Appunti di Geometria

CALCOLO ESPLICITOIL

per precedenti formulelerendere operative necessarioèl' esponenziale dicalcolare matricesaper .APUTIl : nxm attenzionet# all' ordineOUTPUT : e PData A Jcalcoliamo la Jordandicanonica• e, PJÉ' '-matrice =p APd- Ataliinvertibile che e =, .~un!hAh ?1)Ricordiamo P( PJPEP -che = = Pmatricedipendenon+# aahCalcoliamo con :e• 1PPJ o +- •t +AI Jhth '- Eh£ , -)(1) pPJTP P@ @ - == ! !hii. e.o .=•+ -1ih-oh Jhth( p=p ! IJt@ " ! pètp ^'A PJP _ - perciòche ene =consegue peretè# ' ?calcolare Adessosufficiente calcolare e supponiamoe ,AlloraJ I habloccoIi Jordan sidiche can= .I " " JrE #> " 5- Jilecitoè cheedche siaeassumeree e p, .èt- . . èt+>Per bloccoJcalcolare al hapuò ricondurre 1cuici caso insie :- - --1 -01poiché -J ii alloraha10 + 0== si1I 10 0 1O1- -000d--0 0 _- tu"LIeJt-et-tttnt-etit.ae/Vt it itche l @=

• •‘‘ ‘a " "×matrice n =p’?+l’ + "AB BA > numeroe= e= - P -1P -1’ "? g-en ’ matricettIt + + tipodel/con :!( )p! -1 ,. . -2ta-1 -t di matriceesponenziale= !2 < di uguale indicead diordine1 t hi potenza/1 ti!2i. t- . . 1 =ph .- -Esempio :eit-e.it1) -111 -2) n -2- t èttèt --èt --1 t-0N = =. cite -01 0- ---110 -3) =3n t011 " te --1-001 e=e . 01 t-'4) 001i 00 --1o µ to" ---00 oµ = e._ èut*0 @ µaiut00- - blocchipresenti piùsonose ,deve l’si esponenzialeeseguireY di entrambiosservazione :ha autovaloresett Asingoloun ( Iit^ "?è -At )t( AA IpotenteDI II/ ✗nie- + @=-- tA)II( II + t.ec/t-dI)t"-@ @= = 1Ipoicheripetente laA solo 1matriceauto valorecontienequesto esempio lapertantocoefficienti suaEsempio noti> ,: quellidiversa strisoluzione daè /Jin 1=17×+1integrale diCalcolare xntt poigenerale =3: / ¥0Ìz

-1,13T-101 )✗= zt ,A f- i ✗ ✗+( )t 3= 2}Il ✓-300 - intl'Allora èE.Riscrivo tIt gen :in = ..101 0011 0_-È=] )Alt s "f)- # +12 edt ># )(f) ( (f- ds (ci Cz)Cs ↳+ e + +e-- t300° 10 estest- - - g-oat -011 --1,9 etedo che oo=t-=e e = e- - tetet0 >-- - .✓-10 et '---feto o•: )t.at?o9I+Ei9 0]1- +" + io tetee- ?_- = -ÌAlt ) ;[ =Adesso t: v✓ ~est 0t o] -- )edt --s s- o o et(t) " 0C}dstcy +Cz+o1= oeo sè " tet t;- o0¢» o ,- s'(t>.- ftse -si" ds}/ t -se Itself Sidsil prodotto ottengo dselt ) -Seseguo =e =- sispett stetIct sdg- -( t --o: -- § -1ge - tet= -1 .. .etttet-1 u ~u- '} -- - -1O§ -1g 1est 0e o_ etLa allorasoluzione oC}+Czè +è ci 0(f) -1= + tet tetttet o-1 - , " 1tallora deled Cauchyproblema ela disoluzione e)è = -- 99 3-11Nota questo note Sist/quinditerminepresentavaesercizio: i, .Nel compito presentiènon omogeneo sononon. soloquesti

quelliesercizi omogeneima, .(Esercizio autovaloredi Cauchy )1 solo1omogeneo con:Risolvere correttezzasistema della soluzioneverificareil laedi Cauchy/ in /3×2 Xp (a) o==| Ìz (01=011-3×3 X2|✗= XX2 (c)¥ 1= =- }, %?"CATLa soluzione c yy eè =>= . 1-0 -30A- deirappresentativa coefficienticon = .031 -100 ,- P ( )basiACalcoliamo stringhe colonna taliJ di e in• a%)(est 1.che P=py -. . detdellaIl tmatricecaratteristicopolinomio 3 0→ è O- 'tleLaplace 31elemopcon cono : -. 0 t-1t3T - 3-t 33T- - ---- t1 t st1 to o=- -- (3)3, lit -1 1° -1 O }-ll-3 ) ,--- t -- }o potenteo t Aèni- ed /èc' solo dio1= e> - ,1 to .- essere 3puònon>-1 10 dettipoiché o=,osservate 'LKA Poichè) matriceOrd 3-2=1Macoche = =-. .dimensione=L)quindi diallora soloMaco blocco1èc',✗relativo riferimento3 ] Fare alleinoa = > tavole sulle dispense'' # TE-1-010 - t -d- ed esponenzialeil e-=

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esuo 01 t001000 001 _- _ _P Filippovla invertibile

Calcoliamo con :

• • ~ >

Poiché IRl' edoperatore nil indiceilpotenteè suo=o, IMFP -1 Imfzdi hit Possiamoè calcolare=3potenza p e=.devo trovare dallopertanto Imfzè dataAZ ( poiché spazioA2delle )colonne di . =-3 --0' -0 -A- 30 09A-A allora -30e- = 000031031 -10 -3-100-100 ._,__-Scelgo colonna =/ Ouna smscnet.IO?=(?q)echeA2.(?q)-- )( %Si quindinota ovvero}di IRcanonica(") )& A& 0> •> OiAA , 0 altro canonico1 }IRdi AA1 3§0 >>o o PformaèDunque la stringa 0 -1o e, .!Attenzione Pva montata stringala inversacon:-3 ' -1P P1 laO da matricequesto cerca= e e0 01-100 _- " 1--PRisulta Posso la formulache concludere00= - ..1O 01 3-0-Pètp -1 Fatatti- - --301 --1Calcolo -0 t t= - =• o 010 3T01 0t1 ?-312T3-100--00 11+ - __ _ -_A.Poichè i esimaEi -= MMMMquestadicolonna A mi, ?3°ritorna Pdicolonna - vmatricelaèprovare