Appunti di Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali

Name: Appunti di Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali
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Author: AlessioGolini

Revisionato il 10/09/2026

di AlessioGolini

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Appunti completi dell'esame di Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali. Coprono tutto il programma di teoria svolto dal professore in maniera precisa. Sono presenti anche numerosi …

Esame Fondamenti di elaborazione numerica dei segnali

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Argenti Fabrizio

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2025-2026

64 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

FONDAMENTI DI ELABORAZIONE NUMERICA DEL SEGNALE

CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE

Permette di passare da un segnale analogico ad uno discreto.

T è il passo di campionamento e f_s è la frequenza di campionamento.

x(t) → x(nT)=x[n], n∈Z (è una sequenza)

Dati {x(nT), n∈Z} è possibile ricostruire x(t) di partenza?

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DI SHANNON

Considero x(t) → {x(nT), n∈Z}

x_c(t)= ∑x(nT)δ(t-nT) (è continuo, analogico).

- sta per campionato

Definisco la catena di campionamento di Dirac: d(t)= ∑δ(t-nT)

x_c(t)=p(t) x(t).

Sviluppo p(t) in serie di Fourier: p(t)= ∑c_ke^(j2πkt/T) con c_k=1/T ∫δ(t) e^(-j2πkt/T) dt = 1/T

&rAt; ∑x_c(t), X_c(f)=∫x(t) e^(-j2πft)dt.

- È periodica di periodo f_s.

- X_c(f)=X(f-kf_s) + 1/T∑X(f-kf_s) ≈ segnale analogico x(t) di partenza

- Ho due casi:

spettro di partenza

FONDAMENTI DI ELABORAZIONE NUMERICA DEL SEGNALE

CAMPIONAMENTO DI UN SEGNALE

Permette di passare da un segnale analogico ad uno discreto. T è il passo di campionamento e f_t è la frequenza di campionamento.

x(t) campionamento {x(nT)=x[n], n ∈ Z} (è una sequenza)

Dati {x(nT), n ∈ Z} è possibile ricostruire x(t) di partenza?

TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DI SHANNON

Considero x(t) → {x(nT), n ∈ Z}

x_c(t)=∑_nδ(t-nT)x(nT) (è continuo, analogico)

δ sta per campionato

Definisco d.l. operatore di campionamento di Dirac: _c(t)=∑_nδ(t-nT)x(nT)

Sviluppo p(t) in serie di Fourier, p(t)=∑_k=-∞^∞c_ke^jx2πkt con c_k=1/T∫_-T/2^T/2s(t)e^-jx_kt dt⋅1/T

x_c(t)=1/T∑_nδ(t-nT)x(t)

B[x_c(t)]=X_c(f) ∫_-∞^∞x(t)e^-jx2πft dt⋅X(f) ∫_-∞^∞(1/T∑_nδ(t-nT)x(t)) ∫_nx(f-kf_t)(X((f-kf_t)

Ho due casi:

buon campionamento

fenomeno dell'aliasing

Se x(t) ha spettro limitato (banda del segnale monolatero destro, [0,B])
f_s> 2B (frequenza di Nyquist)

allora {x(nT), n ∈ Z} ---> x(t)

Da analogico a digitale: x(t) campionatore {x(nT), n ∈ Z}Da digitale ad analogico: {x(nT), n ∈ Z} _DAC x_c(t)= Σ_n x(nT) δ(t-nT) _{filtraggio analogico passa-basso tra} ( -f_s/2, f_s/2)

DAC (DIGITAL TO ANALOG CONVERTER)

{x(nT)} _{formatore di impulsi} ---> x_c(t)= Σ_k x(nT) δ(t-nT) ---> _{H_r(f)} ---> x(t)

Con filtro di ricostruzione: H_r(f) = { T_c se |f| ≤ f_s/2 0 altrove

Nel tempo: x(t) = x_c(t) ★ h_ID(t) con h_ID(t)= sinc(f_ct)

({ Σ_n x(nT) δ(t-nT)}) ★ h_ID(t) = Σ_n x(nT) δ(t-nT) ★ h_ID(t) = Σ_n x(nT) h_ID(t-nT) = Σ_n x(nT) _{sen(πf_s(t-nT))}nT)

nf_s(t-nT)formula di interpolazione mediante un seno

Durante il campionamento è buona norma usare f_s>2D per non essere costretti ad usare un filtro passa-basso rettangolare che però non ha come antitrasformata un sinc "smussato".

ADC (ANALOG TO DIGITAL CONVERTER)

x(t) _{H_c(f)} ─────────────────────────> | ─────────────> x(nT) ─────────> Q ─ーーーーーー-> Xa(nT)(filtro antialiasing)(quantizzatore) Approxime i numeri con introduce necessariamentea un numero di bit finito e un errore

Per non avere le code del segnale a ingresso (che, essendo reale, è finito nel tempo e infinito in frequenza) introduco un filtro iniziale di antialiasing analogico

x(t)=ρ(t)x(t), (Σ_∞x(nT) δ(t-nT)) x(t) consider p(t) ⇢ P(f) ⇔ P(f) = N ⇔ Σ_k=-N^N d(f-kf^)_ρ

Campionamento di un segnale passa-banda

Dato un segnale passa-banda caratterizzato dal seguente spettro:

Qual è la minima frequenza di campionamento per evitare aliasing?

Sicuramente f_s>2D rappresenta il limite inferiore per evitare aliasing.

S. deve trovare f_s tale che:

f_s>2B
kF_s>f_c-B, f_c>kF_s, (k+1)F_s>f_c+B

Se io ad esempio compiono il seguente segnale con f_s=300Hz

(secondo Shannon, cioè trattando un segnale sempre come un passa-basso, dovrei prendere f_s≥600Hz) ottengo:

Può essere visto come il campionamento di un segnale passa-basso

racchiuso tra (-150,150), e per estrarre il segnale originale

basterà usare un filtro passa-banda

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