Appunti Dinamica dei sistemi meccanici

ACCELEROMETRO CAPACITIVO

Al posto dei cristalli vi è un condensatore, quindi le due armature che fanno da gabbia per un dielettrico leggermente deformabile, ricorda che si parla sempre di lamine. La capacità elettrica del condensatore dipende dall'area delle armature e dalla distanza tra esse, se applichi al sistema l'accelerazione del basamento essa diventa accelerazione della massa che si scarica come forza d'inerzia sul condensatore, essa schiaccia la parte deformabile. Questo schiacciamento provoca una variazione della capacità equivalente del sistema, misurando la C del condensatore si ricava la forza d'inerzia e quindi l'accelerazione. Questo funziona molto bene anche a frequenza nulla, la forza peso schiaccia il condensatore, in quanto si misura la capacità elettrica e non un segnale. Il problema di questi strumenti è che se il dielettrico è soffice allora il sistema è deformabile e quindi la k è bassa.

Ovvero la pulsazione di risonanza è molto anticipata, si usa allora per basse frequenze visto il ristretto campo di linearità. (??)

DIMENSIONAMENTO DELLE SOSPENSIONI MECCANICHE

Le sospensioni dei veicoli possono filtrare le vibrazioni o le forze. Il modello è sempre un massa, molla esmorzatore ma possono esserci dei problemi, nel caso dell'autoveicolo è che apparentemente il basamento si muove su e giù (per il moto relativo le buche della strada ci vengono incontro e ciò fa variare la distanza) e quindi dobbiamo capire come filtrare le vibrazioni e far sì che non ci diano noia mentre guidiamo. Usando le sospensioni K e C possiamo far sì che gli spostamenti INDOTTI alla massa dal basamento siano i minori possibile.

Questo è il problema del filtraggio delle vibrazioni e si risolve operando su K e C.

La seconda problematica è più industriale, abbiamo un macchinario (m) che durante il funzionamento genera forze.

d'inerzia Fi(t), possiamo desiderare allora che queste forze, naturalmente applicate alla massa e connesse al macchinario, siano trasferite nella minor quantità possibile al telaio (tipo una macchina che disturba il funzionamento di un'altra). Quindi sopra abbiamo forze applicate, al telaio avremo forze trasmesse Ft e quindi poniamo il problema del filtraggio delle forze:

Le sospensioni servono a questo, il sistema massa, molla, smorzatore può essere utile a filtrare vibrazioni e forze. La problematica sembra diversa ma vedremo che le formule risolutive sono le stesse, tireremo fuori allora dei criteri di progettazione per le sospensioni che sono indipendenti dall'applicazione e dalla problematica.

La lavatrice è un classico esempio, vi sono i panni bagnati che vanno sulla periferia del cestello e provocano forze centrifughe che sollecitano la lavatrice come forze rotanti. Analizzando gli spostamenti verticali della lavatrice si ha lo schema sotto dei due,

trasformarle nella quantificazione del nostro obiettivo. Il sistema funziona bene se il rapporto≪1.x/y in funzione di t (o ω) è Facciamo riferimento a spostamenti del basamento armonici (è un'ipotesi) e usando la linearità del sistema abbiamo che anche la massa avrà spostamenti armonici:

Come già visto molte volte, sostituendo le espressioni di y e x in forma complessa nell'equazione si ottiene:

Ovvero l'equazione algebrica. Vogliamo quantificare il rapporto x(t)/y(t):

Il rapporto tra due funzioni del tempo è in questo caso indipendente dal tempo. Ovvero nel caso di sospensione che filtra gli spostamenti otteniamo come risposta in frequenza una cosa molto simile alle FRF viste finora, sembra la somma tra qualcosa proporzionale alla ricettanza e qualcosa di proporzionale allamobilità. Noi non vogliamo fare l'analisi di questa funzione, ci basta soddisfare il fatto che quel rapporto sia≪1. Per confrontare la

funzione complessa con l'unità però dobbiamo farne il modulo. Le sospensioni o funzionano sempre bene o sempre male e la loro efficienza dipende solo da k e c, in teoria anche m ha un effetto ma se vogliamo studiare le sospensioni di un veicolo allora si lavora su k e c, non possiamo agire sulla massa in quanto è solitamente prefissata. Non è il caso delle lavatrici che contiene di proposito dei blocchi di contrappeso in cemento, togliendo quello la lavatrice funziona lo stesso ma vibrerà tantissimo. Solo nel problema del filtraggio di forze si aumenta la massa in quanto con k e c non si riesce per bene.

FILTRAGGIO DELLE FORZE

Scriviamo l'equazione per questo secondo sistema, ma occhio che non è la stessa visto che il basamento è fermo. Il sistema è sempre a 1GDL ma cambia da sistema a sistema:

Le forze elastiche e di smorzamento dipendono ora solo dagli spostamenti di m essendo y=0, ma adesso ci sono le forze esterne che noi

consideriamo di tipo armonico puro per ipotesi. Come prima, se la forzante è armonica lo sarà anche lo spostamento e sostituendo la x(t) complessa nell'EDsi ottiene: Ma noi cercavamo il rapporto forza trasmessa/forza applicata e volevamo che esso fosse molto minore dell'unità. Dobbiamo quantificare la forza trasmessa al telaio (quella applicata è il secondo membro), usiamo allora il principio di azione e reazione: gli elementi esercitano certe forze sulla massa (forze di smorzamento viscoso e forze elastiche), le stesse forze le esercitano sul telaio. Occhio, sul telaio non ci va la forza d'inerzia in quanto è caratteristica dell'accelerazione della massa, sul telaio ci vanno le forze che toccano direttamente il telaio (le forze d'inerzia non ci arrivano per telepatia). Quindi: Ma col più o col meno? A noi non ce ne frega in quanto anche col filtraggio degli spostamenti io andrò a guardare il modulo delle forze equindi se sono verso il basso o l'alto a noi non interessa. Essendo x armonica anche la forza trasmessa lo sarà. Abbiamo allora l'equazione della dinamica e la quantificazione delle forze trasmesse al telaio, la forza applicata la ricavo dalla prima, la forza trasmessa dalla seconda. Il rapporto Ft/Fa è: Ovvero la stessa espressione di prima. Il rapporto tra la forza trasmessa al terreno (da minimizzare) e la forza applicata sulla massa è identico al rapporto tra gli spostamenti quindi i principi per la progettazione saranno esattamente gli stessi. Di nessuno mi interessa della fase e limito lo studio al modulo della funzione imponendo che sia molto minore dell'unità. Il lato positivo è che l'efficienza delle sospensioni è costante e indipendente dal tempo a meno di variazioni su c, l'altro lato positivo è che variando k e c è possibile ottenere prestazioni controllabili a piacere, il tutto dipendeperò da ò, inoltre, purtroppo, la funzione può essere anche maggiore di 1 ovvero un' amplificazione di forze e spostamenti. Nel caso di collegamento rigido (k=0 e C=0) allora ho identità tra gli spostamenti x e y il che è comunque meglio di casi di rapporto maggiore di 1. Le sospensioni possono funzionare bene ma anche male. Cerchiamo per ora gli andamenti asintotici della funzione, lavoriamo in scala lineare per ora: - Frequenze basse: se ω→0 allora la funzione parte da 1. Se fosse scala dB allora saremmo allo 0 dB. Cioè in condizione statiche gli spostamenti di massa e basamento sono gli stessi (come quando passi sulla moto su un dosso molto lentamente, di quanto sale il dosso è di quanto salgo io). - Frequenze molto elevate: se ω→∞ allora la funzione tende asintoticamente a zero. Se fosse scala dB sarebbe un asintoto inclinato. - Nel mezzo dovremmo cercare il modulo e trovare la derivata nulla. Troveremmo unmassimo tantopiù alto quanto più basso è lo smorzamento, per smorzamenti nulli sarebbe un asintoto. Ma a noi non interessano i massimi, vogliamo vedere quando la curva è minore di 1, quindi ha poco senso dal punto di vista pratico cercare la pulsazione di risonanza. È più interessante vedere quando questa curva riattraversa il valore 1, in quanto sopra quel valore siamo in condizioni di amplificazione di forza e spostamenti, sotto quel valore allora si ha che l'ampiezza delle vibrazioni sul guidatore è minore di quella delle imperfezioni stradali. Cerchiamo allora i punti di passaggio della funzione, cioè i valori di ω per cui la funzione vale 1, potremmo imporre il modulo della funzione come unitario ma per farla breve puoi osservare che numeratore e denominatore hanno la stessa parte immaginaria; quindi, la condizione di rapporto unitario dipende solo dalle parti reali e se lo saranno in modulo: Si parla di moduli in quanto

A causa dei quadrati i segni delle parti immaginarie spariscono, coi moduli abbiamo due possibilità:

Le condizioni legano la pulsazione del disturbo con quella naturale:

Ovvero devo mettere il meno se le pulsazioni del disturbo da abbattere sono maggiori della pulsazione naturale, quindi siamo a destra del massimo. La prima condizione invece si riferisce a pulsazioni minori di quella naturale (a sinistra del grafico). La prima equazione ci dice che il rapporto unitario per pulsazioni nulle ma questo lo sapevamo già.

La seconda condizione invece ci dice che:

Ovvero la funzione torna a essere 1 se la pulsazione vale 1.4 volte la pulsazione naturale. La funzione allora partirà da 1, avrà un massimo, tornerà a 1 in corrispondenza di 1.4*ωN e poi scende asintoticamente a zero. Quindi le sospensioni a bassa frequenza funzionano veramente male in quanto il rapporto spostamenti guidatore/spostamenti terreno è maggiore di 1 e si ha amplificazione del disturbo.

La frequenza di lavoro ωL (pulsazioni delle forza da reiettare) allora dovrà trovarsi sullato destro, cioè più a destra di 1.4ωN perché le sospensioni siano efficaci. L'andamento della frequenza di lavoro è illustrato nel grafico sottostante: