Appunti insiemi Analisi 1

3/10/23

Insiemi numerici

N = insieme dei numeri naturali: 0, 1, 2, 3, ...

Z = insieme dei numeri interi: 0, ±1, ±2, ...

Q = insieme dei numeri razionali: m/n con m, n ∈ Z e n ≠ 0

R = insieme dei numeri reali

L'insieme numerico che scegliamo come ambiente di lavoro è R, perché possiede la proprietà di completezza.

Tale proprietà caratterizza R e lo distingue dagli altri insiemi (in particolare da Q) e fa di R uno strumento di misura continuo.

Q: i numeri razionali

È definita in Q un'operazione + detta somma o addizione che associa a ogni coppia di elementi di Q uno e un solo elemento di Q e che soddisfa le seguenti proprietà:

1. per ogni a, b ∈ Q    a + b = b + a

   proprietà commutativa

2. per ogni a, b, c ∈ Q

   (a + b) + c = a + (b + c)

   proprietà associativa

3. Esiste un unico elemento detto zero e indicato con 0 tale che per ogni a ∈ Q risulta    a + 0 = a 0 è detto anche elemento neutro per +
4. Per ogni a ∈ Q esiste un unico elemento detto opposto di a e indicato con -a t.c.      a + (-a) = 0

Alcune conseguenze

Proprietà di densità

Per ogni x < y in ℚ esistono infiniti elementi z ∈ ℚ tali che x < z < y.

• z₁ = (x + y) / 2
• z₂ = (x + z₁) / 2
• ...

Proprietà di Archimede

∀ x, y ∈ ℚ, x > 0, y > 0

∃ m ∈ ℕ t.c. mx ≥ y

• x = p/q
• y = r/s
• p, q, r, s ∈ ℕ

Scegliamo m = q·r

Allora mx = q·r·(p/q) = r·p ≥ r > r/s = y