Appunti Matematica

Verificare la continuità e derivabilità di una funzione

Es.

A(x) = {   x log x per x ≥ 1   K x - 1 per K < 1

La funzione è continua ∀ x ≠ 1.

È continua con x = 1

f(x) = lim_{x →1^-} f(x) = lim_{x → 1⁺} f(x)

{

f(x) = log(1) = 0

lim_{x → 1^-} log 1 = 0

lim_{x → 1⁺} K x - 1 = K - 1

La funzione è continua se

K - 1 = 0 → K = 1

È derivabile ?

lim_{x → 1^-} f'(x) = lim_{x → 1⁺} f'(x)

lim_{x → 1^-} log(1) = 0

lim_{x → 1⁺} K_x/1 - 1 = 0

I due limiti sono uguali, quindi la funzione è continua e derivabile per K = 1

ESERCIZI: CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE

f(x) = e^αx + 1    x ≤ 0 3x + β    x > 0

f(0) = e⁰ + 1 = 2

lim x -> 0^- e^αx + 1 = 2

lim x -> 0⁺ 3•0 + β = β

CONTINUA SE    β = 2

f'(x) = e^αx    x < 0 3    x > 0

lim x -> 0^- e^αx0 • α = α

lim x -> 0⁺ 3 = 3

α = 3

TEMA D'ESAME 13 GENNAIO 2021

f(x) = x² + a    x > 0 -bx +4    x ≤ 0

f(0) = -b•0 + 4 = 4

lim x -> 0^- -b•0 + 4 = 4

lim x -> 0⁺ e⁰ + a = 4 + α

1 + a = 4

a = 3

ESERCIZI DISEQUAZIONI

TEMA D'ESAME 4 FEBBRAIO 2010

x - 3 ≥ 0 → x ≥ 3

x - 7 > 0 → x > 7

3 < x < 7

TEMA D'ESAME 8 GIUGNO 2010

log₂(1-x) ≤ 1

(1-x)² ≤ 2¹ → -x² ≤ 2 - 1

-x² ≤ 1 → x² ≥ 4 |ℝ

x + 1 > 0 → x² < 1 → x = ±1 →

-1 < x < 1

1 SOL

2 SOL

TEMA D'ESAME 10 LUGLIO 2010

(1/7)² ≤ (1/7)^x+2

BASE < 0 → inverto segno e diventa >

x² - 3x + 5 → x² - 3x - 5 ≥ 0 →

(x - 5) (x + 1) ≥ 0

x = 5 x = -1

x ≤ -1 ∨ x ≥ 4

TEMA D'ESAME 1 SETTEMBRE 2010

ln(x+1) ≤ 0

x + 1 ≤ e⁰ → x + 1 ≤ 1 → x ≤ 0

x + 1 > 0 → x > -1

-1 < x ≤ 0

RENDITA IN CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA CON RATA ANNUA NON UNITARIA DI IMPORTO COSTANTE R

RENDITA ANNUA POSTICIPATA DI RATA COSTANTE R

Montante → M = R⋅ _(1+i)^m-1/_i

Val. att. → A = R⋅ _1-(1+i)^-m/_i

RENDITA ANNUA ANTICIPATA DI RATA COSTANTE R

Montante → M = R⋅ _(1+i)^m-1/_d

Val. att. → A = R⋅ _1-(1+i)^-m/_d

d = _i/_1+i

RENDITA FRAZIONATE

Sono quelle rendite nelle quali le rate sono previste in corrispondenza di frazioni di anno (bimestrali, trimestrali...)

Si continua ad utilizzare le relazioni ricavate in precedenza tenendo però presente: TEMPO, TASSO PERIODICO EQUIVALENTE.

• Il tempo (che si riflette sul numero delle rate) deve essere espresso in frazioni di anno.
• Occorre utilizzare il corrispondente tasso periodale equivalente i_t.

Matrice Identica

Una matrice è quadrata se dice identica quando gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a 1 e gli altri elementi sono nulli.

Operazioni con Matrici

Addizione e Sottrazioni

La somma di due A e B dello stesso tipo è una terza matrice A+B dello stesso tipo i cui elementi sono la somma degli elementi corrispondenti delle due matrici.

Moltiplicazione per una Costante

Moltiplicazione Matrice Riga x Matrice Colonna

Il prodotto di una matrice riga 1×n per una matrice colonna n×1, con lo stesso numero di elementi n, è una matrice 1×1, formata da un solo elemento, ottenuto sommando fra loro i prodotti.

Schema Massimi - Minimi

Data la funzione f(x):

• Calcolare il dominio di f(x)
• Calcolare la derivata prima f'(x)
• Ponre f'(x) > 0 e risolvere la disequazione rappresentando la soluzione.

Es:

X=3 punto di minimo (relativo)

X=5 punto di massimo (relativo)

Schema Connessità - Concavità

• Calcolare il dominio f(x)
• Calcolare la derivata prima f'(x)
• Calcolare la derivata seconda f''(x)
• Ponre la f''(x) > 0 e risolvere la disequazione rappresentando la soluzione:

Es:

X=4 punto di flesso

X=6 punto di flesso

Teorema di Weierstrass

Se una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b], allora f ammette massimo M e minimo m in [a, b].

Esercizio Tipo

f(x) = √(x² + 1) / (x³ + 1)

1. Passaggio → Si calcola il dominio.

x² + 1 ≥ 0

x³ + 1 ≠ 0 → x ≠ -1

• [1, 0] → Escluso perché la f non è definita nel punto -1
• [-3, 2] → Questo è accettabile.
• (1, 2) → Escluso perché è aperto