Appunti per orale Analisi matematica I

Assioma della completezza

Due sottoinsiemi non vuoti A e B tali che tutti gli elementi del primo precedono tutti gli elementi del secondo hanno sempre almeno un elemento separatore, ovvero:

• ∀ a ∈ A ∀ b ∈ B a ≤ b
• ∃ c ∈ R : ∀ a ∈ A a ≤ c ∧ ∀ b ∈ B c ≤ b

L’assioma della completezza ci assicura, all’interno dei numeri reali, che l’esistenza, in ogni caso, di un elemento separatore tra 2 numeri è reale.

Il numero dei numeri reali è formato da:

• N = {1, 2, 3, ...} numeri naturali
• Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} numeri interi
• Q = {^m/_n | m, n ∈ Z, n ≠ 0} numeri razionali

A completare l’insieme dei numeri reali vi sono i numeri irrazionali: c ∉ Z c ≠ ^m/_n ∈ Q√2, π, φ, e, 2√3, 2√5, 3√5, 3√3

Limitatezza degli insiemi

• Insieme limitato superiormente o inferiormente Un insieme A ⊆ R, A ≠ ∅, si dice limitato superiormente o inferiormente se ∃ k ∈ R, ossia ∃ c – ∀ c(k) ∈ R, a ≤ c, ∀ a ∈ A.In questo caso k non sono detti accosciati gli infiniti degli insiemi A, tracciando. Il primo insieme vuoto non è unico.
• Insieme limitato superiormente inferiormente Un insieme A ⊆ R, A ≠ ∅, si dice limitato superiormente o inferiormente se ∃ z – ∀ k ∈ R ∈ ≥ z(k) form (k) ∈ R __ ∈ c A aient
• Insieme limitato Si dice A ⊆ R, A ≠ ∅, si dice limitato se c’è limitato se superiormente inferiormente __ __ ∀ k ∈ R | k ≤ c, ∀ a ∈ A

1. Insieme Illimitato

Un insieme A di R si dice illimitato se non ammette limiti superiori e inferiori.

∀x > 0 ∃a ∈ A | a > x ∀a ∈ A.

Estremi di un Insieme

Per estremo di un insieme (superiore o inferiore) si intende il limite più "lontano" (estremo) dell’insieme nel caso di estremo superiore, e inferiore nel caso di estremo inferiore.

1. ∀α ∈ A ∀a ∈ A
2. ∀k∈ A k∈_α A ⊆ k ∃∃a ∈ A
3. ∀x ∃a ∈ A | a > x

Teorema Di Unicità dell’Estremo di un Insieme

L’estremo superiore (o inferiore) di un insieme limitato superiormente (o inferiormente) esiste ed è unico.

Dimostrazione

Dimostriamo il teorema per l’estremo superiore in maniera analoga. Si dimostra per l’estremo inferiore.

Consideriamo E ∈ A que estremo superiore di A se E ∈ A.

Teorema di Unicità del Limite

Se una successione ammette limite tale limite è unico.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo \( l, r \in \mathbb{R} \) due limiti della successione \( a_n \), con \( l \neq r \).

∃ possonp identificare dis intorno \( I_r \) e \( I_l \) t.c. \( I_r \cap I_l = \oslash \).

Applichiamo la definizione di limite e otteniamo:

1. ∀ε ∈ \(\mathbb{N}\) ∀n ∃n̅ ∈ \(\mathbb{N}\) a_n ∈ I_r
2. ∀ε ∈ \(\mathbb{N}\) ∀n ∃n̅ ∈ \(\mathbb{N}\) a_n ∈ I_l

⊞ Ne deduciamo che ∀n̅: max{n̅₁, n̅₂} → a_n ∈ I_r ⋂ I_l, tuttavia adiamo come sopra a l, r

⇒ si perperpl un un assurdo, figliendo valida Penisità del limite di a_n q

Successioni Numeriche: Confronto tra Limitatezza ed Esistenza del Limite

• Se {a_n}_n converge a (b_n), è limitata.
• Se {a_n} divergente da ∞ ∃{a_n} è limitata inferiormente.
• Se {a_n} divergente da ∞ ∃{a_n} è limitata superiormente.

Esempi

• con {a_n} = (-1)ⁿ funzione limitata ma non convergente.

• TEOREMA DEI CARABINIERI

Siano _(an) e _{(bn) (cn)} tre successioni nelle quali

1. a_n ≤ c_n ≤ b_n ∀n ∈ ℕ
2. _(an), _(bn) ∈ ℝ

Dimostrazione

Dalla ipotesi

∃ ^I ∈ ℝ ∀ n ∈ ℕ

Pertanto, preso N = max { } ∀n, n ₀ ∈ ℕ

• Conclusione Teorema dei carabinieri.

Siano _(an) e _(bn)

1. a_n →
2. (b_n) è limitata

Dimostrazione

Diciamo che a_n : 0

∃ ∈ℝ ^l , |b_n| ≤

Esempio: dimostrare che _(anbn) →

a_n|b_n|

Criteri per lo studio di serie a termini costanti

Criterio del confronto

Siano _n=1^+∞ a_n e _n=1^+∞ b_n due serie.

1. a_n ≥ 0
2. b_n ≥ 0 ∀n∈N

⇒ se _n=1^+∞ b_n converge ⇒ _n=1^+∞ a_n converge

se _n=1^+∞ a_n diverge ⇒ _n=1^+∞ b_n diverge

Dimostrazione

Indichiamo con {S_n} la successione delle somme parziali di _n=1^+∞ a_n e con {T_n} la successione delle somme parziali di _n=1^+∞ b_n.

E dalle ipotesi (1) e (2) ne deduciamo che:

0 ≤ S_n ≤ T_n ∀n∈N

Notare inoltre dal teorema di cui abbiamo a che fare con delle successioni monotone proprio per il modo in cui sono costruite allora siamo sicuri che {S_n} e {T_m} sono regolari.

Applicando il teorema del confronto per le successioni avremo che:

0 ≤ lim_n→+∞ S_n ≤ lim_n→+∞ T_n

E da cio dedurremo il comportamento delle serie attraverso il comportamento delle serie.

Classificazione dei punti rispetto ad un insieme

• x₀ è un punto di accumulazione di A se:

∀V_x₀, ∃ x ∈ A - {x₀}

• x₀ è un punto isolato di A se:

∃V_x₀, ∄ x ∈ A - {x₀}

• x₀ è un punto intero di A se:

∃V_x₀, V_x₀ ⊆ A

• x₀ è un punto di frontiera di A se:

∀V_x₀ ∃ x ∈ A ∧ ∃ x ∉ A ⇔ V_x₀ ∩ A^c ≠ ∅ (A^c = complementare di A)

Osservazioni teorema degli zeri

Il precedente teorema si può applicare anche con intervalli aperti.

L'unica differenza è che nel caso che gli estremi al posto delle |c|o' ci sarebbero i limiti desli estremi.

Teorema degli zeri (generale)

Se _b = IX e f l'intervallo di estremi _α, _β che possono anche essere +∞ supponiamo che:

• f∈C(at)
• lim f(x); lim f(x) ⁰ _x->αx->β

∴ ∃ a, b ∈ I: f(x) = 0

Dimostrazione

1. Dai profeti sappiamo che i limiti lim f(x) esistono ed hanno valori finiti.
2. Applicando il teorema di permanenza del segno, individuiamo dei punti a, b relativi al tema mal inserti, dove tutti quelli esterni ormai al di la.

Oltre gli m abbiamo degli accordi con i limiti di X_a, _b utilizzando Q(a,b) come intervallo limitato e applicando il teorema degli zeri.