Appunti di Analisi 2

R" R"(daR2 R(

delle da

funzioni

analisi - +

spazio metrico cui definita funzione di

insieme distanta

su x

X

una

è

x -

↳ norme

,

RUX RP IR

1 E

&(A, BI 0

= proprietàdella distanta

d(A, d(B,A)

B1 =

d(B,()

d(A, B1 =

d(A,2)

+

d(x,y) 11X y11

= - BrCxEX, dA,Xacry

sterica.

interno 4 dell'intorno sterico

centro

circolare, disco intorno

anche bolla,

si chiama completo

aperto,

sottoinsieme aperto IfU7rs0/Br(x)

quando

aperto EV

~Ex

e U

il

e sperico

intorno

un

diu

=ogni in

di

centro contenuto

completamente

punto ENE

chiuso-complementare

sottoinsieme quello

di aperto

" z)

(xfR/x chiuso e'aperto

R seu

0 e

4 v x

=

=

= - )/x2 y (x

c1) 02 1y

y

((X,y)

B 10)

u =

= -

= + +

=

- ~

degli

aperti

proprietà

(totalita' ed

x aperti

sono

1. aperti aperto

unione di

2. e

3. di apertie

tot

intersezione aperto

1

, h) nUn=10b

neNco

4 = +

BYn 10 chiusi

proprietàdei

(totalita' chiusi

ed

x sono

1. di

intersezione chiusa

chiusie

2.

3. di chiusi

tot chiusa

unione e

intorno

A

interno: in sotto

di insieme

contenuto

completamente E

up un

l'esterna contenuto

punto interne punti

ha diE,

did nel

up e

che complement.

non

a

di contiene almeno dite

intorno

V up del

frontiere: almeno

punto compl.

uno

un

punto di accumulazione distinto

di

intorno da.

contiene almeno diE,

ogni punto

up un

x

all'insieme

crispetto generale di accumul

non

~ziyyyji

(0,2]

e = cisolatol

fu

di

epunto

0 Ma

acc. o

x

= L

frontiera

di di

punto accumulazione

puntidiaccumulazione

insieme chiuso se

solo suoi

contiene

se tutti

e

un e i

E dei puntiinterni

insieme

=

E acc.)

(punti di

Eu

=

insieme convesso nell'insieme

punti dell'insieme contenuto

il

di A, segmento

A AB

B

coppia e non

convessO E ConvessO

↓ C

·

connesso connesso

e e

⑳

· no .

. .

⑧.

archil

insieme (per

connesso continua

sull'insieme dal e' funzione

arco punto

EIX,

continuo B,

al

A punto

un una

"Finis

P T0,17-E

↓: 0

A B 1

COn e =

0 1 =

semplicemente

insieme connesso

·

verif

* 000) 00

Rus

R +

= -

"definitivamente" che intorno

suo

punto

proprieta il

vale per per

e

un

=

limite CIR,

dominio

reali

din variabili definita

funzione De

.

reale DRAR

Data su

una un

Xot" accumulazione.

consideriamo di

sia

che

punto

un

LE*e limf(x)=L

limite xofRn

dif(x)

il tende

che

x a

per x x

-

1X-xolc6 S

PolS

0Cd(P, 0<1IP-Poll

0 < >

- +

PAR" -limf(P)

F(PA)ER limf(Pk)= L

1 =

=

= k

P PO 0

-

Teoremi corollario

segno

del

-permanenza +

L0 f(x)0 deF. A+to

· +

f(x) allora

def.X-No,

/0 O

· limite

unicita' del

- corollario

del confronto

ieorema

- +

limiti

dei uguale

Algebra a AG1

continuita

continua qualsiasi isolato

punto

in

fe

- di

-fe'continua in accumulazione DA

lim

punto f(x0)

f(x)

se

se solo

e xo

un =

x x0

=

e

di

infiniti

modi arrivare punto

al

solo sinistra

destra e

non

Teorema

composizione Sommal

les.

continue

la di continua

funzioni e

1,

,

8. Rn R R

F: ~

x2).x3 continue

continua

y di funzioni

en(1 composiz.

F(x,y) arctane e per

= + +

+

x3

6(x,y) =

(x,y) proiezione sux y

prxx,

x x

=

3

(x,y) I

x

pr 1x

(3

limiti

calcolo dei arctanet

lim en (2).1+

F(x,y) =

(x,y) (2,0)

- cauchy

funzione di

-

(y in

(x, y) F10,0 4s

con y

x

E y=?

-eco,

f(x,y) = =

con(x,y)

10 (0,0)

=

=

l 1

lime

se orengo 0

· =

2

0

t +

+ -il i

limite perche'

esiste

non

=

{ orengo!" lim diversi

sono

valori

se

· o

= =

{ !=

1

orengo

se

· limite cuiarrivare

scrivo il direzioni

considerando varie da

4

f(t) 2

22

xt

x 0

B

= =

= +

y Bt

= 2 3

xB +

f(xt,Bt) t reta

0

= =

a

t

2

22 B

+ + E curva

y F(y),y))

x =

=

= = 2814

e di distinti

di P

de

accumulazione quando cadono

p intorno di

punti

ogni

xE E

in

radiall

maggiorazione difunzioni

Teorema

RRP-R co

sia

sia una

definita tale

Io

F. che:

LER. - funz.reale

Se e

in g.

e x0)),

g(1X

e(f(x) p=1X-xol, limf(x)

()

limg(P) allora

= =L

0 con

- -

= x x0

p 0 -

+ polari

Teorema-coordinate LER*,

R2 Yo)

definita intorno

almeno

-R di

sia (o, allora

sia

in

F: e

un

solo

lim f(x,y)=L limf/xo+ rispetto

yotosinul-L a

plosv, uniformemente

se

e

se v

-

(Xo,Yol 0

(x,y) p =

- I y

di

funzione cauchy

Fryz &I

lim n

=

10,0

x,y) - plosOpsino sino cosa sino

-lim

iim coso

I

(cos0+sincol

0

(PCOSOl+(psind2 p

p 0 = 2

= -

-1

il 8,

limite dipende diversi risultati quindi

cono diversi iniziale

il limite

hanno

da si

esiste.

non sino

x psina postosi

f(x,y) (pcoso,

f(x,y) a

f

= -

-

=

him/poscosina) uniformemente s

rispetto a

0

= 90

POSOSInO1

/

NB: =

P esiste

**8- to non

)

=

i

t *

in !4 1x0,0

-

Po

P -

i

i

il limite uniforme per to fissato

osserviamo rispetto o,

che perche ogni

e a

non

biseo, nanosp==,

150/sindtol si si esiste.

cono

ha lim.

ma p non

=

continuital

topologia

Teorema e

- insieme

I continua DOM, aperto

Su e

controimm. aperto

- insieme

A continua chiuso chiuso

subom. e

controimm.

-

topologiche di continue

proprieta (Compano): f(x)-

limitato

weierstrass f(xm)

sottoinsieme f(xm)

chiuso

su

· e

un -

L

sottoinsieme

degli compatta

immagine

teri la

connesso

teorema su sua

un e

· valoriintermedi

dei

teorema sottoinsieme connesso

su un

· differenziabilita

derivabilità

e

↳ ↳ nell'intorno localmente

del

reta punto,

-R

f:

R

f(p+ f(t)

7) alla

dir

restrizione parametrica

retta

= - parametrica

di

eq. I Pc +

+

=

az fissati, dipende

f dat-4(t

solo

po sono

· ex

y(t)

~ incrementale:

rapporto

calcolo il

f(t) 4(t) 10) (P0)

4 (P + Def(P0)

+ 4'(0)

+

- -

f

=

= =

-

t tO t

- 11XII

versore 1

=

derivata direzionale direzione

dif nella versore

del v

*

t 1

V ) f(P)

+(P0

= +

-A Dyf(P)=

nel y(0)

lim

Po: + -

punto =

t

d 0 t

+ -

dipende anche dal verso

-

-v

----- derivata

chiama partiale versori

prendo

si i

se yol Yol

f(xott, -f(xa,

Fondamentali Decf(x,Y) lim

=

- 1 0 t

-

(x0,40) +t(1,0) xott,

= yo

Definizione della

in

derivabile parziali

derivate

quando funz

funzione punto le

esistono tutte

Una e un OFIP) ......

(IP, P

parziali

delle

gradiente, derivate

vettore =

Inabla

xBy 215

f(x,y) eny

= + composizione

-continua per

# f(P) calcolo

x gradiente

Pf(=,2) il

= +

⑧ (xy

(x,y) eny) 3xy +

=

= +

costante

(xy

2Fxx,y) x3 1

eny)

* +

=

+

by y

1) (6,2)

<F(z,2) (3.12.2,23 derivabile

anche

e

= + = -

funzione di cauchy

Gy

f(x,y) (x,y) (0,0)

F

= 10,0)

(x,y) =

le restrizioni

10,0) assi

agli

prendo

PF - arâtinune

0

t. O

=10,0) fl0+t,0); f -1

100) Es

-O

lim

lim = =

= 2 02

t

t 0 +

0 +

+

+ t

f(x,0)x

(0,0) =

0

* = =

continua differentiabile, derivabile

e e non

ma I

fix

1

-(x0,y) fissato

Ixo,y)

y0);

(im+(xott, =

= x

= dX

xy enyp(1,2)

f(x,y) +

= (nz)(x 6x)x

f(x,) (2x

-(2,2 6

= =

=

= + 1

1 =

2 =

= Zo(h)

variabile

differentiale in 1 primo

taylor ordine

al

sviluppo I

a(h)

h)

f(x0 (h)

f(x0) o

-

=

- +

+ (0-piccolodin)

f(Xo)-

f(xoth) ah 0

- = I -an

h "errore differenz.

allora

da

differenziabile inco,

se -R

f e

continua

fe in Xo;

- felderivabile in xo;

- f(xo) approssimazione lineare

-a =

df f(xo)dx

e funzione lineare

ah al

corrisponde differenziale

una e

=

= variabili

da più

differenziabilita a *

f.RP

f(p) Po

f(p0) intorno

R considerando

Polt

P di

x x.

errore con

- -

= ah

R (h)

lineare fissato

R

a: x numero

=

- a.pare-matrice

R* hn)

(nz,

lineare

R cn achz+...

...., anhn

a

2: a =

+

+

= =

definizione variabili

in a scalare

RPR,

differentiabile

fel lineare al

in funzione x. x

se esiste una a.

to +

+xh,k)

risulti

(n,k) f(xx,Yo

10,0), f(xoth,Yotk)

Tale per

che, =

-

(o+h,y0 kl

+ punti

l'errore 2

e tra

distanza

della

uno

↳ i

(x0,40)

ARR*_RR in

funzionef differenziabile esiste

sia se

Siaf: A, la

aperto,

ConA e to

e

x. 0(1)(1)

* x(h)

funzione x(L) a.A f(10)

f(10 h)

che

lineare n

R, tale per

una 0

X: = +

= +

+ =

da

differentiabile allora

into,

se f è

continua

fe in do;

- derivabile

fe in Lo; (...).

- n+ ht h

f(xd(gradiente) bf(xd

x(h)

-a ...

= =

= =

-

Dimostrazione f(dota.b+o(hll), limite

h

in faccio

quindif(Xth) il

Sia differenziabile per ne

to, to,

F =

fXotIl

A) cioef

lim f(1oth) continua.

f(10)

lim

+(Xo =

= =

+

1 1 0

0

- +

40 f(dota.b+o(hll),

in tei

quindif(Xth) h considero

Sia differenziabile h

per

to, to,

F = =

canonici) quindi t l'uguaglianza

te riscrive

eversori e ottengo

con per to,

It |

-

o(lltel)

e) t

a.tec

f(10) lo

f(x0 divido tutto scalare

+ per

e

+ - +

= flotted-f(Xo

8/z),

f(x)

te) calcolo

f(x0 limite:

il him a.e

a.e1 ne =

=

+ +

- t 0 t

-

t IXbl al

quindi

considerando quindi

lama

che alexas

and,

a as

. . . ↳ fissato

vettore

'equazione dall'approssimazione

tangente deriva della

che

del superficie

piano eltangente differenziabile

piano, ed

nell'intorno funzione

del solo quando la

punto con un a

+

(x0,y0)(X-x0l (X6.ht

(x0,y0)(y

f(x0,y0) 30

2 f(x0+

z

= =

+ - - C1

le

le partiali

Funzioni classe

di

derivate anch'esse