Appunti Fisica 1

B A

Risultato: −∆E −mg(z −

W = = z )

p B A

Definiamo la funzione: E = mgz

p

che prende il nome di energia potenziale gravitazionale. Il lavoro compiuto dalla forza

peso è l’opposto della variazione dell’energia potenziale:

−(E − −∆E

W = E ) =

p,B p,A p

• ⇒

Se z < z W > 0: la forza peso compie lavoro motore.

B A

• ⇒

Se z > z W < 0: il lavoro è resistente.

B A 89

Figura 2.42: Lavoro positivo o negativo della forza peso lungo un piano inclinato.

Interpretazione:

La funzione E = mgz dipende solo dalla quota, non dalla traiettoria percorsa tra A e B. La

p

forza peso è un esempio di forza conservativa.

Esempio 2.22 Un punto materiale di massa m parte dalla base di un piano inclinato liscio,

con velocità iniziale v diretta verso l’alto. Determinare l’altezza massima raggiunta dal punto.

A

Soluzione

Durante la salita lungo un piano inclinato liscio, la componente della forza peso parallela

al piano si oppone al moto del punto, svolgendo un lavoro resistente.

Lavoro della forza peso: −mgh

W = B

−

dove h = z z è la quota della posizione generica B rispetto alla base A.

B B A

Verifica: applicando la definizione generale del lavoro (formula (2.13)) e proiettando la forza

peso sulla direzione dello spostamento, si ottiene lo stesso risultato.

Applicazione del teorema dell’energia cinetica:

1 1

2 2

−

W = ∆E = mv mv

k B A

2 2

Poiché il punto si ferma alla quota massima: 1 2

⇒ −

v = 0 W = mv

B A

2 2

1 v A

2

⇒ −mgh − ⇒

= mv h =

B B

A

2 2g

Conclusione:

Il punto riesce a salire alla quota h grazie alla sua energia cinetica iniziale. Durante la

B

salita:

90 • l’energia cinetica diminuisce;

• l’energia potenziale E = mgz aumenta;

p

• la diminuzione di energia cinetica è uguale al lavoro resistente della forza peso.

Quota massima: 2

v

A

h =

B 2g

Nota: questo risultato è indipendente dall’angolo di inclinazione del piano. È stato già

ottenuto anche per via cinematica (vedi paragrafo 1.4) usando le formule:

1 2

− −

x = v t at , v = v at con a = g sin θ, h = x sin θ

A A B

2

Il metodo energetico è più semplice e diretto.

2.16.1 Lavoro di una forza costante qualsiasi ⃗

La trattazione vale anche per ogni forza costante F . Supponiamo un asse z parallelo e

opposto alla direzione della forza:

−F − ⇒ −∆E

W = (z z ) W = con E = F z

B A p p

⃗

Se invece l’asse z è concorde a F :

−F ⇒ −∆E

E = z (come nel caso del peso) W =

p p

Conclusione: il lavoro di una forza costante è sempre l’opposto della variazione di una funzione

E associata alla posizione del punto lungo la direzione della forza.

p

2.17 Lavoro di una forza elastica

Consideriamo una forza elastica unidimensionale:

⃗ −kx

F = û x

Il lavoro W compiuto da questa forza durante uno spostamento tra due posizioni lungo l’asse

x è: x

Z 1

1

B 2 2 −∆E

− + =

W = (−kx)dx = kx kx p

B A

2 2

x

A 91

2.17.1 Energia potenziale elastica: 1 2

E = kx

p 2

Osservazioni:

• Se x > x (avvicinamento al centro della forza), W > 0 e E diminuisce: è lo sposta-

A B p

mento naturale.

• Se x > x (allontanamento), W < 0 e E aumenta: il punto deve possedere energia

B A p

cinetica iniziale o ricevere lavoro da un’altra forza.

Figura 2.43: Esempio 2.23: forza costante applicata a un punto collegato a una molla.

Esempio 2.23 Un punto materiale è fissato a una molla con costante elastica k e si trova

⃗

inizialmente fermo in x = 0. Viene applicata una forza costante F = F û , e il punto si muove

x

lungo x > 0.

2.17.2 Teorema dell’energia cinetica:

Le forze che compiono lavoro sono:

• ⃗

la forza costante F (lavoro positivo)

• la forza elastica (lavoro negativo) s

1 1 2 1

2 2 2

− ⇒ −

W = F x kx = mv v(x) = F x kx

2 2 m 2

Condizione di arresto: Il punto si ferma quando la velocità si annulla:

1 1

2

⇒ − ⇒ −

v = 0 F x kx = 0 x F kx = 0

2 2

Soluzioni: 2F

x = 0 (inizio) oppure x = k

Risultato: il punto si ferma in:

92 2F

x = k

Figura 2.44: Energia cinetica e potenziale nel moto forzato del punto.

Osservazioni finali:

• 2F

Durante il moto da x = 0 a x = , la forza costante fornisce energia cinetica.

k

• La molla accumula energia potenziale elastica.

• F (punto di equilibrio dinamico tra le due forze).

La massima velocità si ottiene per x = k

2.18 Lavoro di una forza di attrito radente

La forza di attrito radente dinamico è data da:

⃗ −µ

F = N û

attr d v

dove û è il versore della velocità. Dato che û è parallelo e concorde allo spostamento d⃗s , il

v v

lavoro corrispondente risulta: B B

Z Z

⃗ · −µ

W = F d⃗s = N ds

attr d

A A

Interpretazione: B

• R

L’integrale ds rappresenta la lunghezza della traiettoria effettiva tra A e B.

A

• A parità di µ e N , il lavoro dipende dal percorso, non solo dai punti iniziale e finale.

d

• La forza di attrito radente non è conservativa.

• ⇒

Il lavoro dell’attrito è sempre negativo lavoro resistente. 93

2.18.1 Condizione per il moto

Perché il punto si muova:

• deve agire una forza motrice esterna oppure

• il punto deve possedere una energia cinetica iniziale E .

k,A

Durante il moto l’energia cinetica diminuisce. Il punto si arresta dopo un percorso:

1 2

mv

E k,A 0

2

=

s =

AB µ N µ N

d d

Esempio 2.24 Un punto materiale di massa m passa per l’origine con velocità iniziale v .

0

Per x > 0 agisce una forza di attrito dinamico con coefficiente µ .

d

Richiesto: determinare:

• il tempo necessario all’arresto;

• la posizione finale x .

f

Soluzione

Un punto materiale di massa m si muove lungo l’asse x con velocità iniziale v e per x > 0 è

0

soggetto a una forza di attrito dinamico costante:

⃗ −µ

F = mg û

d x

Metodo 1: Teorema dell’impulso Dal teorema dell’impulso (2.3):

t

Z v 0

⃗ ⇒ −mv −µ ⇒

∆⃗p = F dt = mgt t =

0 d µ g

d

0

Metodo 2: Teorema dell’energia cinetica Applichiamo il teorema dell’energia cinetica

(2.15): 2 2

1 v v

0 0

2

−µ − ⇒ ⇒

W = ∆E = mgx = mv x = x =

k d f f f

0

2 2µ g 2µ g

d d

Metodo 3: Leggi del moto Accelerazione costante:

−µ

a = g

d

Tempo di arresto: v

0

− ⇒

v = v µ gt = 0 t =

0 d µ g

d

94

Spostamento: 2 2 2

1 v 1 v v v

0 0 0 0

2

− · − · ⇒

x = v t µ gt = v µ g = x =

0 d 0 d f

2 2

2 µ g 2 µ g 2µ g 2µ g

d d d

d

Conclusione:

Tutti i metodi portano allo stesso risultato. Il punto si arresta dopo un tempo:

v

0

t = µ g

d

e percorre uno spazio: 2

v

0

x =

f 2µ g

d

Esempio 2.25 — Stima del tempo di un urto Un punto di massa m con velocità v urta

contro un ostacolo fisso e si arresta penetrando per uno spazio ∆x.

Richiesto: stimare il tempo ∆t impiegato per fermarsi.

Soluzione

Un punto materiale di massa m urta contro un ostacolo fisso con velocità v e penetra per uno

spazio ∆x, fermandosi.

Durante l’urto agisce una forza frenante, che indichiamo con F (valore medio). Il moto è

m

decelerato fino all’arresto.

Metodo dell’impulso (2.3): mv

⇒ ⇒

∆p = F ∆t mv = F ∆t ∆t =

m m F m

Metodo dell’energia cinetica (2.15):

Il lavoro compiuto dalla forza frenante è pari all’opposto dell’energia cinetica iniziale:

2

1 1 mv

2

− −F ⇒

W = mv = ∆x F =

m m

2 2 ∆x

Combinando i due risultati: mv mv 2∆x 2∆x

⇒

∆t = = = ∆t =

2

1 mv

F v v

m 2 ∆x

Esempio numerico: m = 0.02 kg, v = 100 m/s, ∆x = 0.01 m 95

2

· ·

0.02 100 0.01 10000

1 · = = 10000 N

F =

m 2 0.01 0.01

·

2 0.01 −4

·

∆t = = 2 10 s = 0.2 ms

100

Conclusione:

Il tempo di arresto è molto breve (∼ millisecondi) e la forza frenante media è molto elevata.

2.19 Forze conservative. Energia potenziale

Nei paragrafi precedenti (2.16–2.18) abbiamo analizzato il lavoro compiuto da tre forze diverse:

la forza peso, la forza elastica e la forza di attrito radente. I primi due casi presentano una

caratteristica fondamentale: il lavoro compiuto dipende solo dalle coordinate dei punti iniziale

e finale, e non dal percorso.

2.19.1 Forze conservative

Una forza si dice conservativa se il lavoro compiuto tra due punti A e B è indipendente dal

percorso: B

Z ⃗ ·

F d⃗s dipende solo da A e B

W = A

Figura 2.45: Percorsi diversi tra A e B: lavoro identico se la forza è conservativa.

Conseguenza:

Il lavoro lungo un percorso chiuso è nullo:

I ⃗ ·

F d⃗s = 0

Questa proprietà può essere assunta come definizione equivalente di forza conservativa.

2.19.2 Energia potenziale

Per ogni forza conservativa è possibile definire una funzione scalare E tale che:

p

96 −∆E −

W = = E (A) E (B)

A→B p p p

Esempi:

• Forza peso: E = mgz

p

• 12 2

Forza elastica: E = kx

p

Nota: la (2.16) è valida solo per forze conservative. Invece, il teorema dell’energia cinetica

(2.15) è sempre valido.

2.19.3 Interpretazione fisica

La funzione E rappresenta la capacità della forza di fornire (o assorbire) lavoro:

p

• ⇒

Se ∆E < 0 W > 0: la forza fornisce lavoro.

p

• ⇒

Se ∆E > 0 W < 0: bisogna fornire lavoro dall’esterno.

p

Percorsi chiusi:

Per una forza conservativa: ⇒

E = E W = 0

p,A p,B

In un processo ciclico, non si può ottenere lavoro netto da una forza conservativa.

2.19.4 Ambiguità nella definizione di energia potenziale

L’energia potenziale è definita a meno di una costante additiva:<