Appunti Geometria e algebra lineare

Geometria e algebra lineare

1. Numeri complessi

z = x + iy

Proprietà di somma e prodotto

• Modulo di z: |z| = √(x² + y²)
• Coniugato di z: z̅ = x - iy
• Inverso di z: 1/z = z̅ / |z|²

Proprietà di modulo e coniugazione

|z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

z̅₁ · z̅₂ = z̅₁ · z̅₂

z̅₁ + z̅₂ = z̅₁ + z̅₂

Argomento di z

Argomento di z: l'angolo formato dal segmento congiungente z con O e la direzione positiva dell'asse x misurato in senso antiorario se l'angolo appartiene a (-π, π] è detto argomento principale (arg(z))

Formula trigonometrica di z

z = |z| (cosθ + isinθ)

zⁿ = e^iθ (cos(nθ) + isin(nθ))

modulo di z (rho)

Forma esponenziale di z

z = ρe^iθ = ρ (cosθ + isinθ)

Le radici dei numeri complessi

zⁿ = a se e º {0}

z = ρe^iθ

w₀ = √̅n ρ eⁱ

2. Matrici

matrice m × n → m righe n colonne

Operazioni

(A+B) = a_ij + b_ij

(λA)_ij = λa_ij

Valgono le stesse proprietà illustrate per i n. complessi

(A·B)_ij = Σ_k=1 a_ikb_kj

solo se a (m×n) e B (n×p)

Geometria e algebra lineare

1. Numeri complessi

z = x + yi

Proprietà di somma e prodotto

• El. neutro (somma e prodotto)
• Opposto (somma)
• Associativa (somma e *)
• Commutativa (somma)
• Inverso (prodotto)
• Distributiva

Modulo di z: |z| = √(x² + y²)

Coniugato di z: _- z = x - yi

inverso di z: _-1z = _z/^|z|2

Proprietà di modulo e coniugazione

|z₁| = |z₂|

z₁ * z₂ = |z₁| * |z₂|

|_-z₁| = |z₁|

z₁ + _-z₂ = z₁ - z₂

Argomento di z

Argomento di z: l'angolo formato dal segmento congiungente z con O e la direzione positiva dell'asse x, misurato in senso antiorario. Se l'angolo appartiene a [-π, π[ è detto argomento principale

arg(z₁ * z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

arg(_-z) = - arg(z)

arg(_-z₁) - arg(z₂)

Modulo multipli interi di 2π

arg(z₁) + arg(z₂)

Forma trigonometrica di z

z = |z| (cosθ + isenθ)

zⁿ = eⁱ(cos(nθ) + isen(nθ))

modulo di z (rho)

Forma esponenziale di z

z = ρ^eiθ = ρ(cosθ + isenθ)

Le radici dei numeri complessi

z² = ρ^iθ ∈ C\{0}

z = ρe^iθ

Wo = √ρe^{i_{θ + 2kπ}}

z = √ρ^{ei_{θ + 2kπ/i}}

2. Matrici

matrice m x n → m righe n colonne

Operazioni

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

(λA)_ij = λa_ij

Valgono le stesse 8 proprietà illustrate per i n. complessi:

(A * B)_ij = Σ_k=1ⁿ a_ikb_kj

...vale la proprietà associativa: A(B * C) = (A * B)C

Matrice identica e matrice quadrata

Matrice identica di ordine n

(I)_ij = δij = {1 i=j; 0 i≠j} e.s. I₃=diagonale principale

A ∈ M (n x n, 1ℂ)

Im: A ≡ A

matrice quadrata: A ∈ M (n x n, 1ℂ) ⇔

Determinante e traccia

det (A) → determinante di A se n = 3 : A = (a_ij) ⇒ det (A) = a₁₁

det A = ...(-1)^i+j a_ij where a_ij is the determinante della matrice (n-1) x (n-1)

che si ottiene da A eliminando lo prima rige i a-j-esina colona

Fissato -det A = (–1)^i+j a_ij

A ∈ M (n x n, 1ℂ) si definisce traccia di A trace (A) = = somma dell’egli elementi sulla diagonale della matrice

Trasposta, simmetrica e antisimmetrica

A ∈ M (m x n, 1ℂ) = T trasposta di A =

Sommatrica A = A^t simmetrica se A = - A^t

antisimmetrica se A = - A^t

A ∈ M (m x n, 1ℂ) è triangol