Appunti delle lezioni di Geometria - parte 3/3

NON DEGENERE

o Se

SEMPUCEMENTE rHA=2

DEGENERE

0 Se

DOPPIAMENTE rKA=

DEGENERE 1

Se

O 93

Esempio rK188)

Y44

L'ellisse x2 1 det 10

· 3

DEGENERE

NON

e e

=

:

+ = (88)

La incidenti

di SEMPUCEMEN

0

x2-y2 Un

coppia DEGEVERE 2

e

rece

· : =

= ru(888)

la doppia x2 DOPPIAMENTE DEGENERE 2

rena 0 e

· : =

=

Conica a centro Po-Pe

quindi Cr

ef IP.

dice Po+Pt

si Simmernia

ha Cf ED

A di

CENTRO re

centro

un

Se :

, .

il

l'eclisse l'iperbole

per it

simmernia

di

centro e

a centro

N I

Po 0

=

⑧ 7

I

Teorema /angraia)

anx2 922y2 2012xy 29024 900 0

290x A ha

D minure:

che

+

+

+ + + = come

=

Aoo=(â a )

2

! complementare

minore di aso . -detã'âl lan sl

ve e

2f

Avo

Se ha Xc=

=O on

det or coordinate

simmetria

=D e

centro %let Avo Aoo

olet

(2) lineare

cio significa di

sez

che e .

(a)

(V)

Au . -

= bensi l'ey

Ef

Aro ha

Se simmetria

0 simmetria

oli carteriale

det ol Cf

di

=D centro asse

non :

un

= .

,

Glendi

e by)2

f(x (ax

y) 20024

2aax 0

900

+

+ + +

, =

=

l'ause simmetria

di

e . .

b 0

a + =

Calcolo f(x 1)

delle ,

f(x y) 2x2 3xy 1

y

=

, +

+ +

f(x y)

/faccio denivata

la

y) 4x delle e

by costanti

tengo

x e

= +

,

↓

(x erx)

1/faccio la danivaña

3x

4) delle tengo

y e costanti

+

, = 94

Definizioni

If si dice :

ELLISSE GENERALIZZATA detAoo O

>

· Se Aoo

GENERAZZATA

PARABOLA 0

det

· Se =

Ao

IPERBOLE GENERALIZZATA det 0

se

· =

Teorema N -

↑

5)

RCC0 ef I

ha f(x y) 0

equazione : =

; ,

;

IRCCO 5) y'))

(x1

f(x(x' y') &

-

ef

in 0 che e

di

ai Ö

=> y :

=

, , ,

; ()

1) punti)

Cellisse degenere

1 senza

non

= -

+

SeCF 0 7

- 0

punti)

= (panabola

* semplicemente degenere

p

x senza

- ha in tabella

invece ha almeno delle

Se un ne

punto ef

sequence

=

f

- .

⑭

DEGENERE

NON I

detA O

= rkA rkA 1

2 =

=

ELLISSE x2 2 2

** 1 0

+ =

=

an +

A00

Olet 0

> (97 punto)

(Un

0)

b >

,

PARABOL P2

x2

y2 2PX 0 coine

per

=

- =

Aoo

det O Il

= r

> 0

p ↓ .

X2 2

E

IPERBOLE 2 0

1az =

-

=

-

det AOU O rer'incidenti

(a b> 0)

, > 7

COME TROVARE RC(O’;i’;j’) RISPETTO AL QUALE C ASSUME LA FORMA CANONICA

f

10 ef

CASO NON DEGENERE

: Th spettr

. I

Aoo da

base autovetoni Avo

di

ortonorwale

simmetrica

è composta

una

D

=

le

Sceglicano base l'origine

tale

venori di

come

5 e : iperbole)

(quindi

ef

di Cr

! centro ellisse

centro

se o

e a

,

o = (quindi parabolal

ef

Vertice di CF so centro

non a

e

,

(8) (i) =

( )

(4)

Si na -

= cambia le dalla

che base

pis) coordinate vecchia

la matrice alla

nuova

e

(i) riferimento

o al

coordinare vecchio

di rispetto

= I x'

P

X PizY' Ci

= +

, +

sostituendo polinomio f(x

nel ad

y) xe y = P2ix

y

, PenY' Cz

+ +

=

inferimento

l'ep canonica

Otterianco nel y'

x'

nuovo

. , 95

ef DEGENERE

2 CASO SEMPUCEMENTE

0 : Cf

If degenere

procedo

centro come non

a =

· ; (revie

I semplicemente 11)

abbrac degenere

C centro polia

a

non una :

e

=

· -assex' simmetria

di di

asse f

qualsiasi

O'= x

dell'are

puto

- DEGENERE

3 CF DOPPIAMENT

CASO : y.

parabola

Cr di

nua eg 0

è =

.

RC10 5)

;; Poniamo

quadrato

L'es en quadrato

perfetto

di dell'ed Oh retar

=D ma :

. .

asse r

x =

- qualsiasi

-O'= di r

pato

Esempio 10y

3x2

Cf 2xy 7

3y2 2x 0

: +

+ -

+ =

+

1) l'eq

Determina camonica Cf

di

. = I

(x ) "

la

scrito DA

ac

matrica associata = =

= 3

calcolo stabilire

A

it determinante degenere

di o

per meno

se è :

=

I!!

det(

A

det degenere

32 0

75

63-5-5-3 = non

-

- =

-

= = =

Calcolo il det Aoo tipo conica

che

vedere di e:

pez

)

(B

det Aro det NON deGENERE

ellisse

1 8 d

9 0

= = - =

= caratteristico

ie polinomio

calcolo

Diagonalizzo e :

x)2

(3 4)

x2 2)(X

(X

6x 8

1 =

+

- -

- -

- =

Artovaloti 11 2 212 4

= =

:

Calcolo gli spazi

auto :

(ii) {(-13 3

(A00-21) Ker Ez Span

Ker =

= = normalizzati (divisi NI)

la che

vanno norma

per e

(1) 33

Span{) :

KerCAoo-hI) Ker Ea

=

= =

base

to

N del riferimento

rovi versori sono

nuovo :

e sono e

)

(2) !

!

= 5

= =

det

Poiché Of

Ado simmetria

FO o coordinate

o

ha centro

=D un :

) -aet(

set(â 's 3) -

- - 1

Xc =

= =

- ⑧ 96

⑧

Aoo

det det(-'s

i)

detla"" =6

- --

y 2

= =

8

Avo

%let

(2)

o origine

nuova

=

Trasforma le coordinate :

(i)

[10] ( )

(4) ! da Nuova

Base VECCHIA

. Base

A

+

=

le olagli

formate

colonne autovetoni

Ha (2)

(i) 0

= = =E "

( il (i)+('

(4)

auinou =

auro : Y

Sostituisco iniziale 10y

all'eg 3x2

x'ed 2xy 7

Ora y' 3y2 2x 0

: +

+ -

+ =

+

.

(2x 1) I

Y

+ -

3x2 3 .

= - 2)

(2x 1) +

y y

+ +

- +

2xy -

c .

= 4y'-4

2x

ottengo

Da 0 overo

+

ci

2)2

1 =

2x y

+

3

3y2 - +

.

= * y12 canonical

(forma

1

+

Ey =

1)

( x + -

2

2x .

= 2)

Ey

/ 2x +

-

-104 10 +

- .

= Y 1

il forma

Determina canonica

il quale

riferimento secondo ha la

ef

2) cartesano + = 97

GEOMETRIA DELLO SPAZIO of

RC(0 5 K) e v8

identifichiamo

Analogamente al fissiamo ed

piano venore con

ogmi

:

;

;

,

e coorolinate : (E)

or =

p 5 . F

dove x y z

+

.

+

= =

of

loentifichianto identifichiano be

la v

in di

ed P coordinate p

classe

nua

con punto con

ogni

011

retta

ASSEx= per

· 0115

ASSEY reca per

· = Ol

ASSEE vera per

· = <coord

Piano Es superficie Tavolo

di

3

punti 0 un

con

xy :

= = .

Piano 29 coord

punti 0

xz parete

con Es :

=

= .

coord 0

19

punti

Piano con

yz = = .

(E

(i) (E)

P

se r =

= = ( E

O-Op

Pe Pe-Pe

= =

= I

x xz x3

I Ei + +

,

I

punto Triangolo

medio Pis Baricentro

di =

PRODOTTO VETTORIALE

i wi! sabatoria a I I

.

i

Esempio ner) -

(2) (8)

(8) I 14-Ion

+5-5-10= 2 + =

=

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO VETTORIALE

BIUNEARITA

1) : +(U WER3

(2) XW)

(vexW)

(2 FVe

Xw Ve

· =

, + = , ,

,

(exwe

(21we)

We) R

(wi Fe

ex se

we

· +

+ = ,

, ,

a1(dw) b(am)

(du)1(w) FdeR

weR

Fr e

· = ,

,

=

del

proprietà determinante

dalle

DIM segue

:

2) AND SIMMETRIA : wER'

(u1w) Fr

v1w = - ,

, cambra

righe

scambiando il determinante

due di

DIM segno

: 98

0 lin

WIW Dipendenti

ED

3) ew sono

a

= .

Dimostrazione (E:Ei) lineamente dipendenti

sono

overo

2 D

0

ww ED ru =

=

4) ulw ORTOGONALE

e anche

Sia w

Dimostrazione dettes a I cit

)

-> scisono

-wwws uguali

o rigne

. I

( El- Ei)

<(i) ac i

<wwws se sono ugmail

ner averigne

=

= , (onientata dx)

~1w camonica le

La base prime olita

terna della

tre

alla

EQUIVERSA

5) v come

w e

, . I cambio di det

mat base >0

con

.

6) 11 Il

WWl well

11811 ein

11 Il

.

.

=

Dimostrazione

Facenolo i conti vede che :

en 20112

11011211 >2

11 =

WII

2 <e m

- =

= ,

I (EN)

2

WIR-11211211

11211211 COS2

WII =

(er) <win)

112112/) (1-COS Wil

11211211

NIK sine

↓ =

Ne consegne :

................

4 wil

11 Ul1

11 Isinc

wil

II .

O leinol=11 un wll

7 WIl

IluIIII

AREA PARALLELOGRAMMA DI LAT UE W

-

............ Ellux wIl

DI

AREA TRIANGOW WE

LAT a

Esempio (3)

(i)

py=(i)

triangolo

calcola ord P

l'area P2 = , =

, (8)

)

(2= !

(2=i) (i) 8

5

i

Lati = = =

= -

11 det() 11( )

)

x( ? :

11 ( )

! =

= ! I ! N55

11 (31 5

" (12

Area - +

.

- . +

=

= =

=

= 99

Esempio (2)

Pr=(i) (5)

P2

calcola l'area P

triaugueo

del =

=

, ,

Aggiungiamo la 3" 0

coordinata =

(8)

(2)

(0)

a 4 r

=

= =

,

, (8)

(2=i) -18-

p a

Lati = =

(0) ( )"

3 I =

↓ .

11

Area x =

= .

Osservazione

Non la ASSOCIATVA