Appunti di Fisica I sulle onde meccaniche

ONDE MECCANICHE

La perturbazione dell’acqua si muove su una

lunga distanza, ma un dato piccolo elemento di

acqua oscilla solo su una distanza molto

piccola. Questo comportamento è l’essenza del

INTRODUZIONE moto ondulatorio. Le onde meccaniche sono

onde la cui perturbazione si propaga attraverso

un mezzo. Le onde elettromagnetiche sono una

classe particolare di onde che non richiedono

un mezzo per potersi propagare.

ONDE MECCANICHE

La propagazione di una perturbazione rappresenta anche un trasferimento di energia; perciò, possiamo considerare le onde

come un mezzo per trasferire energia. Tutte le onde trasportano energia, ma la quantità di energia trasmessa attraverso il mezzo

e il meccanismo responsabile del trasporto dell’energia differiscono da caso a caso. Tutte le onde meccaniche richiedono:

una qualche sorgente di perturbazione;

❖ un mezzo che possa essere perturbato;

❖ un qualche meccanismo fisico attraverso il quale gli elementi del mezzo possano influenzarsi l’un l’altro.

❖

Questo requisito finale garantisce il fatto che una sollecitazione di un dato elemento del mezzo determinerà una sollecitazione

dell’elemento vicino in modo tale da consentire la propagazione della perturbazione attraverso il mezzo.

ONDE MECCANICHE

Un modo di dimostrare il moto ondulatorio è dare un colpetto all’estremità

libera di una lunga corda in tensione con l’estremità opposta fissata, come

in figura. In questo modo, si forma un singolo impulso che viaggia verso

destra, come in figura, con una velocità definita. La corda è il mezzo

attraverso il quale l’impulso viaggia. La figura rappresenta “istantanee”

consecutive dell’impulso che viaggia. La forma dell’impulso varia molto poco

mentre viaggia lungo la corda. ONDE MECCANICHE

La figura illustra questa circostanza per un particolare elemento, indicato con P. È da

notare che non vi è alcuna parte della corda che si muova nella direzione dell’onda. Una

perturbazione come questa, nella quale le particelle del mezzo perturbato si muovono

perpendicolarmente alla direzione di propagazione, si chiama onda trasversale. In

un’altra classe di onde, le onde longitudinali, le particelle del mezzo subiscono

spostamenti paralleli alla direzione di propagazione. La perturbazione corrisponde a una

serie di regioni di alta e bassa pressione che si propagano nell’aria o in qualsiasi altro

mezzo materiale con una certa velocità.

ONDE MECCANICHE

Un impulso longitudinale può essere prodotto facilmente in una molla in tensione, come in figura. Un insieme di spire all’estremità

libera è spinta avanti e indietro. Questa azione genera un impulso nella forma di una regione di spire compresse che viaggia lungo

la molla. Si considera un impulso che si propaga verso destra

con velocità costante v su una lunga corda tesa,

come in figura. L’impulso si propaga lungo l’asse x, e

lo spostamento trasversale della corda si misura con

la coordinata di posizione y. La figura a rappresenta

la forma e la posizione dell’impulso al tempo t = 0. A

quest’istante la forma dell’impulso, qualunque sia, può

essere rappresentata da una certa funzione

ONDE matematica che si scrive come y(x, 0) = f(x). Questa

funzione descrive la posizione verticale y

dell’elemento di corda posta a ciascun valore di x al

MECCANICHE tempo t = 0. Poiché la velocità dell’impulso è v,

l’impulso ha percorso verso destra una distanza vt al

tempo t, come in figura b. Si adotta un modello

semplificato in cui la forma dell’impulso non varia col

tempo. Quindi, al tempo t, la forma dell’impulso è la

stessa di quella al tempo t = 0, come in figura a. Un

elemento della corda in x a questo tempo ha la stessa

posizione y che un elemento, posto in x - vt, ha avuto

al tempo t = 0:

( )=

, ( − , 0)

ONDE MECCANICHE

In generale si può rappresentare la posizione y per tutti i valori di x e t misurati in un sistema di riferimento stazionario con

l’origine in O, come:

( )= ( )

, − ( h )

Se l’impulso si propaga verso sinistra, la posizione di un elemento della corda è descritto da:

( )= ( )

, + ( h )

La funzione y, talvolta chiamata funzione d’onda, dipende dalle due variabili x e t. Per questa ragione è spesso indicata con y(x,

t ) e si legge “y in funzione di x e t ”. La funzione d’onda y(x, t ) rappresenta la coordinata y di un qualsiasi elemento di corda

nella posizione x a un qualunque istante t. Inoltre, se t è fissato (cioè nel caso in cui si prenda un’istantanea dell’impulso), allora la

funzione y in funzione di x, talvolta detta forma d’onda, definisce una curva che rappresenta la forma geometrica dell’impulso a

quell’istante.

MODELLO DI ANALISI:

L’ONDA CHE SI PROPAGA

L’onda, in figura, rappresentata da questa curva è chiamata onda sinusoidale perché la curva è

la stessa di quella della funzione sen θ. Un’onda sinusoidale può essere generata in una corda

scuotendo l’estremità della corda su e giù con un moto armonico semplice. Con l’introduzione alle

onde si può sviluppare un nuovo modello semplificato, il modello dell’onda che si propaga, che

ci permetterà di esplorare ulteriori modelli di analisi per la soluzione dei problemi. Una particella

ideale ha dimensione nulla. Si svilupperanno le caratteristiche principali e le rappresentazioni

matematiche del modello di analisi di un’onda che si propaga. Questo modello è usato in

situazioni in cui un’onda si muove attraverso lo spazio senza interagire con altre onde o particelle.

La figura a mostra un’istantanea di un’onda che si muove in un mezzo. La figura b mostra un

grafico della posizione di un elemento del mezzo in funzione del tempo. Nella figura a il punto per il

quale si ha il massimo spostamento dell’elemento dalla sua posizione normale si chiama cresta

dell’onda. Il punto più basso si chiama avvallamento. La distanza da una cresta alla successiva si

chiama lunghezza d’onda λ . Più in generale, la lunghezza d’onda è la minima distanza fra due

punti che si comportano identicamente su onde adiacenti.

MODELLO DI ANALISI:

L’ONDA CHE SI PROPAGA

Contando il numero di secondi fra i tempi di arrivo di due creste adiacenti in un dato punto dello spazio, puoi

misurare il periodo T delle onde. In generale, il periodo è l’intervallo di tempo richiesto perché due punti

identici di due onde adiacenti passino da un certo punto, come mostrato nella figura b. Il periodo dell’onda è

uguale al periodo del moto armonico semplice di un elemento del mezzo. La stessa informazione è più spesso

data dall’inverso del periodo, che si chiama frequenza f. In generale, la frequenza di un’onda periodica è il

numero di creste che passa un dato punto nell’unità di tempo. La frequenza di un’onda sinusoidale è legata al

periodo dall’espressione:

1

=

La frequenza dell’onda è uguale alla frequenza del moto armonico semplice di un elemento del mezzo. La più

comune unità di misura della frequenza è il s-1, o hertz (Hz). L’unità di misura corrispondente per il periodo T

è il secondo. La massima posizione di un elemento del mezzo rispetto alla sua posizione di equilibrio si

chiama ampiezza A dell’onda. MODELLO DI ANALISI:

L’ONDA CHE SI PROPAGA

Si considera l’onda sinusoidale nella figura a, che mostra la posizione dell’onda al tempo t=0. Siccome

l’onda è sinusoidale, la funzione d’onda a questo istante è espressa come y(x, 0) = Asenax, dove A è

l’ampiezza e a è una costante che deve essere determinata. A x = 0, si nota che y(0, 0) = Asena(0) =

0. Il valore successivo di x per il quale y è nulla è x = λ/2. Quindi:

( ) ( )

λ λ

,0 = =0

2 2

Affinché questa equazione sia vera, si deve avere aλ/2 = π, o a = 2π/λ. Quindi, la funzione che

descrive la posizione degli elementi del mezzo attraverso il quale l’onda sinusoidale sta viaggiando può

essere scritta: ( )

2

( , 0) = λ

dove la costante A rappresenta l’ampiezza dell’onda e la costante λ è la lunghezza d’onda.

MODELLO DI ANALISI:

L’ONDA CHE SI PROPAGA

Si nota che la posizione verticale di un elemento del mezzo si ripete quando x aumenta di un multiplo intero di λ. Se l’onda si muove a destra con velocità v, la

funzione d’onda qualche istante dopo è:

[ ]

2

( )=

, ( − )

Se l’onda si muovesse a sinistra, la quantità x - vt sarebbe sostituita con x + vt. L’onda viaggia attraverso uno spostamento Δx uguale a una lunghezza

d’onda λ in un intervallo di tempo Δt uguale a un periodo T. Quindi, la velocità dell’onda, la lunghezza d’onda e il periodo sono legati dall’espressione:

∆ λ

= =

∆ [ ]

2

Sostituendo in questa espressione per v nell’equazione si ha:

( )

, = ( − )

[ ( )]

= 2 −

λ

Questa forma della funzione d’onda mostra la natura periodica di y.

MODELLO DI ANALISI:

L’ONDA CHE SI PROPAGA

Si può esprimere la funzione d’onda in una forma conveniente definendo altre due grandezze, il numero d’onda angolare k (in genere chiamato semplicemente numero d’onda) e la frequenza angolare ω:

2

≡ λ

2

≡ =2 [ ( )]

Usando queste definizioni, l’equazione può essere scritta in una forma compatta:

= 2 −

λ

= ( − )

La velocità v dell’onda può essere espressa in queste due forme alternative:

=