Appunti esaustivi sulle onde elastiche

Posizione attorno all'equilibrio e oscillazioni forzate

Il sistema tende asintoticamente alla posizione di equilibrio quando t —> ∞, inoltre può transitare per la posizione x = 0 se il rapporto c1/c2 è negativo.

Le oscillazioni forzate avvengono quando una forza esterna agisce sulla direzione elastica del sistema, superando l'effetto dello smorzamento e spostando il sistema dalla condizione di equilibrio.

Scelgo questa forzante perché, nelle situazioni significative dal punto di vista fisico, la forza f(t) può essere sviluppata come la somma di funzioni trigonometriche.

Il transitorio è il periodo iniziale in cui il sistema si avvicina gradualmente al regime stazionario. Il regime stazionario è la parte persistente del movimento che può essere descritta come una soluzione particolare.

Per arrivare al regime stazionario, è importante considerare quanto prima possibile il valore reale del numero complesso cui si sceglie di associare la soluzione particolare.

ewearII it EANB èAtef EmailWE it we twofareioAtA eAl AAtef irwetw.tlwe Eeiu iaHIIFIIIII.IEIlatere E Focioe Il1FAA Ete Questo perché se razionalizzo trovo comunque lo stesso angoloTUEEgo 2 didi Anone IA Siwetit cospersistenteiii iiidalladipende frequenzadella forzante1AM la hacond nonpens liberonessun parametrocond inizialiBè liAcosinft SiGenInt cosaXIE cosIl ruolo essenziale dello smorzamento per il comportamento a lungo termine della X(t) è:

• Se gamma =! Da zero due oscillatori identici,soggetti alla stessa sollecitazione esterna, ma partiti con condizioni inizialidi erenti niscono col muoversi esattamente nello stesso modo, dimenticando così le condizioni iniziali.
• Se gamma = 0 il secondo termine presente in ogni istante manterrebbe la di erenza fra i due oscillatori associata alledi erenti condizioni iniziali.

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Questo grafico mostra la dipendenza da w della potenza assorbita da un oscillatore forzato, nel caso di smorzamento relativamente debole. Essa evidenza chiaramente come tale grandezza presenti un pronunciato massimo per w = wo e abbia valori comunque elevati nell'intervallo rappresentato in figura.

Per una fissata frequenza propria del sistema, l'entità del parametro di smorzamento determina quindi la banda di frequenze nelle quali il sistema risponde in maniera particolarmente reattiva e intensa.

Fenomeni di risonanza fra la frequenza della forza perturbatrice e quella di oscillazione del sistema possono produrre anche effetti disastrosi infatti se gamma tende a 0 si ha che l'ampiezza delle oscillazioni tende a infinito, portando alla

distruzione del sistema, come è avvenuto ad esempio nei ponti sospesi entrati in risonanza con raffiche di vento.

DESCRIZIONE DELLE ONDE

GENERALI

Parliamo di istantanea perturbazione periodica o un'onda che finita in un anello con spazio velocità propaga.

Non ho trasporto di materia ma di energia. Non punti si materia energia più parlali sistemi continui. Ho che fare forze elastiche con ale onde classificano insi di oscillazione stada della onde longitudinali nella perturbazione dell'onda onde perpendicolare alla oscillazione TRASVERSALE direzione della perturbazione.

NEI GAS ONDEE LONGITUDINALI LIQUIDI Ho solo E.

Descrizione Matematica osservabile perturbazione g titi ti descrivendo pentsto una NIIMI la è costante vasee Vita ti X2 ÈTÈE Elka Elei tit nui ÈIIIEE neIx inix tiseon E ChitiEE ti onda vado progressiva in Inti se verso sx uso E Inizi REGRESSIVA Inui ONDA EQ DIFFERENZIALE ONDE PROPAGAZIONE DI DELLE D'AIAMBERTEQ DI veexlà E Ela vede E0 IIÈ 1Tx In il.

unVETTOREIII VAVAI lucela cperLEZIONE 3Corda tesa Consideriamo dicordauna lunghezzainfinita kgmlinearePe densitaC agià dm sedeperturbazionesuccede applichiamocosa unaselaConsidero direzioneperturbazione in gE quindi variazione diè coordinata verticaleuna trattareconsidero di locordapezzettino cosiun possopuntouncome nataniaffinsione tgvettore allafune nel modulopunto e8 A costante funelalungotensione Quindi considerarepeso possotrascurabile il pesoPE TosaTCOSBfa p1 Fy Taub TeenaiHA l'ay sarebbe complicataI Ztdx eAt ale semplificaapprossimazioni assumendodopo siL'IPOTESI DELLE PICCOLE BaPERTURBAZIONI eossiaSEF O devono piccolissimiessereda cuiCOSAE 12 COSATtg TeyaBFy SenaregaPetyrsenFy TI B Egatg tutto infinitamo taylorposso usaregiafatafin DXIIfixTAYLOR taxtyb tgathtgal.aeTIEFEI.de Eggfyda cui TILIA de TIY.deaccelerazioniÈof feffe TIFNewtonI legge etrovatoabbianod'AlembertdioEG regge oFront EIIA ve 1cosINTEGRALE ygGENERALE piccenturbazionef

l'ondainvafffa os si lungo lapropaga sondavelocitàcon questaÈ UN'ONDA TRASVERSALEVI9m TeEs 10N eN25 MISpa 20ioSbarra solida considero cilindro di sezioneunGrazie all'elasticità del materiale, alla compressione della parte colpita segue una suadilatazione che ha come conseguenza una compressione delle parti contigue. Si haolenghezzaeS quindi la propagazione della perturbazione da sx a dx.In queste condizioni la sbarra diventa sede di un campo di forze interne elastiche e diun campo di deformazioni, collegati tra loro dalle leggi dell'elasticità.Èteasu dm _parameesadi sbanna dipunto pezzettomaterialeCome leso uneuganea hpladopo spicole000 peutpenteendi Pur restando l'intera sbarra macroscopicamente a riposo, le1 p suddette sezioni non restano sse nel tempo, ma per e ettoldella perturbazione subiscono un piccolo spostamento dallaposizione imperturbata, in generale diverso