Appunti di Geometria e algebra lineare

C-

+

t

= .

.

. - ,

.

.

, )

( Wo t traslazione

W è di

base il

di

è gioco

NK

v1

ore e

una

. .

. .

,

, tv

retta

lq po +

=

. )

(

COMBINAZIONE definizione 22.1.2

AFFINE

"

Xo IK

XK

• E

, . ,

. .

.

loro lineare

affine

contr combinazione

è

una con

una

.

coefficienti 1

somma

a

to te tk XK totti tre

Xo ✗ +

+ 1

+ + =

con

+

e - - . -

- .

INVILUPPO AFFINE affini degli

tutte Xi

cambi

le

di

insieme

: = (

AFFINE )

INDIPENDENTI

MENTE 22.1.4

definizione

"

✗ IK Xi

affinamenti indipendenti

XK Xo

vettori

C- i

se -

sono

o . ,

.

, . , tra loro

indipendenti

linearmente di

Xo

XK sono

-

- . _

. ,

Xo dipendenti indipendenti

affinamenti

dicono

Xk si sono

se non

. -

.

, , ( )

COORDINATE teorema

BARICENTRKHE 1.13

22 .

"

Xo XK indipendenti IK

affinamenti

punti

• di

,

, .

. .

W punti

affine dei

inviluppo

• W di Xi

E

modo

in

W E W

esprime

ogni si unico con

come =

( to )

.tk

coefficienti

1 coordinati

Eli dicono

si

i

= . . .

. ,

baricentrica rispetto XK

Xo

di w a -

. . ,

,

( )

INVILUPPO CONVESSO 1.14

22

definizione .

FÉ /

{ }

di

di

1K [

IK ti

di

A ✗

inviluppo ≥

-1

c- o

i -

= =

:

connesso ,

,

( 1)

TRASFORMAZIONE AFFINE Definizione 1.

23 .

È 1km

f affine

trasformazione

dice

applicazione è

→

: si

un' se

del )

(

f AX to

tipo X = "

lo

hom ( lk

)

1km

a "

IK C-

c- e

can , /

f 1km

] f

✗ ( )

affine lo

lo → X lineare

è c-

se sia

-

AFFINITÀ

trasf Ai

off dice invertibile

h

se m

si e

=

. . ) Io

f (

AX f

lineare

X di

parte

: =

= -

f

lo f

)

Io vettore traslazione di

: =

= ( 2)

ESTENSIONE Teorema

AFFINE UNICA 1

23 .

.

"

IK

Xn

Xo

e) affinamenti

(

dati indipendenti

punti

mt E

• ,

. .

.

, /

] "

!

" "

t trasformazione f

affine 1K 1k

1K

%

scelta Yn

di →

:

c-

.

. .

. ,

11 ( )

Xi %

= AFFINITÀ Yn

Yo

tale affini

affine

trasf india

un' <

è sono

.

. .

. .

.

, .

RICAPITOLANDO : 1km

"

Se IK basi trasformazione affine

la

canoniche

in

in

siamo e ,

IN formule

tramite

trova

lo

AX le

si

+

= "

)

(

( ) Yo

flo )

lo

A- ato

.vn

wn

un m -

=

= =

- .

. . . 1)

(

ENDO definizione

MORFISMO 24 1 .

.

Un' chiama

da

lineare

applicazione endomrfismo

sé si

in

spazio

uno

lo )

(

V End

lndomorfismi denota

degli v

di uno si

spazio spazio con

{ }

v1

/

) f

( ) V f

Ham lineare

End V.V >

v è

: -

= = ( 2)

POLINOMI 24.1

definizione

MORFISMI

DI ENDO .

)

f (

End v

• c- "

"

I ) f

( fa fatta

f of

v stesso kvdt

End di

E composizione con se -

.

= .

I ◦ Id

pone

si = Eiaifi

È

IKE (f)

] Ei fa

polinomio µ si

p

c- pone

si =

= ,

, ( 3)

MATRICE ASSOCIATA definizione 24.1 .

1K

V sett

• sp sa

.

. V

)

f (

End base

rispetto

matr B è

di

v

c- per

una

ass a a

. .

la mole

dlf f che

partenza

B

usando in

in arrivo

sia

ass a

. . .

Mpf

f)

/ f)

/

Mog è quadrata

sempre

= ( )

MATRICI definizione

SIMILI 24.1.4 )

] ( tale

IK

Me

d- Mnxn che

B invertibile

matrice

simili se

sono

e " )

MBÀ

(

M AM

B A.

dunque

e

= 6)

(

auto VETTORI AUTOVALORI 24 1

E definizione .

.

V metti IK

• sp su

. )

(

f End v

• c- / fin

] tv

I K

f

nullo

vettore auto vettore di )

dice c-

un si se

non =

/ FIN

]

de AUTOVALORE lr

f

IK sett

dice nullo

di

un si se =

numero non

.

↳ detta d)

DI 0

=

-

( )

AUTO SPAZIO 24.1 11

definizione .

V IK

sett

• sp su

. .

A IK

• c- )

(

fe End v

• {

Vi }

{ {

) }

( }

In

fin v1

f

Ker t V ristretta

Id di

u

o

re =

: =

= =

- 1

Vi ed autovalore

V

di

sott è

è =/

sett

è < un

un o

. . ( )

POLINOMI CARATTERISTICO 24 1 14

definizione

o .

.

V finita IK

metti dirmi

di

• su

sp .

.

f ( )

End v

• c- )

(

f. qualsiasi base

Amat

• in

a

ass una

. . )

detta

)

( Id

Pol carcetti f × = ✗

: -

. lo caratteristico

hanno

matrici simili stesso polinomio

(

MOLTEPLICITÀ 24.1.171

Teorema

ALGEBRICA

V metti IK

finita

dirmi

di

• sp su

.

.

f ( )

End v

• c- f

di

caratteristico

polinomio

• µ

✗ f )

It

IK autovalore di o

è +

c- = :(

/ il

7m

< (

KE

] pt

) 1

≥ 1 ✗

c- ✗

e q = - IN =/

Con o

q

t

molteplicità algebrica di

in è

> o (d)

indica me

si con

e '

la molteplicità

delle degli f

algebriche autonomi di e

somma V

alla

uguale dimensione di

sempre minore o )

E ( )

molti dim v

≤

( )

SEY molltpl

invarianti '

zzobilita

diagonali

S sp geom

, .

- . . ,

SOTTOSPAZIINVARIANTI-fdefini.io 1)

1

25

ne .

.

)

IK V

(

End

V f W

it

sp.net <

c-

su

. , , )

f (

W CW

f w

invariante per se

TEOREM-25.1.3-vsp.net IK

finita

dim su

a

.

V V1 V2

⑦

• =

f / flute f ( )

( )

End v2

V1 Vr

c- v e

• e fz

fe di

ppd.cm Pol

f

di fiol di

• car

poi car pa . .

.

, ,

. .

(

PIU ) )

( Pa

×

=p ×

, ( 4)

INÈS Teorema 25.1 .

V net IK

• sp su

. . )

f (

End v

c-

• Vi f-

1 auto

f

autovalore di è

se invariante

sp

un .

(

MDLt-FPTAG.FR 5)

definizione 25.1 .

)

(

)

( ( )

)

( dim f-

Ker ✗

Vt

t dim Id

mg =

=

TEOREM-25.t.6-vsp.net 1K

dim n su

a

)

f (

End

c- v

• molti )

mali

1 ≤ n

≤

≤

DlAGdNaLlZZABlLE_ldefinizione25.1.7I@Vsy.nett

IK

su

.

(F)

f End ammette

diagonali base automotori di f

di

c- è se

zz .

( 8)

Diagonale Definizione 25 1.

.

(B)

) ti

d- ( Mnxn

motrice diagonale

è

e j

=/

se

aij o

aij

= =

diagonale

agonizzante

è di matrice

è simile

se una

a

TEOREM-25.1.9-vsp.net finita

dirmi IK

su

a

. .

f )

( la

End diagonali diagonale

motrice

v

c- è

i z sua .

.

C-RlterDDL-LZZ-BTI-lteorem.rs )

1.10

25 .

V IK

sett

•

• sp su

. .

)

( V

f End v diretta

<

di autostati

c- è degli

è organi somma

zz . f

relativi autovalori di

agli

finita

ha

V dim corrisponde

se a

, { E)

(

[ )

malti ) (

dim v

= semina su

n e ra

-2mg ( )

dim

Hi ) v

= Tontolone

)

) molti

maghi ti

=

① deve

la

R tutte le

in fiol reali

radici

Care avere

=

, . . ( )

KERÉNYI Corollario 25.1.12

V IK

sett dirmi

• sp in su

a

.

. )

f ha

( f

End distinti

autovalori

v

c- diagonali

è

in zz .

TEOREMAZJ.1.IM

(B)

Mnxn

AE diagonali

ottica simmetrica è zz .

( )

)

( %

tutti

vale il

vale

campi

i viceversa

es e

su ≥ non

non .

( )

SCHEDE forma

Triamgdabilitoi Jordan

di

canonica

,

MATRICITRIANGOLABILI-ldefinizione26.li 1)

)

A (

( M.mn triangolare

matrice k

) gli

è

e

aij superiore se

=

elementi ti

cioè

nulli

la diagonale

sotto sono j

>

o

aij =

, .

triangolare la

dice inferiore diagonale

elementi

gli

si se sopra

ti

cioè j

nulli <

o

se

sono aij =

, matrice triangolare

triangolare

dice simile

è

se una

si a 2)

(

ÉNERGIE definizione 26.1 .

finita

V IK

dim

nett

• su

sp a

.

. /

] )

f Mdf

V

) base B

triangolare

(

End di triangolare

v è

c- se è

ESTÉ ( 5)

1

26

Teorema .

.

V IK

finita

metti dim

• sp su

a

.

f E

triangolare

) (

)

( )

molti

End è dim

v v

c- =

( 6)

BÉLA definizione 26 1 .

.

ha ✗ sulla

che diagonale

è matrice quadrata hxh

una allarme

immedia