Appunti di Geometria

Continuazione sommaddella diretta

Set: di. Def V✔ ①vett V conUtow <=sp =. f-②sottospazio aU utwW eschema, Io Unw =diretta. Alcune proprietà:

Proprietà della somma diretta

• Ve1) li in⑥↳ !(2)
• Ilfu !7 W7 tue ne v.:c- et #=tt3)
• Base èll VU l' Viewbase diV diWVeddi unionebase, ↳.
• Esiste Il dibase base tali chetu tved esiste Wuna el' Vdizlvw baseunione una è.

1) Dimostrazioni 41 del capitoloasono pagina. In generale: Un Un Vsiano setteVa dispazi,... IlUituzt Spam Ur()tur Ue va==...., IlUn Urto tour⑱ =-. +La soddisfatte le diretta curdisi dice seguenti:?

• Sonosomma se V1) Un Urt=... tui.it/iitUitit...tUn)=Io.
• Per Uin Vithaogni i si1 r=...

Esempio di somma diretta

Sia be Alloraba vettorialebase Vdibn spaziounouna,... (Spamspari✔) )(( bn)⑱Spam⑱ ⑱bi bi= ...

Esempio: To NoTo No⑱ Grasseseguitab == ma nncone,,, \X 0 todimNo) Nodim Vo 172 let = n =p-p,,, 3 To Toe== top

Esempio: e NoV0 No 'n = epp,)(di Top %}g%n%m='o + P•,p Grassmannp %To No+= pp,

Esercizio 1

Estendere base (di) IRil 0111 120o a. Svolgimento vettoriaggiungendo opportuni2esegue canonici: si TTÉÉÈÍ TÉ)loprovo mettere (Proviamo)111 0120a,...,ottenutoche baseabbiamo di " leIR Studiamouna. Trarelazioni questi vettori4:

(1✗ t 1y 12Cecc 111 2 ++ ceo oa+ =()y t× + 2- yt+ ZZ y,,,5 o✗= i{ vettoriC- 4quindi✗ytztt =3 o2-o e== == precedenti traindipendentie sonoytzz -_ di lorooy =.

La base estesa cercando appuntoèstavamoche (101001 01201 IR) appartieneche0111Ooo a,,:, Questo interpretato differentementeessereesercizio può;:"sottospaziosia IRilW di vettorigenerato dai IR " talediDeterminare)(((sottospazio) ✔111 un12Co e,. Trache U W⑤= .Span ÈHSvolgimento Aggiungendo:.

• IR tout Infattidiotteniamo baseadesso una,"
• IR IRU (W Span⑤⑤ W ela== /.

Capitolo le2 matrici

È di riga( zaRicordiamo) (teche min = indice di[ cotennala elementi matrice ha mxn. "Ai ArNotiamo IRHleAm diche righesono c-,,... "HAz IRHaNotiamo le dicotenneAnche C-sono,....

Esempio di matrice

^[ 23 ]A- elementi2.3=456_ %")} (A ( IR A3) E1,21 ==, e1psA ( 415,6 )(E)e A'2 = = (%)>A=Ricordiamo vettorialematrice èche spaziouna uno.' plicaE infatti mettipossibile somma rionee.

Trasposta matrice

Trasposta la Amatricedi ottienesiuna mxnle le colonne laottenererighescambiando con perAtnxmmatrice ((+;)A;) bijbA-ai aji→= → := ;=

Matrici quadrate

Sono matrici A dovele Numero di righemi nmxn. È uguale talecolonneal condizioneSedellenumero. È H ordinematrice didice Nvera quadratasi, [ Mcneilan =[:3:]È 112,2)=- Notiamo- chean anan } M ()222 2,2223221 →=- an-diagonalelaè233232231 azz → di- principale- a » M.- -A dalladiagonale tuttedice le componenti fuorisi sediagonale principale uguali asono zero .ii ## a-= tutte le componenti211 esterne alla diagonaleuguali asono zero .020 »- _

Matrice triangolare superiore

Una letutte ditriangolarematrice è sesuperiore camp .A nullediagonaleal di sotto della sono ..- * ** Per H 221 231 232 0→ ==3nO * * →, ,↳0 * triangolare superiore-- inferioreUna letutte ditriangolarematrice è se camp .A nullediagonaleal di dellasopra sono...

-- * 0 0 Per H 212 2 2 0→ ==3* nO* → », »,IL* triangolare* inferiore>- .

Matrice simmetrica

AtA dicesi Ha cioèsimmetrica se se ajiaij =¥ 1i j he ....-- - da eca simmetriac' dièsbd fbC componenti rispetto-- FI c- diagonaleL alla principaleti3lettere lettere

Moltiplicazione di matrici

La: Il traprodotto matricicolonnasi righeesegue x. (t A )B internaè opnonm unap→ =....:pminPremessa predetto vettoritrail numericipunto: " (IR ) )Xa(I In¥ faXn 11Xe1 EE =,,,,,,, ...¥ IRXe Ya Xzyzt EXnynI t=...¥ IRIR1 ¥1E E→,Esempio:'IR YrtXi Xzyz¥1 IL7=hit (3))haha -2+21=192.C-)},Esempio:'IR¥ 1 E,¥ X X1 19 Xzyz 43+= t >,,(100111) 1=ce( () e)01 =ecc o( )fico ) col 0=

Proprietà del prodotto

Proprietà del predetto punto: linearità sinistra✔" fatt1) )(IR IR by tbyzatE be t alleE± z =Z,, ditt proprietà simmetria2) "IR c-± e ±± ±1 E =,," IR3) IR fa71 hab EE sieZ e,, X destralinearità a( tbz× b.)ad a y× × z+=°..

Prodotto riga per colonna

Si delladefinisce A. Aprodotto Bcolonna matriceCriga :=.matrice (14matrice quella ;) (C )B Ela cicon m: p,con : Bi bzjbijtaiz tainibnjAi[ 2inij=.. ..{^ puntoprodotto( ÈCij berj2=vettore innumerico h ,Esempio: --- - 1 111}! }# ) A-( D=B 1)( -1013×42×3=, - -12- 10- -- -'' ", ' Ai BAIB AiAe' B B addove esempio-Ai 172+6=9B ("11 )) 112'' 23= 132 Az BA BA -=BAz --,, , www..= .19 02A. B= 5 433 --

Proprietà del prodotto riga per colonna

Proprietà del prodotto riga per colonna: RigaxOsservazione colonna è: i eseguibile <stessoci numerosonodi risme colonneeSupponiamo di A 13avere min p×n,. Apossiamo BH B detto cheèeseguire nonma -. ,possibile ' possibileE solosia sese p.ame ..Infatti A Bnxpdate ho chedato Pameemxn,,A. B definiteB A sonoe - .

1In eseguiregenerale possiamose man =p quadrateAB BA cum ) cheet matricisono, .,In alcuni matricidate quadrate abbiamocasi 2però ,A.che AdHBF B. esempio :. g-- -- -- ono !8* B A :B= →= = o oo o -- -- ..ma ---- --! 88§ §loA B. AD= →= = ---- ..

Aed A. B.allora #B1) Proprietà associativa : (A c)AB) A.( B. BAallora CBn Cp c = '' -=m n.p q- -, , .( spostatiloordine parentesi )l' stesso /male irimane sono2) Proprietà distributiva : ( AC)allora AYBV-AM.ir ABBtcC +=n, p, . B) CTBC(allora AYA YC ABm C+ =nn p, .. ,3) Rispetto ad scalareuno ( )(( A)) AB7 te allora ABB CBYAM R/ c.cE - == -nn p ,, .

HB= e delle matriciCaso particolare quadrate :nelle matrici moltiplicazionequadrate la esserepuòinternavista operazioneunacome .B teA () A. (te13 )c- c- nnon n→ ,, quadratamatricedellelo hamatricispazio quadrate operazioni3 in :semolt ✔ est .( ")tech → Una algebraAlgebra " particolare) + è= una•n •,,,( struttura algebrica{ chemolt . matematicheoperazioniinclude 3add interna. al internointerna proprioVPer 1 ottengo ad algebral' deiesempio numerin reali=- il 1)(1) IR :=In soddisfaIR moltiplicazionela leinterna condizioniseg :• .)( Y (1) AssociativaPropfa (c) b)IR )b( (b c- a ca.=c -- ,, ( Y (2)) ] t1elemento fa tneutro cioè IR a ac- =: a= --,Ha(F) (3) fa (IR}\IR ab Esistenza7 c- ba -1bc- -- -dell' )b -1/inverso 1 aa ==(F) 14 b-ka) IR ba.E ab =,In elemento neutrol'esistegenerale 1nper > ,ÈTII detta identità unitaria tale che= -801 . AHIt I'TI -=. :Scempio commutativa noè per sottoGuardacommutativa] > 2nperesserepuò non ..I =p=pvi µ :D1%1%9=11911211--1IÌE- →ma .- identità- - }(1 SiiI ) l' Jcrisi 1Ih =3 0= 0 unitaria== → >=→1o o os ii #100 .--↳ diagonale matricedi diagonale =LAttenzione In assegnatadetto cheè Agenerale #non: o nxm,7 (B AB ValeB- )IA 2: n >== per ..- --1 --- -Per - ¥7! !¥o ¥ §esempio ABEBA: →.io o -- -- -.-- TÀINVERTIBILIL' :A AB( BHEIM ) invertibile 7 Bdicesia semm =::B A -1dil' Ainversaovvero = ='

Proprietà matrici invertibili

• 1) -1A l'è invertibile Ase denotainversa è sieunica,
• 2) è laHse lo anche Aè -,
• 3) se invertibile alloraI è I=se
• 4) A.AEB Binvertibili invertibileèanchesono -1CHILA -1(→B) )Bcome =- .
• 5) Aese Az invertibili .hrallora AiAh anche Ahsono.

' AIIainvertibile ()An 'AhAa ' AiAntiè - Ai -1Ahe =- - .. .. ..Dimostrazione :Poniamo1) BHA- IB- - picHC CA I= =Posso tramite associativaproprietà chescrivereB. BCHCD= ) ( )BA InI.I cC === . =D= e ^1. -1-1=42) -)- AA AA (A. I= =3) Ovvia .IE?--t="LEELLEIE.LI '4) HIBB > A- == ÷Attenzione )(( 1) 1)( daAB B teA stesso- -però : non!risultatoesempio invertibilematricedi : matriceAè invertibileh 2 trasposta= LE =/se o e b-- <a[ ] "ba È" -l = ca, -e determinante -- ✔↳ della matriceindici biliometti fet-y.co T(A)-1 FAsenatrice =piccolae-

Proprietà della matrice trasposta

• 1) Il vHTTBT(1) B)A- + Scambiando tra lorole righe le colonneeAt At2) )( () di matrice hac. sic una= matrice traspostala+
• 2) HT A3) = T c-- -b- aa =-I'
• 3) 4) CdI b d-= ---*
• 5) ( BTATB)A =
• 6) Ht (H )At _Se invertibile (è èlo A* -anche e =,,.

Dimostrazione: Bi }5) [ T ]( B)A Aj[ BA !] ÉLITE= "ÈnÈ' =ij -i-, mmm; -)" ][ ,( ( AtBtAt ) µ}B, ..== . ..,i ;, Mmm6) dallaSegue precedente proprietà.+AT -1+1) (+A)AA I(a Einvertibile -→sia ==. Ianchema ^ +( +A-)A. I(t.AT I1)A- === →-1)at+(1)( ADa abbiamoquesto che - = .

Rango matrice

Il di una: ?A Ale Ha IR delleHa loe righerighe spam;mxn m, .. .H chiamate delledella righematrice è anche spazio@di A notatoanche a, . Adi" vignemere→⑤)(Spam Ae Aa eAn, .. . m' "Ale ? EIRA delladelleAcolonne colonnele spari, .... chiamateH dianche colonnedelle Hmatrice spazioè,notato laanche. #colonne didinumeroR②→An' Az )( ASpam e, .. .

Teorema del rango

Questi due hanno lasette stessa dimensionespazi. Ra ladin Adim A)di rank(rango= = rk, .laQuesta dimensione dellodimensioneè una spazio,dalle dello(generato righe la dimensioneo ancora,." )generato colonnedallespazioOsservazione calcolare matriceilsaper dirange: unaimplica la didimensionecalcolaresapersottospazio ?IRWun EEsempio: )V Spam ( )( (11112 )d. ) (1111 )in 0001 3334= , , ,1 III." !!! mw |Dimostrazione teoremadel del •rango: mira C'di limite dim