Appunti di Fisica I sulle sovrapposizioni di onde

SOVRAPPOSIZIONE DI

ONDE

Si è visto che le onde sono molto diverse dalle particelle, una

particella ideale ha dimensione nulla, mentre un’onda ideale ha

una lunghezza infinita. Un’altra importante differenza fra onde e

particelle è quella di combinare due o più onde in un punto nello

stesso mezzo. Si possono combinare le particelle per ottenere un

oggetto esteso, ma le particelle devono trovarsi in posizioni

INTRODUZIONE diverse. Al contrario, due onde possono ambedue essere presenti

in un dato posto. Una delle implicazioni della combinazione di

onde è quella che soltanto certe frequenze permesse possono

esistere in sistemi con delle condizioni al contorno, cioè, le

frequenze sono quantizzate. La quantizzazione è il cuore della

meccanica quantistica. Quindi, la quantizzazione permette di

capire il comportamento del grande insieme di strumenti musicali

che sono basati su corde e colonne d’aria.

MODELLO DI ANALISI: INTERFERENZA TRA

ONDE

Le onde hanno una notevole differenza dalle particelle in quanto le onde si possono combinare in uno stesso punto dello spazio.

Per analizzare una tale combinazione di onde, si fa uso del principio di sovrapposizione, il quale afferma che:

SE DUE O PIÙ ONDE CHE SI PROPAGANO SI MUOVONO IN UN MEZZO, IL VALORE RISULTANTE DELLA

FUNZIONE D’ONDA IN UN QUALSIASI PUNTO È LA SOMMA ALGEBRICA DEI VALORI DELLE FUNZIONI DELLE

SINGOLE ONDE.

Le onde che obbediscono a questo principio si chiamano onde lineari. Nel caso delle onde meccaniche, le onde lineari hanno

un’ampiezza che è molto piccola in rapporto alla loro lunghezza d’onda. Le onde che violano il principio di sovrapposizione si

chiamano onde non lineari e sono spesso caratterizzate da grandi ampiezze. Una conseguenza del principio di sovrapposizione

è che due onde che si propagano possono passare l’una attraverso l’altra senza essere distrutte o anche solo alterate.

MODELLO DI ANALISI: INTERFERENZA TRA

ONDE

Una rappresentazione pittorica del principio di sovrapposizione si ottiene

considerando due impulsi che si propagano in versi opposti su una corda tesa,

come in figura. La funzione d’onda per l’impulso che si muove verso destra è y ,

1

e la funzione d’onda dell’impulso che si muove verso sinistra è y . Gli impulsi

2

hanno la stessa velocità ma forme diverse, e in ambedue i casi gli spostamenti

verticali della corda sono considerati positivi. Quando le onde iniziano a

sovrapporsi, come in figura b, la funzione d’onda per l’onda complessa

risultante è data da y + y . Quando le creste degli impulsi coincidono, come in

1 2

figura c, l’onda risultante data da y + y ha un’ampiezza maggiore di quella dei

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singoli impulsi. Dopo il breve intervallo di tempo durante il quale i due impulsi si

combinano, essi si separano e continuano a muoversi nei loro versi originari,

come in figura d. MODELLO DI ANALISI: INTERFERENZA TRA

ONDE

La combinazione di onde diverse nella stessa regione di spazio per produrre un’onda

risultante si chiama interferenza. Per i due impulsi mostrati precedentemente, gli

spostamenti degli elementi del mezzo sono nel verso delle y positive per entrambi gli impulsi,

e l’impulso risultante, creato quando gli impulsi singoli si sovrappongono, mostra uno

spostamento più grande di quello di ciascun singolo impulso. Siccome gli spostamenti

causati dai due impulsi sono nella stessa direzione, la loro sovrapposizione si chiama

interferenza costruttiva. Si considerano due impulsi identici che si propagano ancora in

versi opposti su una corda tesa, ma questa volta un impulso è invertito rispetto all’altro, come

in figura. Quando gli impulsi iniziano a sovrapporsi, l’impulso risultante è ancora la somma

dei due singoli spostamenti, ma i valori della funzione y sono negativi. I due impulsi si

2

attraversano. Siccome gli spostamenti causati dai due impulsi sono in direzioni opposte, la

loro sovrapposizione si chiama interferenza distruttiva. Il principio di sovrapposizione è il

cuore del modello di analisi chiamato interferenza tra onde.

SOVRAPPOSIZIONE DI ONDE SINUSOIDALI

Si applica il principio di sovrapposizione a due onde sinusoidali che si propagano in un mezzo lineare nella stessa direzione. Se le due onde si propagano verso

destra e hanno la stessa frequenza, la stessa lunghezza d’onda e la stessa ampiezza, ma differiscono nella fase, si possono esprimere le loro funzioni d’onda

individuali come:

( )

= − = ( − + )

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dove, come al solito, k = 2π/λ, ω = 2πf e Φ è la costante di fase. Quindi, la funzione d’onda risultante y è:

[ ]

)

= + = sin( − + sin( − + )

1 2

Per semplificare questa espressione, si usa la identità trigonometrica:

( ) ( )

− +

sin + sin = 2 2 2

Se poniamo a = kx - ωt e b = kx - ωt + Φ, si trova che la funzione d’onda risultante y si riduce a:

( ) ( )

=2 sin − +

2 2