Appunti ed esercizi Fisica 1

APPUNTI

ED

ESERCIZI

FISICA 1

\(\vec{r}_C = x_C(t) \hat{u}_x + R \hat{u}_y\) \(x_C(t) = V_c \cdot t\) \(\vec{r}_A = \vec{r}_C + (A - C)\)

\(\vec{r}_A(t) = V_c \cdot t \hat{u}_x + R \hat{u}_y - R \sin \theta \hat{u}_x - R \cos \theta \hat{u}_y\) \(V_c \cdot t = R \cdot \Theta(t)\) (spazio percorso dalla ruota)

\(\vec{r}_A(t) = \left[ V_c \cdot t - R \sin \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_x + \left[ R - R \cos \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_y\) \(\vec{V}_A(t) = \left[ V_c - R \frac{V_c}{R} \cos \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_x + \left[ R \frac{V_c}{R} \sin \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right] \hat{u}_y =\) \(= V_c \left( 1 - \cos \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \right) \hat{u}_x + V_c \sin \left( \frac{V_c}{R} \cdot t \right) \hat{u}_y\)

Mo è uguale a Mo'?

Mo = ∑_i (P_i-O) x F_i

Mo' = ∑_i (P_i-O') x F_i

P_i-O = (O'-O) + (P_i-O')

Mo = ∑_i [(O'-O) + (P_i-O')] x F_i = ∑_i (O'-O) x F_i + ∑_i (P_i-O') x F_i

(O'-O) x ∑_i F_i = 0

Nel caso della coppia

∑_i F_i = 0

In generale il momento risultante di un sistema di forze F_i non dipende dalla scelta del C.R. quando la risultante delle forze è nulla.

Scompongo il vettore û_x' rispetto ai versori fissi: û_x e û_y

û_x'(t) = û_x(-1 − cosθ(t)) + û_y(senθ(t)∙1)

^dû_x'(t)/_dt = -senθ(t)・θ̇(t) û_x + cosθ(t)・θ̇(t) û_y

Vogliamo trovare il vettore ω per cui ^dû_x'(t)/_dt = ω∧û_x'(t)

ω = θ̇(t) û_z e adesso lo verifichiamo.

ω∧û_x'(t) = θ̇(t) û_z∧(cosθ(t) û_x + senθ(t) û_y)

= det(

   û_x  û_y  û_z

      0      0      θ̇(t)

  cosθ(t) senθ(t) 0

)

= û_x・(-θ̇(t) senθ(t)) - û_y・(-θ̇(t) cosθ(t)) + û_z・(0) =

= -senθ(t)・θ̇(t) û_x + cosθ(t)・θ̇(t)

Ho quindi dimostrato che ^dû_x'/_dt = ω∧û_x' dove ω è un vettore ⊥ al piano in cui avviene la rotazione di o' rispetto ad O e in più il suo modulo è uguale a θ̇(t) ossia è uguale alla velocità angolare con cui o' ruota rispetto ad O.

Il verso è uscente dal piano se θ(t) cresce nel tempo ovvero se θ̇(t) > 0 (Regola mano destra)

Mattone cade da una torre.

Quando il mattone cade quando tocca terra dove cadrà?

\(\vec{V'} \neq 0\) \(\vec{F}_c = -2m \cdot (\vec{\omega} \land \vec{V'})\)

\(\vec{\omega} \land \vec{V'} = \omega V' \cdot (-\hat{y'}) = -\omega V' \hat{y'}\)

\(\vec{F}_c = 2m \omega V' \hat{y'}\) forza positiva lungo \(\hat{y'}\) quindi il mattone segue la traiettoria blu.

F_T = -m(ao' + ̇∧ r' + ∧ ( ∧ r'))

F_c = -2m ( ∧ v')

o' solidale con un altro che sta accelerando rispetto ad o con un'accelerazione ao' costante.

ao' = ao' ûx = 3 m/s²

M. chiedo quanto valga il coefficiente di attrito statico del vincolo orizzontale "sedile" necessario ad impedire ad un corpo di massa m posto su di esso di rimanere fermo rispetto al sedile.

Ci mettiamo nel S.R non inerziale o' e risolviamo il problema considerando le forze fittizie.

= 0 v' = 0

F_T

N

F_as

mg

F_T = -m ao' ûx = -m 3 m/s² ûx

{N - mg = 0- F_T + F_A = 0 → m ao' = μ_s Nμ_s ≥ m ao'^' / N = m ao' / mg = ao' / g}

es. Forza elastica

d^→ = dx · û_x

F_el = - kx û_x

L_AB = ∫ F^→ · ds^→ = ∫_xA^x_B - kx û_x · dx · û_x = ∫_xA^x_B - k x dx = [ -¹/₂ kx² ]_xA^x_B =

= ¹/₂ k x_A² - ¹/₂ k x_B² = U(x_A) - U(x_B)

La funzione U(^→r) è detta funzione energia potenziale.

Per tutte le forze L_AB = T(B) - T(A)

Per forze conservative L_AB = U(^→r_A) - U(^→r_B)

Se le forze che agiscono su di un punto materiale sono conservative e i vincoli sono ideali (che non compiono lavoro)

L_AB = T(B) - T(A) = U(^→r_A) - U(^→r_B)

T(B) + U(^→r_B) = T(A) + U(^→r_A) = Energia Meccanica

L'energia meccanica che è la somma dell' en. cinetica T e dell' en. potenziale U si conserva durante il moto, ossia assume lo stesso valore nel punto iniziale A e nel punto finale B.

Esercizio (giro della morte)

Il vincolo strada ha reazione sempre diretta verso il centro,

̅ = R ·

̅ = N · n̂ → N ≥0

̅_P = -mg cos n̂ - mg sen x̂

̅ = ṡ(t) x̂ + ^ṡ(t)2 / _R n̂

x̂ {-mg cos + N = ^ṡ(t)2 / _R · m = mR ̇(t)²

n̂{-mg sen = ;̈ ṡ(t) · m = mR ̈(t)

N = mR ̇(t)² + mg cos(t) ≥ 0

mR ̇² ≥ -mg cos Il punto più sfavorevole è =

per =

mR ̇² ≥ -mg · cos

̇² ≥ g/R Affinché il punto non si stacchi dalla strada

|̅| = ṡ = Ṙ

T = 1/2 m · ṡ² = 1/2 m R² ̇² ⇒ 1/2 m R² ̇² ≥ 1/2 m R² g/R

T ≥ 1/2 mRg

T(A) + U(A) = T(B) + U(B)

= 0 mgh 1/2 mgR mg2R

mgh = 1/2 mgR + mg2R ⇒ h = 5/2 R

Tutte le forze vere sono il risultato di un interazione tra corpi.

Se studiamo un corpo esteso le forze che agiscono sul punto materiale i-esimo possono essere INTERNE o ESTERNE al sistema.

Dato un sistema di punti materiali le forze esterne agenti sul punto materiale i-esimo sono il risultato di un interazione del punto i-esimo con un corpo esterno al sistema.

Le forze interne agenti sull'i-esimo punto sono il risultato dell'interazione del punto i-esimo con un corpo interno al sistema

Il sistema è composto da barca e equipaggio.

La forza che solleva la vela è interna o esterna? Interna

La forza che fa muovere la barca invece è esterna.

Riassunto Eq. Cardinali

I^o Cardinale Corpi Estesi

M_tot. a_cm = dQ/dt = ΣF_i^ext

Se il sistema è isolato, ossia F^ext = 0

Conservazione Quantità di Moto

dQ/dt = 0 ossia Q si conserva.

II^o Cardinale (Forma Semplificata)

dK_CR/dt = ΣM_i^ext

Nel caso in cui CR è fisso o coincide con il centro di massa.

Il momento angolare di un sistema cambia a causa delle forze esterne.

Se ΣM_i^ext = 0 => dK_CR/dt = 0 => K_CR è costante

Conservazione Momento Angolare

ΣM_i^peso = Σ(P_i - CR) x (-m_i g û_y) = -Σm_i (P_i - CR) x g û_y =

= - [Σm_i (P_i - CR)] x g û_y = -M_tot. (CM - CR) x g û_y =

= (CM - CR) x (M_tot. g û_y)