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POLINOMIO CARATTERISTICO
p (λ) = 10
−p (λ) = λ α1 1 2
−p (λ) = (λ α )p (λ) β p (λ)
i i i−1 i−2i−1̸ −
TEOREMA: Se A è tridiagonale reale e simmetrica con β = 0, i = 1, 2, ..., n 1 gli zeri di p (λ) sono tuttii ireali e distinti. Inoltre gli zeri di p (λ) si alternano con quelli di p (λ)i i−1∈ R, ̸Fissato γ p (γ) = 0, il numero di zeri di p (λ) che si trovano a destra di γ è uguale al numero di variazionin ndi segno della successione 1, p (γ), p (γ), ..., p (γ)1 2 nignorando eventuali zeri. a +b . DalSi usa Gerschgoring per localizzare gli zeri. Individuando un intervallo [a , b ] e si sceglie γ = 0 00 0 2teorema si sa quanti sono gli zeri a destra e a sinistra, quindi si divide l’intervallo γ in γ = [a , γ] e γ = [γ, b ]:1 0 2 0a + γ
γ + b0 0γ = γ =1 22 2E iterando, dividendo gli intervalli con questa tecnica di bisezione, si riducono sempre più le ampiezze degliintervalli finché ognuno non contiene un solo autovalore176.7
Metodo Delle Potenze
Con questo metodo si approssima l’autovalore di modulo massimo ed il corrispondente autovettore. Fissato un (0) (k) (k−1)vettore v si genera una successione v = Av
CONDIZIONI DI CONVERGENZA:
|λ | |λ | ≥ ≥ |λ |
- > ...1 2 n
- x , x , ..., x1 2 n
Un generico vettore può essere scritto nella forma:
(0)v = α x + α x + ... + α x1 1 2 2 n n
(1) (0)v = Av = A(α x + α x + ... + α x ) = α Ax + α Ax + ... + α Ax1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
(1)v = α λ x + α λ x + ... + α λ x1 1 1 2 2 2 n n n
(2) (1) 2 (0) 2 2 2v = Av = A v = α A x + α A x + ... + α A x1 1 2 2 n n
(2) 21 22 2nv = α λ x + α λ x + ... +
α λ x1 1 2 2 n nIterando si ottiene: m m λλ n2(m) x + ... + α xv = α x + α 2 n n1 1 2 λ λ1 1(m)Si può dire che v asintoticamente tende alla direzione di x 1 (m) m (k) →lim v = α x lim λ v x1 1 11m→∞ m→∞ m+1 nm+1 λP x (r)λ α x (r) + α i i1 1 i1 i=2(m+1) (m+1)λv (r) v (r)1 ∀r= lim = λ = 1, 2, ..., n1m(m) (m) v (r) v (r)m→∞n λm Pλ α x (r) + x (r)α i1 1 ii1 i=2 λ1Di solito si attua un processo di normalizzazione, mostrato a pagina Pagina 26 Slides 6(Esempio Da Pagina 27 ) 187 Slides 77.1 Interpolazione Di FunzioniL’interpolazione è una tecnica di approssimazione di funzioni che a partire da una funzione y = f (x) di cuiè noto un numero discreto e limitato di punti ne calcola una approssimazione che passa precisamente per talipunti noti. In particolare disponendo di n + 1 punti,
rappresentati dalle coppie di numeri reali (x, y) i = 0, ..., ni, un'interpolazione ϕ(x) della funzione sarà anch'essa una funzione, tale per cui: Φ(x) = y i = 0, ..., ni. Tipicamente nella pratica tale operazione è implementata approssimando la funzione f(x), che appartiene a un spazio a dimensione infinita, con una combinazione lineare Φ(x) di un sottospazio a dimensione finita ϕ(x), ..., ϕ(x), dove le generiche ϕ; devono essere funzioni facili da trattare, linearmente indipendenti e in grado di approssimare la funzione f(x), in altri termini la funzione interpolante Φ(x) è una combinazione lineare delle funzioni ϕ;j. 7.2 Rappresentazione In Base Canonica 2n La più comune tra le basi è quella canonica, data dalle funzioni linearmente indipendenti 1, x, x^2, ..., x^n. Un polinomio generico p(x) di ordine n espresso in tale base ha la forma: n Σ j=0 p(x) = a_j * x^j. Le condizioni di interpolazione per un polinomio.espresso in base canonica sono: nX jia x i = 0, ..., njj=0e la matrice dei coefficienti X del sistema cosı̀ ottenuto (matrice di Vandermonde) sarà:20 n 1 x x ... x0 021 n1 x x ... x1 1X = (17) . .. .. .. .... . . . . nn2 ... x1 x xn n7.3 Rappresentazione In Forma Di LagrangeUna rappresentazione alternativa alla base canonica per il polinomio interpolante è costituita dalla forma diLagrange. Tale rappresentazione ha in sostanza un approccio opposto alla rappresentazione in base canonica:nella forma di Lagrange il maggior onere computazionale risiede nel calcolo della base, mentre i coefficienti dellarappresentazione sono immediati e coincidono con le ordinate dei nodi a disposizione. n La base della rappresentazione in forma di Lagrange è costituita dai polinomi caratteristici di Lagrange L (x) ,j j=0polinomi tutti di grado n, se è rispettata la condizione di esistenza e unicità del polinomio.− − − − −(x x )(x x ) ...
- (x0)(x1) ... (xi-1)(xi+1) ... (xn)
- (x) = Πi≠j (x - xi) / (xj - xi)
- P(x) = Σi=0 f(xi)li(x)
Dove a numeratore avremo un polinomio di ordine n + 1 = n poiché ci sono tutte le x per i = 0, ..., n tranne il i-esima con i uguale al pedice del polinomio. A denominatore invece un numero. Quindi il POLINOMIO INTERPOLANTE DI LAGRANGE sarà:
P(x) = Σi=0 f(xi)li(x)
Condizioni Che Il Polinomio Interpolante Deve Soddisfare:
Avendo n+1 nodi deve essere verificato che P(x0) = f(x0), P(x1) = f(x1), ..., P(xn) = f(xn). Ad esempio,
P(x0) = f(x0) è il polinomio interpolante di ordine 0 che è un punto ed è costante quindi è già unico, passando avanti si avrà che P(x0) = f(x0) e P(x1) = f(x1), quindi essendo un polinomio di primo grado e passando per due punti possiamo dire che esiste ed è unico. Quindi P(x) è interpolante perché è verificato che passa per tutti i punti dati.
Per quei due punti. Ogni volta che si aggiunge un nodo si deve verificare che P(x) = f(x), e P(x) sarà il polinomio interpolante aumentato di grado il grado e che soddisfa il passaggio. (Esempio da Pagina 8 Slides 7)
7.5 Costo Computazionale Calcolo Polinomio Interpolante
Il calcolo di P(t) come:
P(t) = Σ f(xi)li(t), dove:
li(x) = Π (x - xj)/(xi - xj), per ogni i si avrà che per calcolare l ci saranno 2(n-1) moltiplicazioni e una divisione, per calcolare f(xi)li(t) invece n+1 moltiplicazioni. In totale quindi: 2(n-1) + 1 + (n+1) = 2n2(n-1)(n+1) + 1 + 1 = 2n
7.6 Formula Di Newton Alle Differenze Divise
Col metodo precedente se si aggiunge un punto occorre ricalcolare tutti i polinomi l(x). Per questo si introduce la formula di Newton alle differenze divise consente di
evitare questo inconveniente. Consente di calcolareP (t) con una complessità computazionale inferiore a quella della formula di Lagrange. Quindi si avrà:
nOperatori Del Primo Ordine
f (x )−f (x )1 0
f [x x ] =0 1 −xx 1 0
f (x )−f (x )2 1
f [x x ] =1 2 −xx 2 1
... f (x )−f (x )n n−1
f [x x ] =n−1 n −xx n n−1
Operazioni Del Secondo Ordine
f [x x ]−f [x x ]1 2 0 1
f [x x x ] =0 1 2 −xx 2 0
f [x x ]−f [x x ]2 3 1 2
f [x x x ] =1 2 3 −xx 3 1
... f [x x ]−f [x x ]n−1 n n−2 n−1
f [x x x ] =n−2 n−1 n −xx n n−2
Operazioni Di Ordine N
f [x ... x ]−f [x ... x ]1 n 0 n−1
f [x x ... x ] =0 1 n −xxn 0
Questo si traduce in una matrice triangolare bassa, che avrà come prima colonna i valori della funzionef (x ), f (x ), ..., f (x ), la seconda colonna formata dagli operatori del primo ordine f [x x ], ..., f [x x ], la0 1 n 0 1 n−1 nterza colonna dagli operatori
del secondo ordine f [x x x ], ..., f [x x x ] e cosı̀ via.0 1 2 n−2 n−1 n(Esempio Pagina 18 Slides 7 )
7.7 Alcune Proprietà Delle Differenze Divise
L’operatore delle differenze divise è invariante rispetto l’ordine dei nodi. Significa che non è importante l’ordine degli indici. Si può effettuare il calcolo anche usando una permutazione della sequenza di indici 0, 1, ..., n.
Il risultato non cambierebbe, ma poi si deve usare sempre la stessa sequenza. Dato che:
n f (x )kXf [x x ...x ] =0 1 n nYk=0 −(x x )k jj=0,j̸ =k20
Allora si ha che: f [x x ... x ] = f [x x ... x ]0 1 n i i i0 1 n
L’operatore delle differenze divise ha un legame con la derivata. Supponendo di avere due nodi coincidenti,e di voler calcolare la differenza divisa su questi due nodi che coincidono cioè una differenza divisa sul nodoraddoppiato, e quindi l’operatore del primo ordine è da intendersi come la derivata prima. Questa proprietà siestende, e quindi
l'operatore di ordine k + 1 si avrà la derivata k-esima nel punto x fratto k fattoriale. kf (x) = limx→x0 f[k][x0, x1, ..., xk] = limx→x0 f[k][x0, x1, ..., xk] = f(k)(x0) (k)! 7.8 Differenze Divise E Polinomio Interpolante f(x) - f(x0) = f[x0] (x - x0) + f[x0, x1] (x - x0)(x - x1) + ... + f[x0, x1, ..., xk] (x - x0)(x - x1)...(x - xk) Per ottenere il polinomio interpolante con le differenze divise, si va a calcolare prima l'operatore del primo ordine tra x0 e x1. Da cui si ricava f(x) - f(x0) = f(x1) + (x - x0)f[x0, x1] Successivamente si effettua la differenza divisa di secondo ordine che coinvolge i nodi x0, x1 e x2 da cui si
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