Appunti Interazione bioelettromagnetica 1 - Parte 2

C C C C C

11 12 13 14 15

C C C C C

21 22 23 24 25

C C C C C

[C ] = 31 32 33 34 35

C C C C C

41 42 43 44 45

C C C C C

51 52 53 54 55

W V

4. Per minimizzare devo imporre il gradiente rispetto ai pari a zero:

e i 31 di 46

εW = 0 k = 1,2,...,n n=nodi

εV

k n

⃗

→ 0= V C

i ik

i=1 εW/εV = 0

Ad esempio considerando il nodo n=1, per avere , sostituisco innanzitutto la

1 W

matrice dei coefficienti per il singolo elemento nell’equazione di . Dopodiché calcolo la

e

W V

derivata parziale di rispetto a :

e 1 C C C C C

11 12 13 14 15

C C C C C

21 22 23 24 25

N 1 t C C C C C

⃗ [C ] =

W = = σ[V ] [C ][V ] 31 32 33 34 35

e 2 C C C C C

e=1 41 42 43 44 45

C C C C C

51 52 53 54 55

εW

0= = 2V C + V C + V C + V C + V C + V C + V C + V C + V C

1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 2 21 3 31 4 41 5 51

εV

1

0 = V C + V C + V C + V C + V C

1 11 2 12 3 13 4 14 5 15

Aumentare il numero di nodi comporta un maggiore dettaglio della soluzione ma aumenta di

molto la fatica di calcolo.

FDTD (Finite Difference Time Domain)

Questo metodo si usa in particolare per la dosimetria a radiofrequenze e prevede i seguenti step:

1. Discretizzazione nello spazio e nel tempo del dominio di analisi, viene fatta generalmente con

celle cubiche o a forma di parallelepipedo

2. Discretizzazione delle equazioni di Maxwell nel dominio del tempo, cioè dalle equazioni a deri-

vate parziali nel dominio del tempo si passa alle equazioni definite su differenze finite sul sin-

golo elemento

3. Risoluzione attraverso un sistema di equazioni alle differenze sul dominio discretizzato

La cella base è il più piccolo spazio in cui si hanno informazioni sul campo elettrico e magnetico;

in questa cella i campi devono essere uniformi e le proprietà dielettriche costanti perché ciò con-

sente una discretizzazione millimetrica del corpo. Quindi la cella è la risoluzione minima spaziale.

La discretizzazione prevede che ogni cella venga identificata da una terna di indici ijk, inoltre per

ogni cella dobbiamo associare 6 grandezze (3 per ogni campo E e H). Le componenti del campo

elettrico sono collocate sugli spigoli della cella, mentre le componenti del campo H sono parallele

alla normale delle facce del cubo.

( ) ( )

1 1 1

H → H i, j + , k + E → E i + , j, k

x x x x

2 2 2

( ) ( )

1 1 1

H → H i + , j, k + E → E i, j + , k

y y y y

2 2 2

( ) ( )

1 1 1

H → H i + , j + , k E → E i, j, k +

z z z z

2 2 2 32 di 46

È necessaria anche una discretizzazione temporale, quindi bisogna assegnare dei set di valori di E

e H per ciascun intervallo di tempo e disaccoppiare temporalmente i due campi nelle equazioni di

Maxwell; le informazioni sul singolo intervallo di tempo del campo H le ricavo all’interno del seg-

mento temporale, invece il campo elettrico lo ricavo ai limiti dell’intervallo temporale.

Una volta discretizzato il dominio di analisi in termini spaziale e temporali, passiamo a discretizza-

re le equazioni. Prendo le equazioni di Maxwell in forma vettoriale, ciascuna di esse porta a un set

di 3 equazioni scalari, e vado a sostituire il concetto di derivata per l’analisi numerica, cioè come

differenza finita del rapporto incrementale; in pratica, discretizzare le derivate significa sostituire al

al posto della derivata la differenza finita centrata.

εE εE

( )

εH 1 y z

x = ∇

εt ω εz εy

( )

εH εE εE

εH 1

y z x

′− E = ∇ ω ≪ = ∇

εt εt ω εx εz

εE

εH ( )

εE

1 y

z x

= ∇

εt ω εy εx εH

εH

( )

εE 1 y

z

x = ∇ ∇ μE

x

εt σ εy εz

( )

εE εH

εH

εE 1

y z

x

′ − H = μE + σ ≪ = ∇ ∇ μE

y

εt εt σ εz εx

εH

εE ( )

εH

1 y

z x

= ∇ ∇ μE

z

εt σ εx εy

Focalizziamoci sulla prima equazione:

εE εE

( )

εH 1 y z

x = ∇

εt ω εz εy

n+1/2 n∇1/2

εH H ∇ H

x x x

=

εt ≫t

( ) ( )

1 1 1 1

n+1/2 n∇1/2

H i, j + , k + ∇ H i, j + , k +

εH x x

2 2 2 2

x =

εt ≫t 33 di 46

Devo trattare come differenze finite anche le due derivate spaziali che compaiono nell’equazione:

( ) ( )

1 1

E i, j + , k + 1 ∇ E i, j + , k

εE y y

2 2

y =

εz ≫z

( ) ( )

1 1

n n

E i, j + , k + 1 ∇ E i, j + , k

εE y y

2 2

y =

εz ≫z

(considerando anche l’istante temporale)

( ) ( )

1 1

E i, j + 1,k + ∇ E i, j, k +

εE z z

2 2

z =

εy ≫y

( ) ( )

1 1

n n

E i, j + 1,k + ∇ E i, j, k +

εE z z

2 2

z =

εy ≫y

(considerando anche l’istante temporale)

Praticamente la differenza finita la faccio sempre prendendo il valore della componente del campo

su due celle adiacenti.

Mettendo tutto insieme si ottiene:

( ) ( )

12 12 12 12

n+1/2 n∇1/2

H i, j + , k + ∇ H i, j + , k +

x x =

≫t

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

n n n n

E i, j + , k + 1 ∇ E i, j + , k E i, j + 1,k + ∇ E i, j, k +

1 y y z z

2 2 2 2

∇

ω ≫z ≫y

0

Questa è solo una delle 6 equazioni da implementare al calcolatore e va calcolata per ogni cella di

1

n +

H

analisi. In questo caso l’incognita è all’istante , ma in generale sono interessata ai valori

x 2

per gli istanti temporali successivi che dipendono da quelli precedenti.

Possiamo considerare la soluzione stabile se ad ogni passo l’errore fatto si riduce:

n+1 n

σ ∥ σ

| | | |

Considerando un cubo, ad esempio, l’errore si riduce a un fattore che dipende dalla velocità del-

l’onda elettromagnetica e dalle dimensioni della cella, ossia dalla velocità con cui l’onda si propa-

ga nella cella.

1 1

≫t ∥ c 1 1 1

+ +

2 2 2

≫x ≫y ≫z

Per quanto riguarda l’accuratezza, invece, quale che sia la dimensione della cella elementare,

deve essere molto minore della lunghezza d’onda della radiazione incidente:

≫ = m a x(≫x, ≫y, ≫z) ⊥ ξ 34 di 46

Accuratezza e stabilità insieme mi consentono di stabilire quanto la soluzione sia applicabile,

questi due criteri sono legati alle dimensioni della cella. Questo metodo usa quadrilateri per la

mesh che può essere realizzata in modo diverso così da grigliare meglio superfici o volumi che

siano curvilinei, l'FDTD offre anche la possibilità di realizzare dei mesh variabili, perché ridurre

troppo la mesh significa aumentare la potenza di calcolo necessaria a trovare la soluzione, quindi

devo sempre trovare un compromesso ideale tra mesh e la soluzione che sto cercando.

Un ultimo step di questo metodo è quello di imporre delle condizioni al contorno che mi consen-

tano di chiudere il dominio di analisi e al tempo stesso di riuscire a risolvere le equazioni ai bordi.

La tecnica del Perfectly Matched Layer (PML) consente di imporre direttamente le condizioni sulle

celle ai bordi andando a scrivere le componenti che sono necessarie al metodo ma con valori che

rappresentino bene la realtà dei fatti, perché mettere a 0 tutte le grandezze dopo le celle di confi-

ne compromette molto l'andamento della soluzione in quanto vengono direttamente implementati

dei fenomeni di riflessione che vanno a infastidire la soluzione. Tramite il PML si è voluto proprio

risolvere il problema dello scatterer, infatti ogni volta che ho due mezzi diversi con diverse proprie-

tà avrò una buona parte di riflessione (scattering), il PML mette uno strato in cui l'onda che arriva

non viene riflessa indietro, in questo modo non si forma riflessione. Il PML, quindi, lavora sulle

proprietà dielettriche in modo che l’onda venga attenuata prima del dominio di analisi ma non

venga riflessa indietro. In particolare, sfrutto la conducibilità del PML per avere attenuazione e non

avere riflessione.

I vantaggi del metodo del FTDT sono:

• Ridotto costo computazionale

• Non c’è la necessità di invertire matrici come nel caso del FEM

• Possibilità di studiare oggetti scatteranti con diverse dimensioni

• Possibilità di considerare interazioni da campo vicino e da campo lontano 35 di 46

Applicazioni della dosimetria

I modelli analitici sono molto utili per studiare i fenomeni e i processi che ne derivano, ma trovano

uno scarso interesse in ambito applicativo dovuto alle eccessive complicazioni che si hanno nel

portare le soluzioni analitiche nella realtà dei fatti. Ad esempio, tramite lo studio analitico è stato

possibile individuare come la distribuzione del SAR e i suoi fenomeni di distribuzione sull’organi-

smo dipendano dalla frequenza del campo esterno; come vediamo in figura, ad esempio, per al-

cune bande del 5G (40/60 GHz) sappiamo che l'assorbimento è solo superficiale e si limita a

qualche centimetro o qualche millimetro sulla pelle, in più è stato possibile osservare i diversi

fenomeni di assorbimento a diverse frequenze.

Per una conoscenza più specifica dobbiamo rifarci necessariamente alla dosimetria numerica. È

necessario caratterizzare la sorgente del campo per capire se l’interazione è del tipo campo vicino

(antenna del telefono) o del tipo campo lontano (onda piana).

Spesso i software hanno una disponibilità di modelli antropomorfi standardizzati, indicati come

VIP (virtual population) che rappresentano alcune fase della popolazione umana. I primi storica-

mente sviluppati sono duke, ella, theolonius e billie. Questi sono modelli antropomorfi estrema-

mente caratterizzati per quanto riguarda anche i tessuti stessi, questi modelli hanno implementato

oltre 100 tessuti umani (anche le più piccole ghiandole).

Vediamo, ad esempio, come si caratterizza la sorgente che ipotizziamo originare da una antenna

ξ ≈ a

(metodi numerici HF, ). Considero l’antenna al centro di una sfera così da