Appunti Misure elettriche

CASI PARTICOLARI

Supponiamo di avere due grandezze.

1) SOMMA

= +

1 2

Dunque, usando i valori misurati:

= +

1 2

= +

2) DIFFERENZA

= −

1 2

Dunque, usando i valori misurati:

= +

1 2

= +

3) PRODOTTO

= ∗

1 2

Usando i valori misurati:

= ∗

1 2

| | | |

= ∗ + ∗

Possiamo passare all’errore relativo:

= +

| | | |

4) QUOZIENTE

1

=

2

1

=

Usando i valori misurati:

2

Da cui:

| |

= +

| | | |

Passando all’errore relativo:

= +

|| | | | |

13 / 104

Dunque, per le operazioni di somma e differenza, l’errore massimo totale è la somma dei singoli

errori; per prodotto e quoziente, l’errore relativo massimo totale è la somma degli errori relativi

massimi singoli.

Esercizio

Ricaviamo R a partire da V e da I.

Supponiamo:

[]; []

= 0,868 = 0,00534

{ []; []

= 18,59 = 0,1959

[Ω]

≈ 46,69177

( )

= +

Da cui: [Ω]

≈ 0,77929

Quindi:

(46,69 [Ω]

= ± 0,78)

Variabili aleatorie/probabilità

La nostra variabile misurata, ovvero è una variabile aleatoria, dunque, dobbiamo tener conto

anche della probabilità che un determinato evento accada.

Ci sono in generale due filosofie diverse per la probabilità:

- Oggettiva (frequentista)

Passa dalla frequenza con cui l’evento si manifesta.

- Soggettiva (Bayesiana)

Suddivisa in “a priori” e “a posteriori”.

Si determina una probabilità a priori sulle “sensazioni” e, in seguito, si fanno i conti, eventualmente

andando a modificare la probabilità “a priori”, passando dunque in quella “a posteriori”.

Funzione di distribuzione

()

Definiamo: come “funzione di distribuzione”.

La funzione di probabilità, ove: { ≤ }

Ha come proprietà: ()

lim = 0

→−∞

{ ()

lim = 1

→+∞

14 / 104

Mentre: { () ()

< ≤ } = −

Densità di probabilità (), ()):

Definiamo densità di probabilità della distribuzione (

()

()

=

Si ha:

+∞ ()

∫ = 1

−∞

Se vogliamo controllare che un evento accada considerando due estremi in un intervallo:

{ () () ()

< ≤ ) = ∫ = −

Dunque, essa è l’area tra i due estremi. ( , . . ),

Supponendo di osservare N volte una variabile aleatoria posso calcolare la media:

1

̅

= ∑

=

Definiamo inoltre “valore atteso”: ̅̅̅

=

→∞

Dunque: +∞ ()

=∫

−∞

Definiamo inoltre “varianza”:

= ∑( − )

→∞ =

Definiamo “deviazione standard”: √ 2

= ( )

Un altro modo per esprimere la varianza è: +∞

2 2

( ()

= ∫ − )

−∞

Esercizio 15 / 104

Calcolare la potenza assorbita dal resistore:

1

Consideriamo come misure:

1

[];

= 18,52 = 0,5%

1

2

[];

= 17,64 = 0,5%

2

2

[];

= 19,21 = 1,0%

{

( )

= − ∗

2 1

Da cui:

= 0,0169048 [] []

= 0,0926 + 0,0882 = 0,1808

−

2 1

−

2 1

|| []

= ∗ ( + ) = 0,003642216

−

2 1

Dunque: (0,0169 []

= ± 0,0037)

NOTA: La notazione usata prevede:

:

:

{ ():

():

à à

Da preferire è la densità di probabilità perché mi dice dove si vanno a collocare i valori della mia

variabile aleatoria. Infatti, se vogliamo sapere qual è la probabilità che la variabile assuma dei

valori in un certo intervallo, devo semplicemente vedere qual è l’area sottesa alla funzione densità.

Avevamo visto che: 16 / 104

+∞

( ()

= ∑( − ) = ∫ − )

→∞ −∞

=

La varianza mi dice di quanto i valori sono dispersi rispetto al valor medio, ovvero mi dice

l’estensione della funzione “densità di probabilità”. 2

= √

Spesso si usa la deviazione standard piuttosto che la varianza ( ), in quanto presenta le

stesse dimensioni della variabile aleatoria a cui si riferisce.

Come si ricava il valore atteso da un numero finito di esperimenti?

Interferenza statistica , … , )

Supponendo di avere N osservazioni ( indipendenti (cioè ogni valore è indipendente da

1

quello che è successo negli altri esperimenti).

Possiamo introdurre uno stimatore del valore atteso:

̅

≈ = ∑

=

̅

Calcolando , ho creato un legame tra le N variabili indipendenti e ho quindi ridotto il grado di

libertà (che prima era pari a N).

La formula per lo stimatore della varianza è:

1

2 2

)

≈ ∑( − ̅

−1 =1

Da cui:

≈√

̅)

∑( −

− =

Dunque, gli stimatori di valore atteso e deviazione standard sono:

̅

≈ = ∑

=

≈√

̅)

∑( −

− =

{

La media aritmetica di N osservazioni di una variabile aleatoria è ancora una variabile aleatoria:

= → =

̅

̅ √

Dunque, per stimare la deviazione standard della media di una variabile aleatoria:

17 / 104

1

̅2 2

)

≈ ∑( − ̅

( − 1) =1

Da cui:

√

̅)

= ∑( −

̅

( − ) =

Se il valore è una lettura strumentale oppure un valore di una grandezza di uscita, allora è una

variabile aleatoria.

Quando vanno valutate le probabilità?

1) Misura diretta + effetti casuali (es: rumore)

Molto importante nel nostro caso è il teorema del limite centrale:

Teorema del limite centrale

, … , → ∞

Supponendo di avere variabili aleatorie, supponendo e che le variabili siano

1

indipendenti e ugualmente distribuite:

∑ →

=1

Il rumore ha una distribuzione gaussiana. (−)

−

=

La funzione di distribuzione gaussiana ha per equazione: √

:

In particolare, è la distanza tra il valore atteso () e il punto di flesso.

L’integrale della gaussiana è 1.

2 ± 3)

L’intervallo centrato su e di semi-ampiezza racchiude il 95% degli eventi. L’intervallo (

racchiude il 99,7% degli eventi.

2) Misura diretta + effetti sistematici 18 / 104

Supponendo di aver effettuato una sola misurazione, non posso applicare le tesi frequentiste e

dovrò sfruttare gli errori forniti dal costruttore. La distribuzione sarà rigorosamente limitata e sarà

± ).

non nulla soltanto nell’intervallo ( Tutti gli eventi in quell’intervallo hanno densità di

probabilità costante.

In particolare, si ha una distribuzione uniforme:

=

2

2

= →=

3 √3

±

Supponendo che nell’intervallo ( ) abbia 3 dgt:

= √

Se la misura diretta ha solo errori sistematici, e conosco soltanto l’errore massimo (fornito dal

costruttore), siamo appunto in questo caso.

3) Misura indiretta

Supponiamo che il valore da me cercato sia ricavato da una legge fisica:

= ( , )

1 2

Che distribuzione avrà y? Le variabili aleatorie non sono infinite, non sono ugualmente distribuite,

sono indipendenti e non le sto necessariamente sommando. Possiamo assumere dunque che y

abbia una distribuzione gaussiana.

L’incertezza è un parametro che caratterizza la dispersione dei valori attribuiti al misurando.

Si utilizza la cosiddetta incertezza tipo (), che può essere di due tipi: A o B.

- Categoria A

L’incertezza di tipo A consist