Appunti di Analisi 2

Esame Analisi e geometria 2

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Citterio Maurizio Giovanni

Università Politecnico di Milano

Appunti esame

4,0 / 5 (1)

Scarica

Appunti di Analisi 2 per il corso di analisi e geometria 2 di Citterio. Gli appunti includono le slide del professore, le lezioni e i fogli di one note che lui personalmente scrive. Potete trovare l’altra parte dell’esame (algebra lineare) sempre sul mio profilo.

…continua

Anteprima

Vedrai una selezione di 6 pagine su 25

Anteprima di 6 pagg. su 25.
Scarica il documento per vederlo tutto.

Scarica

Anteprima di 6 pagg. su 25.
Scarica il documento per vederlo tutto.

Scarica

Anteprima di 6 pagg. su 25.
Scarica il documento per vederlo tutto.

Scarica

Anteprima di 6 pagg. su 25.
Scarica il documento per vederlo tutto.

Scarica

Disdici quando
vuoi

Acquista con carta
o PayPal

Scarica i documenti
tutte le volte che vuoi

Estratto del documento

Rf(p+ f(t)7) alladirrestrizione parametricaretta= - parametricadieq. I Pc ++=az fissati, dipendef dat-4(tsolopo sono· exy(t)~ incrementale:rapportocalcolo ilf(t) 4(t) 10) (P0)4 (P + Def(P0)+ 4'(0)+- -f== =-t tO t- 11XIIversore 1=derivata direzionale direzionedif nella versoredel vt 1V ) f(P)+(P0= +-A Dyf(P)=nel y(0)limPo: + -punto =td 0 t+ -dipende anche dal verso--v----- derivatachiama partiale versoriprendosi ise yol Yolf(xott, -f(xa,Fondamentali Decf(x,Y) lim=- 1 0 t-(x0,40) +t(1,0) xott,= yoDefinizione dellainderivabile parzialiderivatequando funzfunzione punto leesistono tutteUna e un OFIP) ......(IP, Pparzialidellegradiente, derivatevettore =InablaxBy 215f(x,y) eny= + composizione-continua per# f(P) calcolox gradientePf(=,2) il= +⑧ (xy(x,y) eny) 3xy +== +costante(xy2Fxx,y) x3 1eny) +=+by y1) (6,2)<F(z,2) (3.12.2,23 derivabileanchee= + = -funzione di cauchyGyf(x,y) (x,y) (0,0)F= 10,0)(x,y) =le restrizioni10,0) assiagliprendoPF - arâtinune0t. O=10,0)

(x₀,40)ARR_*_RR infunzionef differenziabile esistesia seSiaf: A, laaperto,ConA e toex. 0(1)(1)* x(h)funzione x(L) a.A f(10)f(10 h)chelineare nR, tale peruna 0X: = += ++ =dadifferentiabile allorainto,se f ècontinuafe in do;- derivabilefe in Lo; (...).- n+ ht hf(xd(gradiente) bf(xdx(h)-a ...= == =-Dimostrazione f(dota.b+o(hll), limitehin faccioquindif(Xth) ilSia differenziabile per neto, to,F =fXotIlA) cioeflim f(1oth) continua.f(10)lim+(Xo == =+1 1 00- +40 f(dota.b+o(hll),in teiquindif(Xth) h consideroSia differenziabile hperto, to,F = =canonici) quindi t l'uguaglianzate riscriveeversori e ottengocon per to,It |-o(lltel)e) ta.tecf(10) lof(x0 divido tutto scalare+ pere+ - += flotted-f(Xo8/z),f(x)te) calcolof(x0 limite:il him a.ea.e1 ne ==+ +- t 0 t-t IXbl alquindiconsiderando quindilamache alexasand,a as. . . ↳ fissatovettore'equazione dall'approssimazionetangente deriva dellachedel superficiepiano eltangente differenziabilepiano, ednell'intorno funzionedelsolo quando lapunto con un a+(x0,y0)(X-x0l (X6.ht(x0,y0)(yf(x0,y0) 302 f(x0+z= =+ - - C1lele partialiFunzioni classediderivate anch'essecontinueche sonohanno 5/5RIPASSINORf: R apertoAA +direzionalederivata din, PoEAversoreX f(Pottv) -f(Po(Po) limDr f = 0t + tsinx(COSx,*2n = =A (Xo,Po= Yol7 Yottsina) f(xo,bof(xotcos,(a -Drf(X0,y0) 1.=7Derivata parziale Rcanonicabase=ei diversori ei) f(PolPol tf(Pow1= + -I x,yit2n = (z FIxo,y) y01-f1x0,30)1wf(Xott,= =2X ↓fissatoy (f(x0,y0)t)11f(x0,40 +f(x0,y0) - f y= 30= =t*F: RR2n == derivabilitàcontinuità continuitàcertiesistono siamodirezionaliin delladerivate Po,tutteinnelanche caso cui le nonDifferenziabilitaCIR"+RF: aperto,A PofAA x.*funzionedifferenziabile esiste taleI lineare chequando una Re 0(111)f(P) x(1) rigamatriceh)f(P0 con n 0=+ + =- -RR" del (11) 2.1-vettoretipoa: colonnalineareR e =- tipola dirappresentativamatrice 1xheTeoremaeldiff,sef in Po, alloraf continua1. e inDAP derivabile

Porappresentativa eamatricela Fdell'appl.2. linearea ex e= (PD)O(lhI) RothA(Poth) -f(P) DAPol.Dalla Onlx(I) quindiDef. diff.del -+ ==f(Pol-DAP).1 condizioneh)lim differenziabilitarf(Pot sufficientenecessaria eo x- = -n 0 11111+ differentialedel totaleTeoremaACR*-RR definita PoEsiasiaf: aperto A.su eAderivateesistono popartialise: inletutte1. diinpartialiderivate definite PointornoLe sono2. unparziali continuederivate posono in3. n -1e'differenziabileallora Po.infcorollario C Ale parzialiAl: punto fcontinuedi derivate diinSu eclasse allorasef sono ognidiFFerentiabile SUA.4 Ru fec(12 (84)+10,0)(x,y)f(x,y) = --(0,0)(x,y)0L =l'eccezione le Funzionielementaridi tracon esponentepotente compreso 1, eeocon Icomposizioni definiteloro sono dile classe doveaifretentiabin.raseCo 3derivabilitacontinuitac diff. implica chichigradientedelformulaTeorema -ACR*_R siaSia apertof: ConA PoEA.e VERL, DIT(Poldifferenziabile siogni F(Pol.XPo,e in Dhasef allora, versoreper =Dimostrazione

Formula gradientedel- (lhIllchef differenziabile f(Poth)dall'ipotesi 1cioe f(P)Po,inpartendo Df(Pol.sia o= +-hER", tv etERabbiamo oHengob=che casonelconto, conversoreper ogni f(Pott) IlDf(Poloty+o(17), DAPol-f(Polf(P)f(P0 ty) toHengodividendodunque OIper= =+ - tf(Pott) -f(PD) DAPol.lim cioe DyfPolquindi DECPol.I==t 0 t+ cuilaee'diff. inanchevalgaalloraSef gradiente,delformuladetto nel casocheNB: nonnon Polparzialisiano derivate Polci tutte gradientein indile FDAPol.,risulti e'Duf(Pol differenziabileetale versoreche allora noncertosef per unE 2Yx 10,0(x,y)f(x,y)es: F= x2 y2+ (0,0)(x,y)0L = RC ]aeto,2il 10,0genericoconsidero calcolodi sindl Drfcosa,=versore et3cossina.Oottsina)flottcosa, f10,0) CossinaDXf10,0): lim/ im - = =+2t t 00 t+ - t10,01 210,0)=0, quindi xF10,0)=10,0)particolare delin valequindi formula0 lae non=Dyf10,0)D+10,0).-cossinx+10,0).gradiente sinx)/Cos,perché 0=in continua calcoloI 10,0, polarildifferentiabileFunzione coordinatee'a e Formattazione del testo

connon maDalla DIPAdel gradiente,Formula DEPII.cosoconsideriamo DFIP.=IPAPII.IIXII.COSO II quindiDyf(Pol massima quandoe= crescitaverso) flXeDFPol direzione stessolohanno la stessa max peree1 DIf(P)DFIP), 0se v a =prod. SCal. molt. RinDFCPII= ICOSxFIPIDXf(P) II IDEIPII 815COSx= = crescitadimassimaindica difgradienteIl direzione versoe ⑲Drf(p)=0- ⑧alloraDF(P) hoSeve'1 Funzionelacrescita pernonalIl dilivelloortogonale allagradiente e curva A(IRPR)derivatedellealgebra parziali kD(f g) bf 4g= ++D(xf) DFx (R).= (IR"Scalare veHore-(f.g) +gD= + R)(R"g1(f(x)Df(x)f(xD(ge dellaregola catena R ---= ti)(y,matriciari) -F:RR-R" altreR rodottoSia e1: -(_(tollfor gg f= =- 2xiderivabile gloeanchese re -R")(v. C1intervalloparametrizzazione classeIregolare diamme

Dettagli

Publisher

flavia.massone

A.A. 2022-2023

25 pagine

SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher flavia.massone di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi e geometria 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Citterio Maurizio Giovanni.