e)

1 + _ho/_m1tanh(m₁(L - x₀))

1 + _hi/_m1tanh(m₁L)

cosh(m₁(L - x₀))/cosh m₁L

Integrando assumendo costanti h, m_c e c [omitted]

ln _{(T - Te)} ^{(T₀ - T_e)} = - ^{h A} _cmθ

che si riporta a

^{(T - T_e)} _{(T0 - Te)} = e^{- h A _cmθ}

La costante di tempo è:

^cm _{h As} => T₀ = 0.368 (T₀ - T_e)

posso riportare in grafico il termine a primo membro e il tempo

(a partire dall'indice)

il valore I - I_e e

T₀ - T_e

comprendo l'angolo 2 θ

Se V = A_sL_c posso riscrivere la seguente formula

h Asθ cm e- = h Asθ cp V = h c2 cp Lc = h c2Lk cp LcLk = (h c2) K (uso *) theo c2

= ^{h L} _PL . θC L = B L &omitted;

Dove abbiamo inserito la definizione di lunghezza caratteristica,

L_c = ^{V _A}

Esercizio Tubo Isolato

Immagino di avere acqua calda da portare in giro in un edificio dove vorremmo progettare il tubo che trasporta l'acqua ad essere il più efficiente possibile. Il tubo quindi è costituito da materiali isolanti, rappresentato in sezione.

W = velocità acqua: 1 m/sk₁ = 2,5 cmk₂ = 3,75 cm guainak₃ = 2,25 cm isolanteL = 200 mT_i = 90°CT_e = 20°CK_w = 0,6 W/mKH_k = 8 W/m²KH_f = 23 W/m²KH_e = 9,25 W/m²K

Quanto calore disperdo e quanto si raffredda l'acqua in un tubo? Ho la somma di nuova un piano monodimensionale, nuovi piani: calore si trasmette in direzione rediale, devo quindi passare alle coordinate cilindriche e risolvere l'equazione di Laplace, ovvero considerare le variazione di Abel. Ho una nure di 4 Resistenze:

• R₁: resistenza convettiva tra acqua e tubo
• R₂: resistenza conduttiva nella guaina
• R₃: resistenza conduttiva nell'isolante
• R₄: resistenza convettiva dell'isolato

R₁ = 1 / h_g A_i

A_i = π k_i² = 3,5 π t²A_c = π k_c² = 3,75 π t² m²R_e e R_f non mancano, lo estendo piccolo f_t perché le superfici si espandono

Se il calore si considerare cilindrico è: Q = T₁ - T₂ / 1/2π(m/k₂ln(r₂/r₁))

Le resistenze conduttive sono in parete cilindrica:

R_c = ln(k_c/k_i) / 2π h₂ LR₂ = ln(n_c/n_i) / 2π mR_t = ln(l_e/l_i) / 2π m