Appunti orale Analisi matematica I

Limite del Regno

lim n→∞ aₙ = l ⇔ l finito ≠ 0

∀ίv : ∀ίν>ί ⇒ segn(aₙ) = segn(l)

∀ε>0 ∃ίv : ∀ίν>ίν ▸ l−ε < aₙ < l+ε

ε = |l|

∀ίσΙ l−ε = l |ε

l < aₙ, aₙ > 0

∀ξ>0

aₙ l+ε

aₙ l < 0

Confronto

aₙ {bₙ, cₙ} ∃ίv : ∀ίν>ί ⇒ aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ

lim n→∞ aₙ = l, lim n→∞ bₙ = β

lim n→∞ cₙ = l

⟹ lim n→∞ l = l

∀ε>0 ∃ίv : ∀ίν>ί

∀ε>0 ∃ίv : ∀ίν>ίν

⟹ l−ε < a⁢n < l+ε

⟹ l−ε < cₙ < l+ε

V = max(V₁,Vᵥ,V₂)

⟹ ∀ε>0 ∃ίv : ∀ίν>ίv

l−ε < cₙ < l+ε

Limite terza

n lim n→∞ (aₙ) = l ⟺ ∀ξ>0 :

Υn

⟹ l⁢m❜k = max(|a₁|,...|a⁢k|, l/ξ)

∀ε>0 ∃ίv : ∀ίν>ίν⟹ l−ε < aₙ < l+ε

◦ |= aₙ l+ε

Intersezione

{a_n} {\subseteq {b_n}}

c.a. 2ⁿ

a_n → +∞

b_n → +∞

Teorema di Weierstrass

a_n {\subseteq [a_n, b_n]}

se {a_n} è limitata allora a_nk converge a b

• a_n1
• a_nk
• a_nk ≤ b_n1

α_n ≤ a_nk ≤ β_n

lim sup (a_n)

lim inf (a_n)

a_k < a_nk

m > m₁ ⇒ ∃ m₂ = m₁ + m | ∀p ∈ ℕ

∀ ε > 0 ∃ N ∀ n ∀ m > n ∀ n ∈ ℕ ⇒ | a_n,m - a_n | < ε

∀ ε > 0 ∃ N ∀ n ∀ m > n ∀ n ∈ ℕ ⇒ | b_n,m - b_n,n | < ε

∀ ε > 0 ∃ N ∀ n ∀ m > n

a_n,m - 0 | < ε

^lim_n→∞(a_n,m) = ^lim_n→∞(a_n) = 0

Cond. necessaria di Cauchy

An. termine generale = 0 Converge

1) Leibnitz

D_2m+1 < D_2m + (-a_2m+1) < D_2m < D_2m-2 - - - < D₂ = a₂ - a₁ ≠ ±∞

D_2m > D_2m+1 > D_2m+2 > D₁ = -a₁ ≠ -∞

^{m lim}(q_n → 0)

q = s

lim_n→∞(D_2m) = lim_n→∞(D_2m+1) = s = sup(s lim_{2n+2 − b2m+1) = s limn→∞(qn) = 0}

(¹\_n\ mon. loc.

&Sigma(^(-1)n⁄_n)→ converge

(lim(a_n) = 0)

-Teorema di Bocard

{a_n} mon. cres.

lim_n→∞(a_n) sup{a_n} = L

1) l < ∞

L=sup(a_n) {∀ n ≥ a_n ≤ L_{mon. cres.}}

∀ ε > 0 ∴ a_n ≤ l + ε ∴ ∃ m ⊆≠ &subm;&e; ε > 0 ∴ a_n < L + ε

∀ ε > 0 ∃ ν : l - ε < a_n < a_n, ∀ n ≥ ν

∀ ε > 0 ∃ ν : ∀ n ≥ ν ∴ l - ε < a_n < L + ε

lim_n→∞(a_n) = L

2) l = ∞

∀ M > 0 ∃ ν: a_n > M

∀ m > v ∴ a_n > a_v ≥ M

∀ M > 0 ∃ ν: ∀ m > v ∴ a_n > M

lim_{n →∞}&(cn\over;2n&ge=+inf;

f(x) è continua in x₀ se

1. f(x₀) = a
2. lim_x→x0 f(x) = a
3. lim_x→x0 f(x) = f(x₀) ⇔ ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 ∀x∈A_om |x-x₀|<δ ⇒ |f(x) - f(x₀)|<ε

Discont. di 1° specie se lim_x→x0^- f(x) = l₁, lim_x→x0⁺ f(x) = l₂ l₁≠l₂

Di 2° specie se limite = ∞ o destro o sinistro

Di 3° specie eliminabile; x₀ ⇒ 00 ∞∞

lim_x→x0 f(x) = l ≠ a f(x) ∀x ≠ x₀ ⇒

ƒ continua in x₀

Teorema degli z.

f: I → R se ∃x₁, x₂∈A

❡

f è continua

f(x₁)f(x₂)<0 ⇒∃x₀∈I : f(x₀)=0

f: I → R continua

∀ t ∈f(I) ∃ x₀∈I: f(x₀)=t

t ∈ x ∈ t.

E(i, Ii) ⊆ f(x) (x) t⛶ f(x)

interval

F(x) = f(x) - t con xnel int

F(x) = f(x₁) - t < 0

F(x) = f(x₂) - t > 0

f: I → R una x₁∈ x₀, x₂: f(x₀)=0 ⇒ f(x₀)=t

Rolle

f: [a, b] → Rcontinua in [a, b]derivabile in ]a, b[f(a) = f(b)

∃_x0 ∈ ]a, b[ : f'(x₀) = 0

f(p₁) = f(p₂) non li vogliamo

Cauchy

f, g: [a, b] → Rcontinue in [a, b]der. in ]a, b[g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ ]a, b[

∃_x0 ∈ ]a, b[ :g(b) - g(a)g(b) - g(a) = g'(x₀) g'(x)

F(x) = g(x) - g(b) - g(a)

F(a) = f(a)

F(b) = f(a) {Rolle} →

Formula di Taylor

f(x) = Pn(x,x0) + Rn(x,x0)

lim (Rn(x,x0)/(x-x0)ⁿ) = 0

teta-in (0,1): f(x) = Pn(x,x0) + (f⁽ⁿ⁾)(xi)/(n!)(x-x0)ⁿ

F(x) ∈ C⁽ⁿ⁾

lim (F(x)/(x-x0)) = 0

F(x0) = 0 = f(x)(x0)=0

(mi sembra)

F(x) ≤ m+1 : F⁽ⁿ⁾(x) ≠ 0

lim (F(x)/(x-x1)(x-x2)...(x-xn))^k+1 + lim (F⁽ⁿ⁾)/(m+1)!

lim (F(x)/(x-xn)^k) + lim (F(x)x-xn