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Studiare la dinamica vuol dire conoscere le forze, le masse dell'insieme e l'insieme. Una volta fatto ciò, si può impostare un sistema di equazioni con un teorema di Gauss generale.
Un modello matematico di un sistema si costruisce con le equazioni cardinali della dinamica:
ΣF + Fin = 0
ΣNo + Min = 0, interno
Le equazioni devono essere valide per ogni corpo rigido, resto 2 corpi, devo scrivere 4 equazioni:
La forza d'inerzia si trova immaginando di tutto la massa m del corpo è stata concentrata nel baricentro. Ricaviamo Fin = -mabaricentro
Per il momento d'inerzia invece Min = -dk/dt ΣMin = -Ioaangolare
quest'ultimo nel caso di moto piano
SISTEMA AD 1 GRADO DI LIBERTA'
Si tiene schematizzato con una massa collegata ad un telaio; con Q(t) = generica forzante e q(t) è la posizione della massa, c'è uno smorzatore viscoso e k è il coeff. elastico.
OSCILLAZIONI LIBERE NON SMORZATE
Si intende il problema delle oscillazioni (vibrazioni) libere, quelle in cui le forzante Q è uguale a zero. Si studiano a parte, dalla scrittura delle equazioni del moto, facendo il diagramma di corpo libero.
C’è una forza elastica che si oppone allo spostamento, una forza d'attrito e una forza vincolare, tutte opposte alla forzante Q.
Siccome la forza elastica è pari a kq, se la forzante è nulla anche lo spostamento sarà nulla di conseguenza anche la forza elastica. C'è nuova forza elastica se e solo se la forzante non è nulla.
Diverso è il caso in cui si considera lo stesso sistema in verticale. Affinché volgano le stese considerin imposte per il caso orizzontale x dovrà misurare la componente q a partire dalla condizione di equilibrio statico,
cioè quando il peso n° otturra fino al resto fermi, con la ovver mola in equilibrio e q=0. Quando normalmente segue questa misura, si dovrà aggiungere la forma resto usuale[...] [del] l'equazione. Tornando al caso orizzontale, ci sara una forza vincolo s una a forma pes a M q detta d'inerzia. C'è un pilastro che serve a smupere energia
Mqq + cqq + kq= Q(t)=0
Proviamo a giustificare l'andamento del sistema.
Ammettiamo che il sistema parta da una posizione determinata, l'andamento sarà una sinusoide.
L'oscillazione è data dal periodo T = 2π√L/g, ricavato dalla pulsazione naturale, quello in cui il sistema oscilla in assenza di forze esterne e smorzamenti.
Dal punto di vista fisico succede che si parte da una condizione in cui si ha solo energia potenziale massima (velocità nulla, cioè energia cinetica pari a zero), dopo si ha una trasformazione di energia, arrivando alla condizione in cui l’energia cinetica ad essere massima, il ciclo si ripete nel tempo perché se non ci sono fonti di energia e smorzamenti, l’energia totale del sistema si conserva (sistema conservativo).
Risposta libera per un sistema sovrasmorzato (ζ>1)
Ricordando che tζ = tn ζ/ √(ζ²-1)
Se ζ > 1 la radice meno reale è dominante poiché codominato
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