Appunti Interazione elettromagnetica 1 - Parte 1

S S

Meccanismi di polarizzazione

Riprendiamo l’esempio del muscolo, ogni salto di permittività ha un significato fisico:

α

- Il meccanismo di rilassamento di tipo è dovuto al rilassamento da controioni e si passa da

7 4

10 10

valori di a , la frequenza di rilassamento è dell’ordine di grandezza dei kHz.

β

- Il meccanismo di rilassamento di tipo è dovuto alla polarizzazione da interfaccia e si passa da

4 2

10 10

valori di a , la frequenza di rilassamento è dell’ordine di grandezza dei MHz.

γ

- Il meccanismo di rilassamento di tipo è dovuto al meccanismo di orientazione dipolare e si

2 0

10 10

passa da valori di a valori di , la frequenza di rilassamento è dell’ordine di grandezza dei

GHz. 6 di 46

Questi fenomeni sono dovuti fondamentalmente alle differenze strutturali (in particolare sull'ordine

di grandezza dei micron e dei nanometri) che comportano le differenze di comportamento tra i

diversi mezzi biologici.

Rilassamento dei controioni (cariche di segno opposto) α

Il rilassamento dei controioni è il fenomeno responsabile del primo salto, quello di tipo . Consi-

deriamo la membrana cellulare che è costituita da un doppio strato fosfolipidico; la singola mole-

cola di fosfolipide possiede una testa polare in cui è localizzata una carica positiva, mentre la par-

te interna è caratterizzata da un addensamento di carica negativa. L'interazione sulla superficie

della membrana con l’ambiente acquoso limitrofo è diversa rispetto alle interazioni del bulk water,

perché a causa delle teste polari ci sono dei piccoli campi elettrici

locali che inducono una modifica del comportamento dell’acqua

sulla superficie della membrana. In particolare, una caratteristica

che cambia è il potenziale elettrico in funzione della distanza dalla

membrana. In corrispondenza della superficie di membrana abbia-

mo alti valori di potenziale elettrico a causa delle cariche fisse delle

teste polari, invece allontanandomi da essa questi valori diminui-

scono fino anche a tendere a 0 in base alla concentrazione del solu-

to extracellulare, infatti nella soluzione (bulk water) il potenziale è

nullo, ovvero la soluzione è neutra. Esiste quindi un gradiente di po-

tenziale e nella regione in cui si verifica questo gradiente di poten-

ziale troviamo un campo elettrico elettrostatico localizzato.

Tuttavia, nel soluto extracellulare non c'è solo acqua, per ora consideriamo solo la presenza di

ioni di carica opposta rispetto alla superficie della membrana. Questi ioni vengono attratti dalla

membrana e ciò comporta l’instaurarsi di una sorta di condensatore, perché da un lato ho le teste

polari della membrana e dall’altro le cariche di segno opposto della soluzione, quindi si ha la for-

mazione di un doppio strato elettrico. All’interno della distanza tra controioni e membrana, il po-

tenziale decresce in accordo con il modello di Helmoltz (è il modello che attribuisce la natura di

condensatore al doppio strato lipidico) e poi decresce andando verso il bulk dell'acqua. Esiste

quindi un gradiente di potenziale ai due lati della membrana. 7 di 46

Vediamo come evolve il potenziale elettrico a partire dall’equazione di Poisson:

ρ

2

∇ ⋅ ∇Ψ = ∇ Ψ = − εε

0

La sorgente del campo è fissa quindi mi trovo in condizioni statiche, inoltre sto considerando solo

il potenziale che si attiva nel processo di richiamo degli ioni quindi considero il caso monodimen-

2

d Ψ(x) ρ(x)

→ = −

sionale d x εε

2 0

ρ(x)

Il termine è la densità di carica degli ioni, visto che posso supporre l’equilibrio termodinami-

co, sfrutto l’equazione di Boltzmann, per cui la densità di carica sarà data dalla valenza dello ione

per la sua concentrazione, e scrivo come varia la concentrazione ionica:

∑

ρ(x) = F z c (x)

i i

i zi F Ψ(x)

−

c (x) = c (x)e RT

i i,∞

Supponiamo di avere solo due specie ioniche (il liquido extracellulare è una soluzione salina che

+ −

Na Cl

approssimo ad acqua e sale quindi le uniche specie ioniche presenti saranno e ), sosti-

tuisco l’espressione di Boltzmann per entrambe le specie ioniche e scrivo la densità di carica ioni-

ca da inserire nell'equazione di Poisson:

[ ( ) ( )]

2 z F Ψ(x) z F Ψ(x)

d Ψ(x) z Fc i i

= − ex p − − ex p

d x ε ε RT RT

2 r 0

[ ( )]

2 z F Ψ(x)

d Ψ(x) 2z Fc i

= sin h

d x ε ε RT

2 r 0 1/2

2 2

( )

z F Ψ(x) 2z F c

i

y = k =

RT ε ε RT

r 0

2

d y 2

⇒ = k sin h(y) (soluzione analitica)

d x 2 −k x

y < 1 → y(x) = y e

Se 0

Se il potenziale è abbastanza piccolo, la soluzione può essere linearizzata e troviamo un anda-

1

λ =

mento tipicamente diffusivo. Il termine è definito come la lunghezza di Debye, ovvero la

D k

distanza dalla membrana da cui si risente ancora la presenza dell’attività del potenziale, dopo

λ

questo valore il potenziale è nullo; quindi è la distanza nella quale si estingue il potenziale elet-

D

trico della membrana.

Estendendo l’analisi al caso 3D, si complicano i calcoli ma si arriva sempre ad un andamento dif-

fusivo del potenziale governato sempre dall’equazione di Poisson-Boltzmann; anche la lunghezza

di Debye risulta essere la stessa. 8 di 46

δ

Ricapitolando l’andamento del potenziale, lungo la distanza di separazione tra teste fosfolipidi-

che e controioni il potenziale decresce linearmente, successivamente decresce con un andamen-

λ

to diffusivo per un tratto di lunghezza fino a che si può considerare nullo.

D

Questo processo si svolge attorno alla cellula in assenza di un campo elettrico esterno, applican-

do un campo, invece, i controioni inizieranno a muoversi ma se le le variazioni del campo elettrico

sono tali che le sue oscillazioni sono molto veloci, gli ioni non riusciranno a seguire il campo per-

ché sono sottoposti ad una certa inerzia; nel momento in cui il campo diventa troppo veloce nelle

sue oscillazioni e gli ioni non riescono a seguire questa oscillazione allora si avrà il fenomeno del

rilassamento dovuto ai controioni. Questo fenomeno è quindi un fenomeno dinamico e dipende

ε

dalle oscillazioni del campo elettrico esterno, infatti lo si dimostra proprio andando a misurare la

a diverse frequenze, superato un certo valore decade questo effetto protettivo degli ioni nei con-

fronti della cellula. ε

Ricavo l’espressione della che descrive questo processo:

2

z δ a

1 0

ε(ω) = ε +

b 1 + jω τ ε K T

0

2 2 z

zα a μ = D

τ = = kT

2μk T D τ τ

In particolare, l’inverso di è la frequenza di rilassamento e dipende in modo stretto dal quadra-

to del raggio della cellula diviso il coefficiente di diffusività D.

Polarizzazione da interfaccia β

Il secondo fenomeno di rilassamento, di tipo , è legato alla polarizzazione da interfaccia e si veri-

α

fica a frequenze di oscillazioni molto maggiori rispetto a quello del rilassamento . In questo caso,

il fenomeno avviene sempre sulla membrana cellulare, ma non è più dovuto agli ioni che si muo-

vono seguendo il campo esterno, ma al tentativo degli ioni di allinearsi rispetto al campo delle

componenti della membrana che possiedono un momento dipolo (teste polari e proteine). Model-

liamo la membrana secondo un’approssimazione planare, cioè come un condensatore riempito

9 di 46

da due diversi dielettrici che rappresentano due diverse componenti della membrana cellulare;

questo porta a dover risolvere un problema di condizioni al contorno.

Riempiendo il condensatore con due mezzi è come se rappresentassimo l’interfaccia tra il bilayer

della membrana e il mezzo acquoso limitrofo, che può essere quello intracellulare o extracellulare.

Visto che per come lo stiamo modellando supponiamo il campo perpendicolare all’interfaccia, al-

lora il campo elettrico sarà perpendicolare ai dielettrici e quindi le condizioni sono normali. Questo

ragionamento è vero se non ci sono densità di carica superficiali. Immaginiamo quindi che il mez-

zo 2 esprima il comportamento del bilayer fosfolipidico, mentre il mezzo 1 esprima il mezzo ac-

σ = 0

quoso intracellulare, allora, nel mezzo 2 perché nella membrana non ci sono cariche libere

2

σ ≠ 0

di muoversi, al contrario nel mezzo 1 . Da queste considerazioni vado a calcolare la capa-

1

cità equivalente complessiva del condensatore con i due mezzi.

( )

σ

1

ε − j ε

1 ωε 2

0

C = Aε C = Aε

1 0 2 0

d d

1 2

( )

σ

1

Aε ε ε − j

0 2 1 ωε 0

⇒ C = ( )

σ 1

d ε − j + d ε

2 1 1 2

ωε 0 ε

Sostituisco la classica formula della capacità di un condensatore andando a ricavare la equiva-

lente dei due mezzi:

Aε ε ε d

0 2

C = ⇒ ε =

d d ε

1 2

d +

2 σ 1

ε − j

1 ωε 0

d

ε = ε

ω → 0

Per si ottiene S 2

• d 2 ε ε d

1 2

ε =

ω → ∞

Per si ottiene ∞

• d ε + d ε

2 1 1 2

ε > ε

Essendo , ad un certo punto si verifica una perdita di permittività all’aumentare della fre-

S ∞

quenza in accordo con la modellizzazione alla Debye.

Ripetiamo questo modello considerando entrambi i mezzi come conduttivi, quindi dovremo tener

J = J

conto della condizione di continuità della corrente nei due materiali, ; infatti se questa non

1 2

si verifica vuol dire che in uno dei materiali si accumula una densità di carica, cioè si ha una distri-

J < J

buzione di carica non uniforme all’interfaccia. Se vengono portate via cariche dall’inter-

1 2

J > J

faccia dei due mezzi, se si depositano cariche all’interfaccia dei due mezzi.

1 2

Nel caso di mezzi entrambi conduttori, ogni mezzo deve es-

sere modellato come il parallelo tra una capacità (rappresen-

ε 1/σ

ta la ) e una resistenza (rappresenta ), quin