Appunti Economia aziendale 2 semestre

Il valore equivalente nel tempo

Per rendere confrontabili flussi di cassa monetari relativi a periodi differenti (anni) è necessario conoscerne il valore equivalente relativo ad uno stesso istante temporale.

Il valore equivalente dopo n periodi a una somma P investita oggi in banca ad un tasso interessa annuale i è data dalla formula F=P (1+i) ^n

Investiamo del capitale ad un tasso di remunerazione i, andiamo a vedere qual è il capitale maturato dopo n periodi.

FLUSSI DI CASSA

Le operazioni finanziarie si rappresentano come flussi di cassa: sequenza di introiti ed esborsi riportati su di un asset temporale

T= scala temporale, i numeri rappresentano i periodi (anni, mesi, trimestri...)

LE FORMULE FINANZIARIE

Introdotte per determinare l'equivalenza economica. Mettono in relazione 3 possibilità nelle operazioni finanziarie.

Convenzioni:

• P= capitale presente nell'istante 0 (somma presente)
• Fn= capitale futuro, riferito al periodo (somma)

1. A= serie di incassi o pagamenti uguali che avverranno nei periodi successivi all'istante 0 partiranno da t=1, fineesercizio, A1 primo periodo, la serie non inizia mai in 0 ma a 1
2. N= numero di periodi
3. I= tasso di interesse

Relazioni P presente e F capitale futuro

• Coefficiente di capitalizzazione (composta) per un singolo pagamento

Un capitale P ad un tasso di interesse i, equivale, dopo n periodi, al capitale

Fn= P x (1+i) ^n valore futuro equivalente=montante

• Coefficiente di attualizzazione (composta) per un singolo pagamento

Un capitale Fn, riferito al periodo n, al tasso i, equivale nel periodo corrente ad un capitale

P= Fn / (1+i) ^n valore attuale equivalente

Relazione capitale futuro F e una serie di n elementi uguali A

• Coefficiente di capitalizzazione (composta) per una serie di pagamenti uguali

Una serie di pagamenti uguali A in n periodo successivi al corrente, al tasso i, equivalgono, nel periodo n al capitale:

poiché Fn= P

x (1+i) ^ n

Ciascun elemento di questa serie a partire dal primo, andrà reso equivalente in F e sommato ai successivi resi equivalenti in F

Coefficiente delle rate da pagare per costituire una somma (composta) nel futuro

Un capitale Fn riferito al periodo n equivale, al tasso i, ad una serie di pagamenti uguali A, effettuati per n periodi successivi al corrente del valore

A= Fn x i ((1+i)^n-1)

Relazione somma presenta P con una seria A

Coefficiente di attualizzazione di una serie di pagamenti uguali

Una serie di pagamenti uguali A effettuati per n periodi successivi al corrente equivalgono, al tasso i, al capitale presente:

Poiché conosciamo P= Fn / (1+i) ^ n sostituendo nella relazione sopra con Fn= A x ((1+i) ^n-1) / i si ottiene

P= A x ((1+i) ^n -1) / (i x (1+i) ^n)

Coefficiente di recupero (o delle rate d’ammortamento) di una serie di pagamenti uguali

Un capitale P nel periodo corrente equivale, al tasso i, ad una serie di pagamenti uguali A

effettuati per nperiodi successivi al corrente del valoreA= P x i x (1+i) ^n/ ((1+i) ^n – 1)

LE TAVOLE FINANZIARIE

Come consultare le tavole

ESEMPIO

Lezione 4

ESERCITAZIONE FORMULE FINANZIARIE

Applicazioni

1. Per un tasso di interesse del 10% composto annualmente, quanto può essere concesso un prestito ora se alla fine di 3 anni saranno restituiti 2000€. Rappresentiamo con flusso di cassa questa operazione. Abbiamo l'istante 0 e i tre periodi, sappiamo che verranno restituiti 2000€ alla fine del terzo anno, il tasso è del 10% e quello che vogliamo sapere è quanto può essere concesso il prestito ora.
2. Sempre con tasso di interesse 10% composto annualmente, quanto sarà necessario restituire tra 6 anni per ripagare un prestito di 50000€ contratto adesso. Rappresentiamo con flusso di cassa questa operazione. Abbiamo 6 anni, quindi ci spostiamo fino al periodo, l'incognita è F6 contratto e P è 50000€.
3. Quali serie di

pagamenti uguali devono essere versati per ottenere 62000€ tra 10 anni. Rappresentiamo con il flusso di cassa questa operazione. Abbiamo 10 periodi, dobbiamo considerare una rata annuale che va da 1 a 10=n che va a costituire una somma futura pari a 62000€. La rata sarà data da F che moltiplica il rapporto dato dalla tavola.

4. Per quale periodo di tempo dovranno rimanere investiti oggi 600€ per arrivare a 1500€ se si percepisce un tasso annuo di remunerazione del 10%. È noto il tasso di interesse e il capitale FN che vogliamo ottenere che è di 1500€. Rappresentiamo graficamente: Sappiamo che dobbiamo cercare nelle tavole il valore più vicino a (F/P,10%, n) cercando la riga corrispondente ad n tale che il valore trovato sia corrispondente. Si nota che è compreso tra 9 e 10. Può essere utile avere una stima di un valore più preciso, è possibile farlo con una interpolazione lineare dei due punti che abbiamo.

5. Versando

Annualmente 1000€ per 5 anni (stiamo prefigurando una serie di 5 che non parte in 0 ma da 1) di un valore di 1000€. Ci saranno rimborsati 5230€ alla fine del 5 anno. Dobbiamo trovare il tasso di rendimento composto annualmente, quindi il tasso applicato date queste condizioni. In questo esercizio conosciamo il rapporto F/A. Si tratta di vedere nelle tavole nella colonna F/A e nella riga n=5 qual è la tavola che più si avvicina a 5,23. Nella tavola del 2% si ha un valore del 5,2040, nel 3% invece del 5,301. Si ha una prima stima che il tasso di rendimento è compreso tra il 2% al 3% e si fa la stessa interpolazione lineare fatta per l'esercizio precedente.

6. Flusso di cassa in 7 periodi, nei primi 3 periodi è composto da una serie di 3 elementi del valore pari a 100 mentre successivamente abbiamo altri 4 periodi in cui è ancora presente una serie ma da un valore pari a 200. Dato noto il tasso di attualizzazione pari al 10 vogliamo sapere

Il valore equivalente nel presente è il valore equivalente alla fine dell'operazione e anche l'esborso annuo equivalente se consideriamo una serie tutta uguale da 1 a 7.

In questi casi possiamo scomporre un flusso di cassa in origine per utilizzare al meglio le formule finanziarie. In questo caso vedremo il flusso di cassa diviso in 2, il primo da 1 a 3 trasformarlo in un unico flusso di cassa in 0. Con il secondo contributo invece partendo da 4 arrivando fino a 7 con gli esborsi pari a 200. Andremo a sommare i flussi di cassa A al flusso di cassa B e avremmo il flusso di cassa originario, entrambi equivalenti in P.

La prima serie si farà semplicemente guardando le tavole finanziarie con gli appositi accorgimenti. La seconda serie bisogna stare attenti alle convenzioni sulle formule, utilizzando la formula precedente (P/A,10% ,4) avremmo un valore equivalente nel periodo 3. Il valore equivalente in 3 è uguale a F3 perché rispetto a 0.

è un valore futuro spostato in avanti. Per renderlo equivalente a 0 utilizzeremo la formula (P/F;10%,3) spostando indietro nel tempo di 3 anni questo valore ottenuto in 3. Abbiamo ottenuto 2 contributi che sommandoli abbiamo in 0 il nostro P totale.

b. Una volta che abbiamo trovato P, se lo vogliamo rendere equivalente a t=7 si farà.

c. Potremmo ricavare la serie o dal valore presente o quello futuro. Utilizzando il periodo presente:

d. Se non avessimo già trovato il valore equivalente ip e volessimo affrontare il punto 2 ovvero come si determina F7, potremmo ancora spezzare il flusso di cassa nei flussi A e B. La nostra formula diventerebbe:

Con il contributo di A che prevede 3 elementi dal valore di 100, utilizzando (F/A, 10%,3) troveremo il valore equivalente in F3 quindi 100x3,31 rappresenta un F3 (valore indietro nel tempo di 4 periodi) che dovremmo spostare in 7. Per farlo dobbiamo moltiplicarlo per (F/P, 10%,4) ecco che abbiamo trovato il valore equivalente del flusso.

A in 7. Passiamo al secondo contributo, la serie è già pronta. Sommando questi due contributi troveremo la nostra P7. Investiamo oggi 1000€ in 0 per 3 anni, dove nel primo anno avremo un tasso del 3%, nel secondo anno avremo un tasso del 3,5% e nel terzo anno avremo un tasso del 4%. Vogliamo conoscere il nostro valore equivalente in 3.

Lezione 5

COMPLEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

Periodi di capitalizzazione diversi dall'anno

PERIODI DI CAPITALIZZAZIONE

Cosa succede se il periodo di capitalizzazione è diverso dall'anno? È utile determinare il tasso equivalente composto annualmente. I due tassi considerati saranno equivalenti se generano gli stessi montanti (Fn), stessi capitali futuri alla fine dello stesso orizzonte temporale.

Esempio: un tasso trimestrale "compone" gli stessi interessi 4 volte in un anno. Noto il capitale P (presente); il capitale che si ottiene alla fine del primo anno è:

In generale la relazione tra un tasso

riferito ad un periodo di capitalizzazione P e l'equivalente tasso annuo composto annualmente è la seguente: con: P = periodo di capitalizzazione (inferiore all'anno) M = frequenza annua del periodo p Rann = tasso composto annualmente (i effettivo annuo) Se P è uguale al mese, tasso mensile composto mensilmente, m sarà uguale a 12 dai mesi in un anno, se p è uguale al semestre, m è uguale al 2 e così via. Esempio: I PERIODI DI CAPITALIZZAZIONE Tasso di interesse nominale r (oppure in): è il tasso annuo stabilito contrattualmente, spesso non può essere utilizzato perché quando la periodicità è diversa dall'anno si ha: r annuo composto m volte r = rp * m Tasso nominale si calcola prendendo il tasso mensile per m, bisogna fare attenzione alla periodicità di composizione degli interessi. Tasso di interesse effettivo i: per i tassi composti con periodi più frequenti dell'anno è il tasso di

interesse effettivamente applicato (annuo composto annualmente):

Con p= periodo di capitalizzazione (inferiore all'anno), m= frequenza annua del periodo p, rannn= tasso annuale composto annualmente (i effettivo annuo)

Esempio:

NEI CONTRATTI

• TAN= tanno annuo nominale ("r" può avere frequenza di composizione superiore all'anno)
• TAEG/ ISC= Tasso Annuale Effettivo (comprende tutte le spese accessorie) Globale (per il credito al consumo)/ indicatore sintetico di costo (per mutui e finanziamenti). Rappresenta il tasso di interesse che rende equivalente la somma del credito concesso al cliente con la somma complessiva che il cliente dovrà sborsare entro la scadenza dell'operazione finanziaria. Comprende non solo il tasso di interesse sul prestito, ma anche le spese accessorie:

• Spese d'istruttoria pratica (apertura e chiusura della pratica di credito)
• Spese di assicurazione o garanzia
• Spese di incasso delle