Appunti Geometria e algebra lineare

GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

1. numeri complessi :

z = x + iy

proprietà di somma e prodotto

• il neutro (somma e prodotto)
• opposto (somma)
• associativa (somma e *)
• commutativa (somma)
• inverso (prodotto)
• distributiva

modulo di z: _{|z| = √(x² + y²)}

coniugato di z: z̅ = x - iy

inverso di z: _{1/z = z̅ / |z|²}

Proprietà di modulo e coniugazione

• |z₁| = |z̅₁|
• z₁±z₂ = z̅₁ ± z̅₂
• (z₁z₂)̅ = z̅₁z̅₂
• |z₁z₂| = |z₁| |z₂|

ARGOMENTO DI z: l’angolo formato dal segmento congiungente z con O e la direzione positiva dell’asse x, misurato in senso antiorario

Se l’angolo appartiene a ] -π, π ] è detto ARGOMENTO PRINCIPALE (Arg(ce))

Modulo multipli interi di 2π

• arg(z₁z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)
• arg(z₁ / z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)

FORMA TRIGONOMETRICA DI z

z = |z| (cosθ + i sinθ)

z = e^iθ (cos(π) + sen(π) i)

_{e^iθ = cosθ + i senθ}

modulo di z (rho)

FORMA ESPONENZIALE DI z

z = ρe^iθ

(ρ cosθ + i senθ)

LE RADICI DEI NUMERI COMPLESSI

zⁿ = a, a∈C

z = ρ e iθ ε {0}

w₀ =^{n√ρ e}

z = λⁿρ e^iθ/n

cos(θ + 2kπ) + i senθ

2. MATRICI

matrice m x n m righe n colonne

OPERAZIONI :

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

(λA)_ij = λa_ij

Valgono le solite 8 proprietà illustrate per i n. complessi

(A · B)_ij = _{k = i¹} a_ikb_kj

A · B + B · A

vale la proprietà associativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

solo se q (m x n) e q B (n x p)

matrice identica di ordine n

(I)_ij: δ_ij= \{ \begin{array}{ll} 1 & i=j \\ 0 & i≠j \end{array}, es. I₃= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

diagonale principale

A ∈ M(m × n, )

Im: A = A

matrice quadrato: A ∈ M(n × n, ) →

det(A) = determinante di Ase nes A = (a₁₁) → det(A) = a₁₁

det: A = \(\sum_{i=1}^{n}\(-1\)^{i+j}\alpha_{ij}\)

dove α_ij è il determinante della matrice (n-1) × (n-1)

che si ottiene da A eliminando la prima riga e la j-esima colonna

i fissato det: A = \(\sum_{j=1}^{n}\(-1\)^{i+j}a_{ij}\alpha_{ij}\)

j fissato det: A = \(\sum_{i=1}^{n}\(-1\)^{i+j}a_{ij}\alpha_{ij}\)

A ∈ M(n × n, ) si definisce traccia di A → tr(A) = \(\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\)

sommadi gli elementisulla diagonale della matrice

trasposta di A : A^T ∈ M (n × m, ) → (A^T)_ij = a_ji

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ -2 & 1 & -3 \\ 6 & 2 & 3 \end{pmatrix}

matrice A ∈ M(n × n, )simmetrica se A = A^T0antisimmetrica se A = -A^T0

A ∈ M (m × n, )è triangolare superiore a_ij = VI jinferiore a_ij = V jè diagonale a_ij = 0 VI i ≠ j

(+ det. di una matricetriangolare e il prodottodegli el. sulla diagonale

caso particolareil det. è il prodotto degli elementi sulla diagonale della matrice triangolare

3 vettori liberi

vettore libero: insieme di vettori applicati

vettore libero e punto P esiste ed è unico un rappresentante di applicato in P)

somma di vettori liberi → metedo del parallelogramma

Proprietà della somma → opposto

→ propp. associative e commutativa

Def.λ₁V₁ + ... + λ_nV_n∈

è detta combinazione lineare di V₁, ..., V_n con coefficienti λ₁, λ₂, ... λ_nl'insieme di tutte le λ₁, λ_n si indica con L(V₁, ..., V_n), è detto spazio generato

da V₁, V_n

il vettore nullo e // θ qualsiasi vettore

essere 0 significa essere multipli

Considerando 0 V₁V₂ ogni vettore complanare a V₁ e V₂ può essere scritto come

loro combinazione lineare

L(V₃, V₃)={V∈ | θ complanare con V₁ e V₂}

Def.dei vettori V₁V₂...V_n ∈ si dicono

linearmente indipendenti

se λ₁V₁ + ... + λ_nV_n è possibile unicamente se λ₁, λ₂, ..., λ_n = 0

esiste una soluzione 1 ≠ λ₁, λ_n ≠ 0, in cui almeno uno dei coeffs. ≠0

i vettori si dicono linearmente dipendenti

punto-piano

d = ^{|ax₀ + by₀ + cz₀ + d|}/_{√a² + b² + c²}

tra rette

rette parallele

d(r₁, r₂) = d(l, r₂)

rette sghembe

1. d = ^{|v₀ ∧ v₁|}/_{|v0 ∧ v1|}
2. valore assoluto
3. modulo

retta-piano

definita solo se la retta ∥ al piano

tra piani

Fasci Di Piani

i piani hanno un'equazione della forma:

(1 - k)(ax + by + cz + d) + k(a'x + b'y + c'z + d') = 0

Sistemi Lineari

A^-1 = 1/|A| ...

MAT. COMPLETA DEL SISTEMA

termini noti:

Completamento di una base

Se {V₁, ..., V_k} ∈ V sono linearmente indipendenti: Se V ≠ L({V₁, ..., V_k}) → ∃ V_k+1 ∈ V − V_k+1 ∉ L({V₁, ..., V_k}) = c'è qualcosa in più delle combinazioni lineariAllora: {V₁, ..., V_k, V_k+1} sono lin. indipendenti

• a₁(V₁, ..., V_k) aggiungo un vettore e rimangono lin. indipendenti (UNA BASE)
• Infatti se λ₁V₁+...+λ_kV_k+λ_k+1V_k+1=0
• Se λ_k+1 ≠ 0 allora λ/λ_k+1 = a_k+1V_k+1=0 ⇒ V_k+1V_k∈L({V₁, ..., V_k}) > MA Avevo detto che V_k+1∉L
• quindi λ_k+1=0
• Quando λ₁V₁+...+λ_kV_k=0 e siccome V₁, ..., V_k sono lin. indipendenti ⇒ λ₁=...=λ_k=0
• Quindi se V ha dimensione finita n dati V₁..., V_k lin. indipendenti posso aggiungere a V₁, V_k altri n-k vettori in modo da ottenere una base
• Se V₃, ..., V_n non sono lin. indipendenti allora esiste un vettore V_i che è combinazione lineare dei rimanenti e si ha:
• V = L({V₁, ..., V_k}) = L({V_i, ..., V_j, V_i}) = omesso
• Quindi V₁, V₃, V₁, ..., V_k Formano ancora un sistema di generatori
• I se questo non lin. di pen. Formano una BASE di V

Continuo questo procedimento a ogni passo a elimino 1 generatore > altrimenti è possibile eliminare un altro vettore ottenendo ancora un sistema di generatori Il procedimento termina quando ho solo vettori linearmente indipendenti > Quindi si ha una base

• In altre parole:
• Ogni sistema di generatori contiene una base di V

Se V ha dimensione m

• Se {V₁, ..., V_n} sono dei generatori di U allora Formano una base di V
• se SV₄..., lin. → linearmente indipendenti allora . . . .
• Ciò hanno lo stesso numero della dimensione dello spazio
• sì, di generatori e linearmente ind.

Per sapere se i vettori formano una base devo avere 2 condizioni (Tipo)

Rango di una matrice

Def. Data una matrice A ∈ H (m x n, | K)

• Il rango di A è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra le righe di A

• A = (a₁₁, ..., a_1n)
• A = (a₃₁, ..., a_3n)
• A = (a_m1, ..., a_nn)
• cioè la dimensione di L(A₁, A_m)
• es. |IR²
• A₂ = (a₂, a₂, a₂) < IR⁴; (A₁, A_u) ∈ c un sottospazio di IR⁴

La sua dimensione è data dal RANGO della matrice A che è uguale alla dimensione di L(A₁, A_u) cioè dal numero di elementi in una base e quest’ultimo dato da i vettori in A_i che sono linearmente indipendenti

Il rango di A è uguale a quello di una qualsiasi matrice ridotta di A = (0 0 _{1 1 2 3} 3

Il rango di una matrice ridotta è uguale al numero di Pivot