Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Lezione 27
Esercizio
(Continuo dell'esercizio lezione 26)
(a) Base di U ∩ W
(b) Base di U + W
Base di U ∩ W
- U1 = (1, 0, 0, 0), U2 = (0, 1, u, 2)
Base di U
- W1 = (1, 1, 0, 0)
- W2 = (0, 1, 1, 2)
- W3 = (0, 1, 1, 1)
Base di W
Una base di un sottospazio vettoriale non è mai unica, ne esistono infinite.
Per calcolare U ∩ W posso considerare un vettore che appartiene all'intersezione ed esso allora si potrà scrivere sia come combinazione lineare dei vettori della base di U sia di quelli di W. Ma se essi appartengono all'intersezione allora le due combinazioni lineari dovranno essere uguali. Quindi:
2u2 + 2u1 = β1v1 + β2v2 + β3v3
Sostituendo le coordinate dei vettori si trova un sistema di 4 equazioni in 5 incognite. Questo è un sistema indolungo.
C'è un modo più veloce: usare le equazioni che descrivono i due sottospazi vettoriali.
U:
- 3x2 + x3 - x4 = 0
- x1 - 2x3 + x4 = 0
Mettendo a sistema le equazioni di U e quelle di W troviamo U ∩ W.
Risolvendo il sistema:
- xu = 7xz
- xk = 4xz
- x1 + x2 + 2x3 - x4 = 0
- xu = 7xz
- xk = 4xz
- x1 + x2 + 8xz - 7xz = 0
- xu = 7xz
- xk = 4xz
- x2 = 0
- x1 = 7xz
- x2 = 4xz
- x2 = 0
Poiché dim (U ∩ W) = 1
Una base di U ∩ W
Sarà composta da un solo vettore. Per calcolarla
assegniamo un qualsiasi valore a x2.
- x2 = 1
- xz = 7
- xz = 4
- xz = 0
Il vettore (0,1,uz) è una base di U ∩ W.
(b) U + W è generato da:
- m1, m2, w1, w2, wz
Sono un sistema di generatori
ma non una base di U + W perché
vettori potrebbero essere tra di
loro linearmente dipendenti!
m1 e m2 presi da soli sono linearmente indipendenti
perché sono una base di U stessa cosa per w1, w2, w3,
la loro unione non mi assicura che siano ancora tutti
linearmente indipendenti.
Ricordando la formula di Grassman possiamo calcolare:
dim (U + W) = dim U + dim W - dim (U ∩ W)
= 1 + 2 + 3 - 1
= 4
= 4
Poiché dim (U + W)= 4 una base di U + W
Esercizio
f : R4 → R4 funzione lineare è definita da: f(0,1,0,0) = (0,1,0,2) f(0,0,0,1) = (2,-1,-1,-3) f(0,0,1,-1) = (8,0,-4,-4) f(1,0,-1,1) = (-6,0,3,3)
(a) Scrivere la matrice di f rispetto alle basi canoniche. Devo calcolare l'immagine tramite la funzione f dei vettori della base canonica
- f(1,0,0,0) = ?
- f(0,1,0,0) = (0,1,0,2)
- f(0,0,1,0) = ?
- f(0,0,0,1) = (2,-1,-1,-3)
Sono le colonne della matrice cercata
Per calcolare f(1,0,0,0) deve cercare di scrivere (1,0,0,0) come combinazione lineare di questi vettori e poi usando la linearità della funzione f riuscirò a calcolare f(1,0,0,0).
f(0,0,1,-1) + f(1,0,-1,1) - f(1,0,0,0) = f(0,0,0,1) (8,0,-4,-4) + (-6,0,3,3) = (2,0,-1,-1)
f(0,0,0,1) + f(0,0,1,-1) = f(0,0,1,0) (2,-1,-1,-3) (8,0,-4,-4) = (10,-1,-5,-7)
Lezione 28
Continua esercizio lezione precedente
(d) Determinare un sottospazio L ⊆ ℝ4 tale che
(ker f + Im f) ⊕ L = ℝ4. Dire se tale L è unico.
Avevamo visto che:
dim (ker f + Im f) = dim (ker f) + dim (Im f) - dim (ker f ∩ Im f)
- 3
- 2
- 2
- 1
Questo significa che una base di ker f + Im f sarà composta da 3 vettori
- (-5, 1, 1, 0)
- (1, 0, 1, 0)
- (1, 1, 0, 1)
Base di ker f
- (1, 0, 1, 0)
- (1, 1, 0, 1)
Base di Im f
Generatori di ker f + Im f
(non sono una base)
Quindi devo eliminare un vettore. Lo scelgo e faccio una verifica.
Elimino il primo (-5, 1, 1, 0) e gli altri 3 rimanenti li scrivo in riga in una matrice e verifico che abbia rango 3
- (-1, 0, 2)
- (2, 0, -1)
- (0, 1, 0, 2)
Con la riduzione a scal tramite eliminazione di Gauss si scopre che una matrice ha rango 3
Quindi i 3 vettori sono linearmente indipendenti ed in conseguenza una base di ker f + Im f.
A questo punto il sottospazio L che sto cercando deve avere per forza dimensione 1
(b) Per il valore di t trovato (t = -6) scrivere la matrice di F rispetto alle basi canoniche.
Mi devo calcolare:
- f(1,0,0) = ?
- f(0,1,0) = ?
- f(0,0,1) = ?
Sono le 3 colonne della matrice cercata.
Io conosco N1, t, N2, t, N3, w2, quindi per calcolare questi vettori li devo scrivere come combinazione lineare di N1, N2, N3.
N2 ± Nf = (2,0,0) = 2(1,0,0)1ª colonna
f(1,0,0) = f(N3) + f(N2)2 = w2 + w32 = (−2) / (2)
N2 ± N3 = (0,0,2) = 2(0,0,1)3ª colonna
f(0,0,1) = f(N2) - f(N3)2 = w2 - w32 = (−9) /2
Ora per calcolare f(0,1,0) posso usare anche f(1,0,0) e f(0,0,1) perché ne conosco le immagini
Quindi: (0,1,0) = Nn + (2,0,0) + (0,0,1)2ª colonna
f(0,1,0) = f(Nn) + 2f(1,0,0)0 f(0,1,0), = (0) / 0
Quindi:
A = ( 2 1 −3 ) ( −2 0 2 ) ( 1 1 1 )
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
