Appunti lezioni Meccanica dei continui e delle strutture

Direzioni principali

s_n = (s_i - s_j) · s_ij = 0 con i ≠ j, i,j = 1,2,3

s_n² + s_t² = 1 condizione di normalizzazione

Stato di sforzo 3D e Arbelo di Mohr

s_A = s_O λ_n + s_T

H_p: S₃ > S₂ > S₁

s_max = 1/2 max{|S₄-S₂|,|S₂-S₃|,|S₃-S₁|}

Stato di sforzo piano (s₃=0) e cerchio di Mohr

s = 1/2 (s₁₁ + s₂₂) + 1/2 (s₁₁ - s₂₂) cos(2a) + t₁₂ sen(2a)

t = -t₁₂ cos(2a) + 1/2 (s₁₁ - s₂₂) sen(2a)

Equazione del cerchio di Mohr

[s - 1/2(s₁₁ + s₂₂)]² + t² = R²

C = 1/2 (s₁₁ + s₂₂), R = √[(1/4 (s₁₁ - s₂₂)²) + t₁₂²]

tga(2b) = 2t₁₂/(s₁₁ - s₂₂), s₁₂ = X_C ± R

t_max = 1/2 max |s₁₁ - s₂₁|

Relazione d'ordine angoli

Piano fisico: b

Piano di Mohr: 2b

Convenzioni

s > 0 trazione

t > 0 contrazione

Equazioni di equilibrio indefinito

∂s_ij/∂x + b_i = 0 su V

In un materiale lineare isotropo le componenti deviatoriche e volumetriche sono disaccoppiate:

Il potenziale elastico riconosce due contributi energetici:

NB ESISTE UN'UNICA SOLUZIONE PER IL PROBLEMA ELASTICO!

NOTE DA ESERCITAZIONE

• Se m = h^T → vede la formula ridotta:

LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO LINEARE

• ε_x = 1/E [σ_x - ν(σ_y + σ_z)]
• ε_y = 1/E [σ_y - ν(σ_x + σ_z)]
• ε_z = 1/E [σ_z - ν(σ_x + σ_y)]

ε_ij, δσ_ij > 0

ε_ij, δσ_ij < 0

LEGAME COSTITUTIVO E SCORRIMENTO ANGOLARE

• δγ_xy = τ_xy/G = 2ε_xy
• δγ_xz = τ_xz/G = 2ε_xz

I CASI DI DE SAINT VENANT

Trazione monoassiale

N ≥ 0: trazione

N < 0: contrazione

ν < 0: espansione omotetica

ν > 0: compressione omotetica

Flessione retta: momento in direzione z

• Soluzione esatta per solido di DSV soggetto a momento flettente costante coincidente con l'asse z.
• Lo sforzo normale varia linearmente con la distanza y dall'asse neutro (y=0)
• Massimo sforzo normale (in valore assoluto): fibra più lontana dall'asse neutro
• Piano di flessione e piano di sollecitazione coincidenti
• Asse neutro perpendicolare all'asse di sollecitazione

Per la linearità di ε_xx proposta dalla cinematica del problema, l'asse baricentrico dovrebbe atteggiarsi come un arco di circonferenza. Tuttavia, per l'ip di piccole deformazioni e piccoli spostamenti, l'asse baricentrico si atteggia come un arco di parabola.

Considerando un generico diametro della circonferenza:

momento di inerzia

Casco di un solido con sezione a corona circolare

Il carattere della soluzione è del tutto analogo a quello della soluzione del solido circolare, con:

Dal problema di Dirichlet:

Sezione monoconnessa:

momento d'inerzia

In accordo con l'hp di DSV di contorno laterale scarico, vale sempre:

Torsione di un solido con sezione in parete sottile e chiusa

s - Asse ascissa curvilinea

Ω - Area media

formula di Bredt

hp b(s) piccola rispetto alle dimensioni caratteristiche del profilo, e dolcemente variabile in funzione di s

nb La trattazione di Bredt non è applicabile in eventuali zone dello spessore con snodi bruschi o punti di non derivabilità di s'

Le tensioni variano lungo x² (=variabile) e sono causate da M¹, che ruota la sezione attorno a x¹. Tale rotazione è contrastata dal momento di inerzia I¹.

Analizziamo la rotazione prodotta da M²

Le tensioni variano lungo x¹ (=variabile) e sono causate da M², che ruota la sezione attorno a x². Tale rotazione è contrastata dal momento di inerzia I².

Giustificazione fenomenologica del segno "meno"

Consideriamo il punto P in figura: in esso si ha compressione!

Unendo i risultati ottenuti per le due componenti si ha che:

Andamento lineare degli sforzi

Per disegnare la farfalla dobbiamo

• calcolare l'asse neutro
• Tracciare l'asse neutro e le parallele che intersecano gli estremi della sezione
• Tracciare la perpendicolare all'asse ed un segmento con inclinazione arbitraria.

nb il segno è positivo nella direzione di M, negativo dall'altra parte