Appunti esame Analisi matematica I

LIMITE

Intervalli

Innanzitutto dobbiamo conoscere gli intervalli.

• [a;b]_{a < x < b}: intervallo chiuso
• ]a;b[_{a < x < b}: intervallo aperto
• ]a;b]_{a < x ≤ b}: intervallo chiuso a dx, aperto a sx
• [a;b[_{a ≤ x < b}: intervallo chiuso a sx, aperto a dx

(Intervalli seguenti)

• [a;+∞[_{x >= a}: intervallo chiuso e illimitato superiore
• ]a;+∞[_{x > a}: intervallo aperto e illimitato superiore
• ]–∞;a[_{x < a}: intervallo chiuso e illimitato inferiore
• [–∞;a]_{x ≤ a}: intervallo aperto e illimitato inferiore

(Intervalli consecutivi)

Intorno

Un intorno è un intervallo che contiene nel determinato punto x₀. Se esso è [2;6], prendo x₀ = 5. Se il punto x₀ coincide con l'estremo dell'intervallo è intorno circolare.

f(x) = 2x^x → quanto è lungo? → I₅(x₀) = ]x₀–5;x₀+5[

Estremi sup e inf

• Estremo di sup>: un qualsiasi intervallo aperto
• Estremo di inf lim_x→x0 f(x) ≠ ∞

  ∀x > 0 | f(x) : |f(x)| > λ

  lim_x→x0 g(x) = x

NO SISTEMA

SI UNIONE

1. lim_x→x0 g(x) = l
2. lim_x→∞ f(x) = l

• lim_x→∞ f(x) ≠ ∞

  lim_x→∞ f(x) = l

  T_x→∞=f_x→x0

• lim_x→∞ f(x) = o

  ∀ x > o ∃ x : o I |f(x)| - l | ≤ ε ∀x ≠ x

• lim_x→∞ f(x) = 0

  ∀x|{=> zero o I ∀ |f(x)- l|

  ∀x ≠ x ∀(x)

• lim_x→∞ f(x) - l

  = (se < 0 zero 0

• lim_x→∞ I (f(x) - l ≤ I ≤

  ∀x|{=> e

Teorema del confronto

Se h e due funzioni definite su un certo intervallo I (c), h (x), g (x) esistono c'è: h (x) ≤ g (x) ≤ c, e cioè: il limite di h (x) esiste ed è l, allora si avrà anche quello g (x) avrà lo stesso limite ad l.

Dimostrazione

Hp: h (x) ≤ g (x) ≤ l

x → x₀

x → x₀

Th: x → x₀

Vendo a considerare la condizione di esistenza di limiti di h (x) e g (x)

• h (x): ∀ ε > 0, ∃ I ∈ < E | h (x) - l | < ε, ∀ x ∈ I ∩ I, x ≠ x

• g (x): ∀ ε > 0, ∃ I ∈ E, | g (x) - l | < ε, ∀ x ∈ I ∩ I, x ≠ x

Segue per la definizione di periodo di acce... ∃ T I, in I₃.

Properties exclusive and suitable as up to result able to control > I Sede è sufficiente le condizioni: ·l -h (x) ≤g (x) ≤ l + ε

 l - ε ≤ g (x) ≤ l + ε

∀ I₃ per le proprietà transitive avverrà:

∃ ∀ | g (x) - l | | f (x) - l | < ε

τ propozione la definizione di: I c.d.ζ. a quello di &left; h (x) e g (x).

c.v.d.

Discontinuità (si ha quando nella g(x) ha un dominio)

Se manca l'esistenza limite si può osservare una discontinuità.

Esistono 3 tipi di discontinuità:

• DISCONTINUITÀ DI I SPECIE

• Il limite destro e sinistro assumono valore diversi tra loro:
• lim_x→x0⁺ f(x) ≠ lim_x→x0^- f(x)
• ↕
• lim_x→x0⁺ f(x) = 0
• lim_x→x0^- f(x) = 5

• DISCONTINUITÀ DI II SPECIE

• Uno dei 2 risultati è:
• ±∞
• Non esiste
• Non è calcolabile
• ↕
• lim_x→x0⁺ f(x) = +∞
• lim_x→x0^- f(x) = 3

• DISCONTINUITÀ ELIMINABILE

• Il limite esiste ma la funzione no:
• ↕
• lim_x→x0⁺ f(x) = e^-x2
• lim_x→x0^- f(x) = e^-x2
• ↕
• ma g(x₀) = l₁ ≠ f(x₀)

Tra i 2 risultati esiste una differenza (nel nostro caso di 3) definendo un "salto"

Un fenomeno perché non calcolabile

Anche se queste discontinuità possono osservare

Oltre 2.5 non posso osserva

Scala con un salto si vede però prolungata la f(x).