Appunti Geometria - parte 4

Esercizio

Si ha la retta r in A³ di equazioni

r:

• x - y + 2z - 2 = 0
• 2x + y + 3z - 1 = 0

Sono due equazioni di due piani. Loro intersezione è una retta.

Trovare un vettore V_R (vettore direttore di r)

Un vettore è determinato quando sono dati due punti, quindi per trovare V_R ci basta conoscere due punti di r. Per trovare i punti A e B prendo le due equazioni della retta che formano un sistema. Esso ha un'incognita e 2 equazioni posso determinare l'incognita. Le due libere di variabile ad essa assegno valori a piacere e trovo i due punti A e B

A:

• x - y - 2 = 0
• 2y + y + 1 = 0
• z = 0

A = (1, -2, 0)

B:

• x - y + 1 = 0
• 2x + y + 2 = 0
• z = -1

B = ( ²⁄₃, ²⁄₃, -1)

V_R = B - A = ( ²⁄₃ - 1, -²⁄₃ + 2, 1)

= ( -⁵⁄₃, ¹⁄₃, 1)

Se il vettore trovato non ci piace perchè presenta delle frazioni possiamo modificarlo cambiando solo le misure.

e non la direzione. Moltiplico per 3 e ottengo

il vettore (-5 -2 3) = Nr

Se vogliamo scrivere le equazioni parametriche di r

dobbiamo procedere così

r: x = A + l Nr

equazioni parametriche

• x = 4 - 5l
• y = -1 + 2l
• z = 0 + 3l

Per passare da quelle parametriche a quelle cartesiane

bisogna eliminare il parametro l. Ricavo l da una

delle tre e sostituisco nelle altre 2 e troviamo

le 2 equazioni cartesiane di r

Proiezione ortogonale di un punto su un sottospazio

affine

W = X - P

Si richiede che W I U

Per calcolare la proiezione di P sul sottospazio

affine U devo prendere un punto X ∈ U e

determinare il vettore W ovvero W = X - P.

Dopodiché devo imporre che W sia ortogonale ad U ovvero

W deve essere ortogonale a tutti i vettori che generano

U. In questo modo X coinciderà con H e H sarà la

proiezione di P su U.

U ⊂ A^M Supponiamo che il sottospazio affine U

sia descritto da una sola equazione lineare:

U :

a₁ x₁ + a₂ x₂ + ... + a_m x_m + b = 0

A^M ha dimensione m ed è lo spazio ambiente

Lezione 41

Fascio di Piani

In A³ una retta R di equazioni:

l₁: a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + d = 0 l₂: a'₁x₁ + a'₂x₂ + a'₃x₃ + d' = 0

In A³ una retta R ha due equazioni cartesiane dove ognuna di esse è un piano; infatti la retta R si ottiene dall’intersezione dei due piani. Ora prendiamo le due equazioni che descrivono la retta e ne facciamo una combinazione lineare

λ₂ (a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + d) + F₂ (a'₁x₁ + a'₂x₂ + a'₃x₃ + d') = 0

Si ottiene una equazione di 1^o grado (che rappresenta un piano) λ₂, d₂ Variando λ₂ e d₂ si ottengono infiniti piani. Tutti questi piani contengono la retta R. Si chiama fascio di piani di asse R (se i piani π e π' sono paralleli allora tutti i piani del fascio sono paralleli a π e π', si ottiene un fascio di piani paralleli)

Esempio In A³ sia R la retta di equazioni

l₁: { 3x y + z 1 = 0 l₂: y 3z + 2 = 0

Sia P (3, 1, -2) (P ∈ R)

D: X = A + t N₃

N₃ ?

N_C; ‖ α N_C; ⊥ N₂

N_N VETTORE ORTOGONALE A π

π 2x - y + 3z - 4 = 0

⇒ N_π = (2 -1 3)

CERCO UN VETTORE N₃ TALE CHE N₃ ‖ M₁ E N₃ ⊥ N_π

• N₃; M₁ = 0
• N₃; N_π = 0

SIA N₃ = (α β γ)

• N₃; M₁ = 2α - β + 3γ = 0
• N₃; N_π = 2 + 2β - γ = 0

RISOLVENDO SI TROVA N₃

OPPURE: SI PUÒ PRENDERE N₃ = M_π x N₂

N_π = (2 -1 3)

N₂ = (1 2 -1)

SI TROVA N₃ = M_π x N₂ = (-5 5 5)

POSSO PRENDERE N₃ = (-1 1 1)

EQUAZIONI DI D:

• x = 2 - t
• y = 3 + t
• z = 1 + t

Lezione 42

Esercizio

Dati:

• u = (3, 2, -2) ∈ ℝ⁴
• w₁ = (1, -2, 0, 1) ∈ ℝ⁴

(1) Trovare la proiezione ortogonale di u su sottospazio U di equazione x₁ + 2x₂ - x₃ + x₄ = 0

x₁ = -2v + x₃ - x₄ (dim U = 3)

Sono una base di U

Voglio decomporre il vettore u come somma di due vettori u' e v tali che u' ∈ U e v si potrà scrivere come combinazione lineare dei vettori della base di U. Quindi:

m₁ = 2u₁ + 2u₂ + 2u₃

u' = combinazione lineare dei vettori della base di U

u' + v = u, ottengo un sistema di equazioni. Lo risolvo e trovo i vettori che sto cercando. Un metodo molto banale ma molto lungo.

v'' = λu ⇒ v'' = v - v¹ = v - λu

v'' - λu = 0 ⇒ v'' = λu ⇒ 0 = (v - λu) ⋅ u = 0

u ⋅ v - λu ⋅ u = 0 ⇒ λ = _{u ⋅ v} / ^{u ⋅ u}

Si ottiene: v¹ = λ c t e = (_{u ⋅ v} / ^{u ⋅ u}) ⋅ u

p₁(v) = (_{u3 - v} / ^{u₁ - u₂}) ⋅ u₂

v = (x₁, x₀, x₃, x₄)

M_u = (0, 0, 1, 0)

= _x3 / ¹ (0, 0, 1, 0)

= (0, 0, x₃, 0)

p₂(v) = (_{u3 - v} / ^{2 - u₂}) ⋅ u₂

u₂ = (0, 1, 0, 1)

= (_{x2 + x4} / ²) ⋅ u₂ = (0, _{x2 + x4} / ², 0, x₂ + x₄)

‖ p₁(v) ‖ = ‖ (0, 0, x₃, 0) ‖ = √ x₃² = | x₃ |

‖ p₂(v) ‖ = ‖ (0, _{x2 + x4} / ^{2, 0, x₂ + x₄} ) ‖ = _{x2 + x4} / ^√2

F: [x₂] = | _{x2 + x4} / ^√2 |

equazione di F

si noti che non è un'equazione lineare perché i sono valori assoluti

F non è un sottospazio vettoriale perché ci sono valori assoluti e quindi non è chiuso rispetto all'operazione di somma a due vettori e prodotto di uno scalare per un vettore

(2) Determinare una base ortogonale di U e una base di V.

Per prima cosa conviene controllare se m₁, m₂, m₃ sono linearmente indipendenti.

Rango (2 0 1 1)(1 1 -2 2)(3 -1 0 -4)= ... (uso operazioni elementari per ridurre la matrice in forma a scalini)

(1 1 2 2)(0 -2 9 -5)

=> Rango = 2

=> Dim U = 2 e una base di U è formata da m₁, m₂

Per trovare una base ortogonale di U basta applicare il procedimento di Gram-Schmidt alla base {m₁, m₂} di U.

Come primo vettore della base ortogonale scelgo m₂ ovvero:

m₁' = m₂m₁' = m₂ + α₂m₁

m₁' · m₁ = (m₂ + α₂m₁) · m₁ = 0

=> m₁ · m₁ + α₂m₁ · m₁ = 0

=> α₂ = - m₁ · m₁ / m₁ · m₁ = - 2/6 = - 1/3

si ottiene m₂' = m₂ - 1/3 m₁ =