Appunti Analisi matematica I

FUNZIONI

Una funzione (f) è una relazione che associa a ogni elemento dell'insieme A uno e un solo elemento dell'insieme B.

f: A → B

dominio codominio

Le funzioni si dividono in:

• ALGERICHE

• RAZIONALI
• interey = 5x + 7
• frattey = ^{2x - 1}/_{3x - 2}
• IRRAZIONALI (√ = segno di radice)
• interey = √x + 5
• frattey = √x + 5/_3x

TRASCENDENTI

• TRIGONOMETRICHE
• ES PONENZIALI
• LOGARITMICHE

es. log → arcoseno arcoseno arcotg...es. log → cos -

ex. y = log₁₀

a > 0 ; a ≠ 1 ; x > 0

→ f(x+1)>...

DOMINIO [0 ; +∞]

es. y = log₂arcoseno x

D = [√5 ; 2]₂[2 ; +∞]

^Φ(n)/_x = ...[0 ; 1 ; 25]

FUNZIONI UGUALI:

∀ x∈D e y = f(x) esono functions uguali sse hanno lo stesso dominio e f(x) = g(x) ∀ x∈D.

FUNZIONI SURRIETTIVE:

quando ogni elemento di B images di almeno 1 elemento di A.

FUNZIONI INIETTIVE:

quando presi 2 elementi X del dominio di A, ma codominio B Otteniamo sempre 2 immagin various es:

FUNZIONI BIGIETTIVE:

(obiettive) quando si può INIETTIVA ONS SURRIETTIVA.

FUNZIONI MONOTONE:

se in un determinato interval always crescente o decrescente

FUNZIONE PERIODICA:

se per qualche numero k integer es diano:

f(x) = f (x + kT)

FUNZIONE PARI:

Nella simmetria rispetto all'asse delle x

y quando

• x∈D e -x e ∈ D
• f(x) = f(- x) per ∀ x∈ D

y = f(x) = 2x² - 4 →

y = f(x)=2(-x)²-4 = 2x²-4

FUNZIONI DISPARI:

y quando

• x∈D e -x ∈ D
• f(x) = - f(- x) per ∀ x∈ D

⇒ y = f(x)=3x³ →

f(x)=3x³-(-3x)=

FUNZIONE IDENTICA:

quando la coordinate ha corrisponde al dominio (x = y) grapheösis la fuente della coniaion del base data (6).

FUNZIONE DEFINITA A TRATTI:

è una funzione che si sopra in modo más tratti (uccì g di Rⁿ).

FUNZIONE COMPOSTA:

• all'esercizio ad ogn elementi→ del coerindo di f elle cab:
• immagine f(x) ∈∈ D g. l'image è immagine di f (x), l'immagine g

*Note e Caratteristiche*

• f (x+1) = 2x + 1
• ⇒x²
• ∘∘ f o g (x) = (x⁴2)

Se a composta la function f tra da una image de g :

la FUNCTION IDENTICA delle source à ogni elemento di one immagine dits stesso.

FUNZIONE INVERSA:

∃ solo se wè function è estta una image B BIUNOVET in coppie (injective

y = f(x) 2x^9 + x^1 → x _{2xy, x = 1}

x 1=2yy+x = 2x y + ( x− 1 ) = 1 1 >

complex. wutt.

Somma di 2 polinomi:

es: (3x³+x)+(x²+1)=3x³+x²+x+1

Diffenza di 2 polinomi:

es: (x⁴-x)-(x³+2)=x⁴-x³-x-2

Prodotto di un polinomio per un monomio

es: 2(x³x-2)=2x⁴+6x-4

Prodotto di 2 polinomi:

es: (x³+x)(x+1)=x³+x²+x+x=x⁵+2x³+x

Divisione tra polinomi:

x³ +4x² -6 per x-2 è uguale a:

(x+2)(x²+2x-3)

Fattorizzazione

Scomposizione dei polinomi

• 2 termini
• differenza di 2 quadrati
• prodotto di 2 binomi
• algebra di Leibi
• prodotto di 2 cubicoli
• somma di 2 cubi
• (a²-b²) = (a+b)(a-b)
• (a³+b³) = (a-b)(a²+ab+b²)
• 3 termini
• quadrato di binomio:
• prodotti di 2 aggiunti di pio:
• a²+2ab+b² = (a+b)²
• x²+6x+9=(x+m)²; m=3
• dove m=M1+M2; p=M1*M2
• a 3 termini
• cubo di binomio:
• a³+3ab²+3ab³+b³ = (a+b)³
• a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)
• differenza tra quadrati
• 3 termini (peso il quadrato)
• di 5⁰ binomio
• fa scomposizione parziale di 2 a 2
• 6 termini
• quadrato di 3 binomio
• scomposizione parziale
• 3,4 a,3

Logaritmi

(Logaritmo: esponente della potenza al quale bisogna elevare un numero costante (base) per ottenere un determinato numero.

Equazione esponenziale:

Equazione data da un logaritmo in cui al base è il numero costante e l'argomento è la variabile.

logaritmo log_b a

la x è espressa (=8)

funzione logaritmica log₂ x = y

la x non è espressa

Funzione logaritmica

Simmetrica rispetto all'asse della x

Equazione log_b = y ↔ a log

Si invertono ruoli del dominio e del codice se non fosse proprio passata da A e B

y = log_b x: argomento >0 (x > 0)

base (a > 0, a ≠ 1)

Se a = e y = log_a 5

“y uguale a logaritmo in base e di x”

La funzione può essere di 3 tipi:

• y = log_x
  • la base è espressa
• y = e ^log x
  • la base è considerata ed è e = 1
• y = ln
  • radice log. naturale logaritmica
  • la base si può intendere ed è detta “mutabile di Nepero” (e, 2, 72)
  • ricatture presenti continue altr ₀ .

Forma algebrica dei numeri complessi

(a; b) diventa z = a + bi

parte immaginaria → ("i" da qui, ovvero "b")

parte reale

se numero è negativo la parte immaginaria resta

mod. √(a² + b²)

Forma trigonometrica

z = X (cosθ + i senθ)

√(x² + y²)

θ

(m) → z = X (cosθ + i senθ)

Forma esponenziale

→ z = X e^iθ

Significato e le proprietà delle potenze

Se no z = (cosθ + i senθ) • fizθ

cosθ + i senθ e^iθ

Operazioni (con x = 1)

a^x+y = a^x i^x + i^β

proprietà additiva

(a^x+y)^z•z

proprietà moltiplicativa

Formula di Eulero

Passo dai numeri complessi: z = il numero trigonometrico

e^iθ cosθ + i senθ = cos θ - i sen θ

• Add.
• Sottr.

cosα + i senα + cosβ + i senβ =