Appunti e esercizi Metodi numerici per l'ingegneria navale

Metodi numerici per l'ingegneria navale. 21

Infimo/supremo contro massimo/minimo

Ricordare che:

L'infimo di un set ordinato è il massimo limite inferiore di questo insieme, mentre il supremo è il minimo limite superiore dell'insieme.

Il minimo è il più piccolo elemento nell'insieme, mentre il massimo è l'elemento più grande del sistema.

Notare che:

inf_{x in (0,+oo)} f(x)=0

per la funzione f(x)=1/x, mentre il minimo di questa funzione in (0,+oo) non esiste (finito).

• Bisogna stabilire a priori l'esistenza della soluzione per ottimizzare il problema con delle assunzioni, ad esempio, l'esistenza o no di punti di minimo e massimo.
• Bisogna trovare i punti di minimo e massimo, operazione che diventa mano a mano più complessa con l'aumentare delle variabili che considero.

Minimizzazione vincolata o non vincolata

La ricerca del minimo di una funzione su tutto il dominio di definizione della funzione f(t) è un problema di ottimizzazione non vincolato come:

min_x f(x)

Metodi numerici per l'ingegneria navale. 21

Infimo/supremo contro massimo/minimo

Ricordare che:

L'infimo di un set ordinato è il massimo limite inferiore di questo insieme, mentre il supremo è il minimo limite superiore dell'insieme.

Il minimo è il più piccolo elemento nell'insieme, mentre il massimo è l'elemento più grande del sistema.

Notare che:

inf_x in (0,+oo) f(x)=0

per la funzione x -> f(x)=1/x, mentre il minimo di questa funzione in (0,+oo) non esiste (finito).

• Bisogna stabilire a priori l'esistenza della soluzione per ottimizzare il problema con delle assunzioni, ad esempio, l'esistenza o no di punti di minimo e massimo.
• Bisogna trovare i punti di minimo e massimo, operazione che diventa mano a mano più complessa con l'aumentare delle variabili che considero.

Minimizzazione vincolata o non vincolata

La ricerca del minimo di una funzione su tutto il dominio di definizione della funzione f(x) è un problema di ottimizzazione non vincolato come:

min x f(x)

Il dominio di ottimizzazione può essere ristretto affrontando un problema di ottimizzazione vincolato come:

min f(x)

h(x) = 0

con vincoli di uguaglianza dati da una funzione h(x): Rⁿ -> R

{ min f(x)

g(x) <= 0

con vincoli di uguaglianza (con g(x)) o con entrambi i tipi di vincoli.

Minimo o massimo di una funzione di Rⁿ

Definizione di minimo di una funzione

Una funzione f: Rⁿ -> R ammette un minimo locale in x* in Rⁿ se f(x) >= f(x*) , Vx in Rⁿ : ||x - x*|| < epsilon per uno epsilon > 0.

Definizione di massimo di una funzione

Una funzione f: Rⁿ -> R ammette un massimo locale in x* in Rⁿ se f(x) <= f(x*) , Vx in Rⁿ : ||x - x*|| < epsilon con epsilon > 0.

Il minimo (massimo) di una funzione si dice globale invece che locale, se le corrispondenti disuguaglianze corrispondono su tutto il dominio, per esempio:

x* in Rⁿ è un minimo globale di f(x) se f(x) >= f(x*) , Vx in Rⁿ

x* in Rⁿ è un massimo globale di f(x) se f(x) <= f(x*) , Vx in Rⁿ

Ottimizzazione in Rⁿ

Un problema di programmazione matematica può essere formulato in Rⁿ con o senza vincoli (o libero).

Programmazione matematica senza vincoli o libera:

minx ∈ Rⁿ f(x) dove f: Rⁿ -> R.

Programmazione matematica con vincoli:

minx ∈ Rⁿ f(x) tale che

h(x) = 0

g(x) ≤ 0

dove f: Rⁿ -> R, h: Rⁿ -> R^m, e g: Rⁿ -> R^p

Ottimizzazione dei numeri interi

Programmazione matematica in Zⁿ con o senza vincoli.

Ottimizzazione matematica dei numeri interi senza vincoli:

Prog. di

minx ∈ Zⁿ f(x) dove f: Rⁿ -> R

Ottimizzazione matematica dei numeri interi con vincoli:

Prog. di

minx ∈ Zⁿ f(x) tale che

h(x) = 0

g(x) ≤ 0

dove f: Rⁿ -> R, h: Rⁿ -> R^m, e h: Rⁿ -> R^p

Ottimizzazione di numeri interi misti

Ottimizzazione di numeri interi misti (sia variabili reali che intere)

Programmazione matematica in Rⁿ e Zⁿ con o senza vincoli.

Ottimizzazione matematica di numeri interi misti senza vincoli:

Prog. di

minx ∈ Rⁿ¹, y ∈ Zⁿ² f(x, y) dove f: Rⁿ¹⁺ⁿ² -> R.

con vincoli:

minx ∈ Rⁿ¹, y ∈ Zⁿ² f(x, y) tale che h(x, y) = 0

g(x, y) ≤ 0

dove f: Rⁿ¹⁺ⁿ² -> R, g: Rⁿ¹⁺ⁿ² -> R^m e h: Rⁿ¹⁺ⁿ² -> R^m.

Ottimizzazione lineare

Programmazione matematica lineare in Rⁿ:

min c^Tx

A x = b

x > 0, x ∈ Rⁿ

dove A ∈ R