Appunti Geometria 2

R

ni=1 |x − | |x − |.

d (x, y) = sum y ; d = max y

∞

1 i i i i i

Se chiamiamo d(x, y) la distanza euclidea, allora la catena di disuguaglianze

sarà composta da: n

≤ ≤ ≤ × ∀x, ∈

d (x, y) d(x, y) d (x, y) n d (x, y) y R

∞ ∞

1

Infatti: p 2 2

|x − | |x − |

|x − | ≤ y + + y = d(x, y)

1) d (x, y) = max y

∞ 1 1 n n

i i i

qP

m 2

2 n

2 P |x − |

|x − | → y

2) d(x, y) = y d(x, y) = i i

i i i=1

i=1

n 2

P |x − | →

d (x, y) = y d (x, y)

1 i i 1

i=1

n n 2

2 2 2

P P

|x − |) ≥ |x − |

d (x, y) = ( y y = d(x, y)

1 i 1 i i

i=1 i=1

n

P |x − | ≤ × |x − | ×

3) d (x, y) = y n max y = n d (x, y)

∞

1 i i i=1,..,n i i

i=1

Definizione:

Sia (X, d) uno spazio metrico. Il sottoinsieme

{y ∈ | ⊂

B(x, r) = X d(x, y) < r} X

viene detta palla aperta di centro x e raggio r (rispetto alla distanza d)

Definizione: ⊂ ∀x ∈

Sia (X, d) uno spazio metrico. Un sottoinsieme U X si dice aperto se

∃

U ϵ > 0 (dipendente da x) t.c. ⊆

B(x, ϵ) U

In altre parole, U è aperto se e solo se dato ogni suo punto x esiste una palla

centrata in x e di raggio sufficientemente piccolo tutta contenuta in U.

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Esempi:

• ⊂

L’intervallo (0,1) è aperto

R

• {x ⊂

La semiretta > 0} è aperta

R

• \ {0}

Il sottoinsieme è aperto

R

Definizione (Topologia indotta da una metrica):

Sia (X, d) uno spazio metrico, definiamo topologia di X indotta dalla metrica

d la famiglia di sottoinsiemi aperti di X.

In simboli scriviamo: T {U ⊆ ⊂

= X| U è aperto} P (x)

x

Proposizione: T

Sia (X, d) uno spazio metrico e la sua topologia. Allora:

x

• ∈ T ∈ T

ø , x

x x

• T T

L’intersezione di due elementi di appartiene ancora a

x x

• T

L’unione di una famiglia qualsiasi (finita o infinita) di elementi di è

x

T

ancora un elemento di x

Definizione (Funzione continua in un punto): →

Siano (X, d ) e (Y, d ) due spazi metrici. Diremo che una funzione f : X Y

x y ∈

è continua in un punto x X se :

0

∀ ∃ ⇒

ϵ > 0 δ > 0 t.c. d (x , x) < δ d (f (x ), f (x)) < ϵ

x 0 y 0

In altre parole, quando vuol dire che rendendo opportunamente piccola la dis-

tanza tra x e x, posso rendere piccola a piacere la distanza tra le immagini

0

f (x ) e f (x).

0

Osserviamo che questa condizione può essere riscritta come

∀ ⊂

ϵ > 0∃ δ > 0 t.c f (B(x , δ) B(f (x ), ϵ)

0 0

Proposizione: →

Siano (X, d ) e (Y, d ) due spazi metrici e sia f una funzione t.c. f : X Y è

x y

continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è aperto di X.

In simboli: −1

⇔ ∀ ∈ T ∈

f è continua u si ha f (u) T

y x

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Esempi:

• →

Sia (X, d ) uno spazio metrico discreto. Allora ogni funzione f : X Y ,

x

dove (y, d ) è uno spazio metrico qualsiasi, è continua.

y −1 ⊂

Infatti sia U aperto in Y.Siccome f (u) X e ogni sottoinsieme di X è

−1

aperto (poichè X è discreto) segue che f (U ) è aperto,

dunque f è continua.

• →

Consideriamo con la topologia euclidea e sia f : data da

R R R

( ̸

0 se x = 0

f (x) : 1 se x = 0 −

Infatti, consideriamo un aperto di della forma U = (1 ϵ; 1 + ϵ). Se ϵ < 1

R

−1

∈ {0}.

allora 0 / U , dunque f (U ) =

−1

Quindi f (U ) non è aperto, ossia f non è continua.

Definizione(Metriche equivalenti):

′ ′

Sia X un insieme e d, d due metriche su X. Diremo che d e d sono

topologicamente equivalenti se esse inducono su X la stessa topologia,

ossia se ′

⇔

U è aperto in X rispetto a d U è aperto in X rispetto a d ′

Dalla definizione di aperto in uno spazio metrico, segue subito che d e d sono

topologicamente equivalenti se e solo se

′ ′

∀x ∈ ∀ϵ ∃ ⊂

X, > 0 ϵ > 0 t.c. B (x, ϵ ) B (x, ϵ)

′

d d

′ ′

∀x ∈ ∀ϵ ∃ ⊂

X, > 0 ϵ > 0 t.c. B (x, ϵ) B (x, ϵ )

′

d d

′

In altre parole, d e d sono topologicamente equivalenti se e solo se ogni d-palla

centrata in x contiene una d’-palla centrata nello stesso punto e viceversa.

Non è sempre facile controllare se due metriche sono topologicamente

equivalenti. A volte è più facile controllare una condizione un pò più forte.

Definizione: ′

Due metriche d e d su X sono dette Lipschitz-equivalenti se esistono due

costanti h,k > 0 tali che

′ ′

× ≤ ≤ × ∀x, ∈

h d (x, y) d(x, y) k d (x, y) y X

Questa è una relazione d’equivalenza sull’insieme delle metriche su X.

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Proposizione:

′ ′

Siano d, d due metriche su X. Se d e d sono Lipschitz-equivalenti, allora

sono topologicamente equivalenti.

Corollario: ′ n

Le metriche d, d , d introdotte su sono a due a due

R

∞

topologiamente equivalenti.

Dim: n

∀x, ∈

Abbiamo visto che y vale la catena di disuguaglianze:

R

≤ ≤ ≤ ×

d (x, y) d(x, y) d (x, y) n d (x, y) da cui

∞ ∞

1

≤ ≤ ≤ × ≤ × ≤ ×

d (x, y) d(x, y) d (x, y) n d (x, y) n d(x, y) n d (x, y)

∞ ∞

1 1

Questo mostra che le tre metriche a due a due Lipschitz equivalenti, dunque

topologicamente equivalenti. 7

Il concetto di spazio topologico, (cioè, di spazio dotato di una topologia)

generalizza quello di spazio metrico con la topologia indotta dalla metrica.

Spazio Topologico:

Sia X un insieme. Una topologia su X è una famiglia T di sottoinsiemi di X,

detti aperti, che soddisfa le seguenti condizioni:

(1) ø e X sono aperti

(2) L’unione arbitraria di aperti è un sottoinsieme aperto

(3) L’intersezione di due aperti è un sottoinsieme aperto

T

La coppia (X, ) è detta spazio topologico.

Osserviamo che la condizione (3) implica, per induzione, che ogni intersezione

finita di aperti è ancora un sottoinsieme aperto (mentre ciò non è vero,

in generale, per un’intersezione infinita di essi)

Esempi:

• T

Sia X un insieme qualsiasi e prendiamo = P (X). In altre parole diciamo

che tutti i sottoinsiemi di X sono aperti. Questa è una topologia su X,

detta topologia discreta.

• T {ø

Sia X un’insieme qualsiasi e poniamo = , X}, cioè richiediamo che

gli unici aperti siano ø e X. Questo è una topologia su X, detta topologia

banale

Definizione:

T ⊂

Sia (X, ) uno spazio topologico.Un sottoinsieme C X si dice chiuso se il

{X \

suo complementare C} è aperto. Osserviamo che dagli assiomi precedenti,

utilizzando le Leggi di De Morgan ricaviamo le seguenti proprietà per la famiglia

dei chiusi di uno spazio topologico.

(1) ø e X sono chiusi.

(2) L’intersezione arbitraria di chiusi è un sottoinsieme chiuso.

(3) L’unione di due chiusi (e quindi di un numero finito di chiusi) è un insieme

chiuso. 8

Esempi:

• Nella topologia discreta, ogni sottoinsieme è sia aperto che chiuso.

• Dato un qualsiasi spazio topologico X, il vuoto e X sono sia aperti che

chiusi.

• Nella topologia euclidea di R:

(a, b) è aperto

[a, b] è chiuso

[a, b) e (a, b] non sono nè aperti, nè chiusi

(a, +∞) e (−∞, a) sono aperti

[a, +∞) e (−∞, a] sono chiusi

• (Topologia Cofinita):

Sia X un insieme. La topologia cofinita su X è quella topologia i cui

chiusi sono X, ø e gli insieme finiti di punti. E’ immediato verificare che

le proprietà derivanti le leggi di De Morgan che definiscono una topologia

tramite la famiglia dei chiusi sono verificate.

• (Topologia della semicontinuità superiore):

E’la topologia che si ottiene su prendendo come famiglia dei chiusi non

R

vuoti tutti e i soli i sottoinsiemi della forma [a, +∞)

∈ ∪ {−∞}

al variare di a R

E’ immediato verificare che i tre assiomi di De Morgan sono verificati.

• (Topologia di Zarski):

Questo esempio è molto importante in Geometria Algebrica.

Sia (K) un campo (ad esempio = o = e indichiamo con , ..., x ]

K R K C) K[x 1 n

l’anello dei polinomi in n coordinate a coefficienti in Per ogni polinomio

K.

∈

f , ..., x ], definiamo l’ipersuperficie affine associata ad f come

K[x

1 n n n

{(a ∈ |f ⊆

V (f ) = , .., a ) (a , a , .., a ) = 0}

K K

1 n 1 2 n 21 22 −1,

Ad esempio, se consideriamo , x ] e il polinomio f (x , x ) = x +x

R[x 1 2 1 2

2

V (f ) è il cerchio unitario in .

R ⊂

Analogamente, dato un ideale I , .., x ], possiamo definire

K[x 1 n

la varietà affine associata a I come

n

{(a ∈ | ∀ ∈

V (I) = , .., a ) f (a , .., a ) = 0 f I}

K

1 n 1 n

A priori, sembra che per definire una varietà affine sia necessario risolvere

un sistema con infinite equazioni polinomiali (dato che l’ideale I contiene

infiniti polinomi). 9

Tuttavia, un importante risultato dovuto a D. Hilbert e non come

”Teorema della base” assicura che ogni ideale I in , .., x ] è finitamente

K[x 1 n

generato (K[x , .., x ] è quel che si dice un anello noetheriano),

1 n

∃ ∈

ossia f , .., f I t.c I = (f , .., f )

1 k 1 k

Allora è immediato verificare che

 f (a , .., a ) = 0

1 1 n k



 \

n

{(a ∈ | }

V (I) = .., a ) = V (f )

.

K

1 n i

 i=1

f (a , .., a ) = 0

 n 1 n

n

in altre parole ogni varietà affine di è intersezione finita di ipersuperfici.

K

n

Definiamo Topologia di Zariski su la topologia i cui chiusi sono tutte e

K

sole varietà affini, ovvero

Zar n

T {V | ⊂ ⊆

= (I) I ideale , .., x ]}

K[x K

1 n

Zar

T

Si verifica facilmente che soddisfa tutte le proprietà degli assiomi di

De Morgan che definiscono una topologia per mezzo dei suoi chiusi:

• n n

V (1) = ø , V (0) = , dunque ø e sono chiusi.

K K

• T P

V (I ) = V ( I ) che è ancora una varietà affine dato che la somma

k k

k

qualsiasi di ideali i