Appunti Fisica 1 - parte 2

_Q^→ = ∑_iq_i^→ = ∑_im_i^→v_i(t) = ∑_im_i^→r_i(t) =

= d/dt (m₁^→r₁(t) + m₂^→r₂(t) + ...) =

= d/dt ∑_im_i^→r_i(t) (M_TOT^→r_CM) = M_TOT^→v_CM

Dalla 1^a cardinale segue una legge di conservazione molto importante secondo la quale se la sommatoria delle forze esterne di un sistema di punti materiali è nulla allora la quantità di moto totale _Q^→ del sistema si conserva.

es.

X_CM

m sono ferme _Q^→ = 0 perchè v=0.

Il centro di massa resta fermo quindi la velocità del C.M.=0 quindi la quantità di moto = costante = 0.

d/dt _Q^→ = ∑_i^→F_i^ext

1^o CARDINALE CORPI ESTESI

Momento Angolare

Momento della quantità di moto rispetto al centro di rid. O

M_o = (P - O) x mv

|M| = |mv| . |P - O| . sen α

con direzione e verso di M entrante.

sen α = sen(π - α) = sen β ⇒ |M| = |mv| . |P - O| . sen β

Ma |P - O| . sen(β) = b ⇒ |M| = |mv| . b

Momento angolare di un corpo rigido

K_o = Σ_i (P_i - O) x mi . v_i

es.

Uscente

Regola mano destra

• Pollice → lungo P O
• Indice → lungo v
• Medio → direzione

Il fatto che K_o sia risultato ≠ 0 per un disco in rotazione mi fa capire che il momento angolare è la grandezza fisica che mi da informazioni riguardo la rotazione dei corpi con massa.

Es. 2.7

asta L, m e densità crescente linearm.Sfera M, RDove si deve trovare il fulcro per equilibro?

Questo sistema sarà in equilibrio quando il centro di massa di tutto il sistema si troverà in corrispondenza del fulcro.

X_CH = ^{Σ_i x_im_i}/_MTOT = ^{Σ_i x_im_i}/_MTOT = ^M_asta·X_CH/_MTOT = ^{M_sfera·X_CH}/_MTOT

= ^m·L/₃ + M·(L+R)/_{m + M} = X_CH

Es. 2.12

Asta: lunghezza 2R, mDisco: M, RQual'è il valore minimo della massa m oltre il quale il sistema non risulta in equilibrio?

Σ_x (-F_as + mg cosθ - Mg cosθ = 0)

Σ_y (N - Mg senθ - mg senθ = 0)

Σ_M (-Mg · R senθ + mg·(R - R senθ) = 0 => m = ^{MR senθ}/_{R - R senθ} = ^{Msentθ/_senθ)}

Se abbiamo un moto di rotazione e traslazione per cui la velocità del punto di contatto è nulla si ha un MOTO DI PURO ROTOLAMENTO.

Ipotizziamo V_o = V_o û_x V_c = 0.

Date queste due inf. sono in grado di determinare la velocità di ogni punto del corpo rigido.

V_o = V_c + ω × (O - C)

V_o . û_x = 0 - (ω . û_z) x R û_y = -WR (û_z x û_y)

V_o = WR

ω = -ω û_z = - V_o / R û_z

V_A = V_c + ω × (A - C) =

= 0 + (- V_o / R û_z x 2R û_y) = 2V_o û_x

V_B = V_c + ω × (B - C) =

= 0 - V_o / R û_z x (-R û_x + R û_y) = V_o (û_y + û_x)

K_CR · û = [∑_i(P_i-c_R) x m_i [ω⃗ x (P_i-c_R)] ] · û =

= ω ∑_i (P_i-c_R) x m_i [û x (P_i-c_R)] · û

Prodotto misto tra vettori

(â⃗ x b⃗ ) · c⃗ = (ĉ⃗ x â⃗ ) · b⃗

= ω ∑_i [û x (P_i-c_R)] · [û x (P_i-c_R)] · m_i =

= ω ∑_i |û x (P_i-c_R)|² · m_i = ω ∑_i |P_i-c_R|² · sen² θ_i · m_i

|P_i-c_R| · senθ_i è r_i che è la distanza del punto P_i dall'asse parallelo all’asse di rotazione passante per il CR.

=> K_CR · û = ω ∑_i m_i · r_i² = ω I_û

I_û è definito come momento d'inerzia del corpo rigido calcolato rispetto ad un asse parallelo ad û e passante per il C.R. ed è la sommatoria delle massettine m_i del corpo moltiplicata per la distanza r_i al quadrato della massettina dall’asse û passante per il C.R.

n ( Rn - Mg cosθ = Mdθ̈ = 0

τ̂ Rx - Mg senθ = Mdθ ̇(o)

Trovo le reazioni vincolari Rx e Rn.

Determinare l'accelerazione del disco che rotola supponendo che esso compia moto di puro rotolamento.

V̅c = 0 |V̅0| = |ω̅|·R

Puro

Posso scegliere come CR sia C che il CM.

C̅m = α·R

1° caso CR ≡ CM

x ( Mg senα - FA = M·αcm )

y ( N - Mg cosα = 0 )

(θ) ( FA·R = Icm·α = 1/2 MR²θ̈ )

Dato che |V̅0| = |ẋcm| = |θ̇|·R ⇒ ẋcm = θ̇·R ⇒ ẍCM = θ̈·R

Se θ̇ > 0 il disco si muove a destra ⇒ ẋcm > 0

3° Eq. FA = 1/2 MRθ̈

1° Eq. Mg senα - 1/2 MRθ̈ = Mθ̈R ⇒ θ̈ = 2/3 (g senα / R)

⇒ ẍcm/R = 2/3 g senα/R

Problema

Il pendolo composto viene lasciato oscillare partendo da fermo da Θ(0) = Θ₀ = π/6. Calcolare la velocità angolare con cui passa da Θ = 0.

¹/₂ I_o Θ̇(0)² - Mg d cos Θ(0) = ¹/₂ I_o Θ̇_f² - Mg d cos Θ_f

- Mgd cosΘ(0) + Mgd = ¹/₂ I_o Θ̇_f²

Mgd (1 - cosΘ(0)) = ¹/₂ I_o Θ̇_f² ⇒ Θ̇_f = √^{2Mgd(1-cosΘ(0))}/_Io

costante = E_MEC = ¹/₂ I_o Θ̇² - Mg d cosΘ

0 = dE_MEC/dt = ¹/₂ I_o 2 Θ̈(t) Θ̇(t) + Mg d senΘ(t) Θ̇(t)

Se escludiamo la sol. banale Θ̇(t) = 0

I_o Θ̈(t) = - Mgd senΘ(t)

II^o cordinale pendolo composto applicata in O.

es.

Se ho moto di rotol. puro RΘ̇ = V_o

T = ¹/₂ M V_CM² + ¹/₂ I_CM Θ̇² = ¹/₂ M V_o² + ¹/₂ ( ¹/₂ MR²) Θ̇²

= ¹/₂ M V_o² + ¹/₄ MR² Θ̇² = ¹/₂ M V_o² + ¹/₄ M V_o² = ³/₄ M V_o²

∫_ti^t_f ∑_i F_i^ext dt = ∫_ti^t_f M_tot a_cm dt Integrale della I cardinale

∑ J_i = ∫_ti^t_f F_i^ext dt = J_i^ext

• SOMMATORIA DEGLI IMPULSI (J_i) DELLE FORZE ESTERNE

∑ J_i^ext = M_tot (V_cm(t_f) - V_cm(t_i)) = Q(t_f) − Q(t_i)

I^o CARDINALE IMPULSIVA

t_f ∫_ti m_ig dt = m_ig Δt ma Δt ≪ 1s

quindi J_i^PESO ≃ 0

In questo urto in cui gli impulsi delle forze esterne sono trascurabili la quantità di moto si conserva ossia: Q(t_f) = Q(t_i).

m₁ V_2i + m₂ V_2i = m₁ V_1f + m₂ V_2f

caso 1) I corpi sono palle da biliardo

caso 2) I corpi sono palle di neve

➀ Nel caso in cui durante l'urto si conserva l'energia cinetica si parla di URTO ELASTICO.