Appunti Dinamica dei sistemi meccanici

Dinamica dei sistemi meccanici

Introduzione

In termini prettamente intuitivi, con analisi armonica si intende un modo di analizzare i segnali sotto un punto di vista diverso rispetto al tradizionale. Si parla di segnali quando si parla di un vasto campo di grandezze fisiche; con l’analisi dei segnali si analizzano rumori, segnali, vibrazioni, si equilibrano i rotori o bilanciano i meccanismi. Di solito i segnali sono analizzati per ridurli o eliminarli, ma esistono anche casi in cui si vogliano aumentare (acustica di un auditorium).

Definizione: Il segnale è una qualunque grandezza fisica che evolve nel tempo e assume interesse da un punto di vista scientifico o industriale. Possono essere segnali visivi (lancetta nel tachimetro o altezza del mercurio nel termometro), elettrici ecc. Si parlerà di segnali sia quando cercheremo la forzante agente su un sistema sia in termini di risposta (tutti questi saranno segnali), ma l’analisi del segnale è un campo molto vasto.

Classificazione dei segnali

Possiamo classificarli sia in termini di origine, di tipo (corrente, tensione...), di valore numerico ecc., ma in genere si dividono tramite un’analisi:

• Fenomenologica: classificare i segnali per come appaiono. Un segnale impulsivo o un segnale periodico si distinguono in maniera chiara; questa è una classificazione fenomenologica (“si vedono”) che si basa sull’andamento temporale.
• Morfologica: dipende invece dal tipo (dominio e codominio) del segnale. Il dominio è l’asse x, per esempio è il tempo nel quale si evolve un segnale. Può assumere un qualunque valore (tempo appartenente a R) oppure solo valori discreti (appartenente quindi a N), nel cui caso il segnale è digitale. Nel caso discreto i vari istanti sono intervallati di una certa quantità: fra due istanti non esiste il segnale (non viene registrato al di fuori degli istanti di campionamento). Quindi i segnali si dividono in tempo continuo o tempo discreto; in questi ci riferiamo a un dato istante di campionamento, al di fuori di esso però il segnale non esiste (si dice che il segnale viene “campionato” cioè registrato ogni tot). Un segnale continuo ha una quantità di informazione molto maggiore rispetto a un segnale campionato a tempi definiti (in quanto non ho il segnale tra due campioni, perdo informazioni).

Ricorda che continuo è come dire analogico (lancetta del contachilometri, possono sapere sempre in qualunque istante la velocità del veicolo), altrimenti, posso sapere la velocità ogni tot tempo e quindi non posso sapere se la velocità istantanea sia davvero quella che sto vedendo; quei segnali sono invece digitali. Il codominio invece è il segnale stesso e si trova sull’asse y in termini di ampiezza. È il valore (reale o discreto) del segnale, per esempio una forza che vale 0,33333…N possiamo trattarla come segnale analogico (numero reale) e appuntarlo con il segno sopra il 3 dandoci un’infinita quantità di informazioni circa i decimi o centesimi di Newton, quando però lo inseriamo in Matlab allora sarà arrotondato a 0,33 (un numero limitato). Un codominio reale ha un’infinità di informazioni che vengono però perse nella quantizzazione del numero (cioè nella sua digitalizzazione).

Campionamento e quantizzazione danno origine a un segnale digitale (o numerico), cioè acquisito solo negli istanti di campionamento e che non corrisponde con quello vero ma è arrotondato con tot cifre decimali rispetto a quelle originali. Questa è l’analisi morfologica, cioè analisi dei segnali basata su dominio (tempo o frequenza) e codominio (forza, velocità…).

Nello schemino si vede la principale classificazione fenomenologica dei segnali (non devi saperla a memoria, ma serve a renderti conto delle varie classificazioni di un segnale). Si parte dai segnali che possono essere divisi in deterministici (se sembrano seguire una legge) o aleatori (casuali). Nei sistemi dinamici da noi studiati i segnali che ci aspettiamo sono deterministici in quanto il sistema rispetta la fisica (la legge di Newton), ma nella realtà (misure sperimentali o sistemi veri) allora si potrà trovare combinazioni sovrapposizioni di rumore (un segnale indesiderato, molte volte aleatori o solo apparentemente) con il segnale desiderato che risulterà essere deterministico.

I deterministici si dividono in periodici e aperiodici: i periodici si ripetono ciclicamente dopo tot tempo, sono cioè formati da periodi identici uno dopo l’altro. Gli aperiodici non hanno questa qualità e quelli interessanti sono quelli transitori (che si annullano dopo un certo tempo, tipo il pizzico di una corda) o impulsivi (un urto).

Noi analizzeremo quelli periodici, che dalla serie di Fourier sappiamo che contengono un numero (in teoria infinito) di onde sinusoidali e cosinusoidali a frequenza ben definite. Il segnale armonico è invece la quintessenza, è esprimibile con un solo seno o coseno alla medesima frequenza. Quindi: i periodici contengono più seni a frequenze diverse, gli armonici un solo seno a una frequenza.

Dal punto di vista della vera analisi dei segnali, con “segnale armonico” si intende quello composto da più seni; nel nostro corso si intende con segnale armonico il sinonimo di seno e coseno. Altrimenti dovremmo differenziare tra il segnale armonico (somma di seni) e quello armonico puro (un unico seno), ma questa differenza è sottile. Per evitare incomprensioni, qui si intende con segnale periodico la somma di seni e coseni mischiati, con segnale armonico il segnale con un seno o coseno alla medesima frequenza (segnale armonico = sinusoide).

Quando si parla di analisi armonica allora si intende l’analizzare la risposta di un sistema all’applicazione di forzanti semplici rappresentate da seni e coseni a frequenze ben identificate. È vero che le forze che agiscono sui sistemi sono tutto tranne seni e coseni, vedremo comunque che la linearità del sistema accoppiata con l’operatore matematico Serie di Fourier ci farà risolvere molti problemi. Il primo ci dirà che ogni forza periodica può essere scomposta in sommatoria di seni e coseni, mentre la linearità (con il PdSE) possiamo studiare la dinamica (risposta) del sistema come se fosse composto singolarmente alle singole componenti armoniche che compongono la forzante per poi ricostruire la soluzione globale semplicemente sommandole soluzioni parziali (risposta del primo sistema sollecitato dalla prima frequenza, secondo sistema sollecitato dalla seconda…). Abbiamo solo la limitazione che le forzanti devono essere armoniche delle quali però possiamo variare frequenza e ampiezza; quindi, studieremo la risposta del sistema al variare di quei due parametri caratteristici della forzante.

Principali caratteristiche di funzioni sinusoidali e numeri complessi

L’ampiezza della frequenza armonica è il coefficiente A che moltiplica il seno o il coseno. La classica funzione armonica è: y(t)=Asin(ωt+ϕ); il coefficiente A è l’ampiezza della semionda positiva, ovvero il massimo della mia funzione seno. Ricorda però che l’ampiezza picco-picco è il doppio dell’ampiezza matematica del segnale (A). Altrettanto importante è ω che sta nell’argomento di seno e coseno, è colui che moltiplica il tempo, ωt è una funzione (A è una costante) crescente positiva. ω è chiamata pulsazione dell’oscillazione. Ogni funzione trigonometrica ha nell’argomento un numero puro (non esiste il seno di 1 N), quindi [ω]=rad/s, i radianti sono numeri puri.

Al posto della pulsazione si preferisce usare un’altra unità di misura, cioè l’Hz (cicli al secondo, 10 Hz vuol dire un’oscillazione che si ripete 10 volte al secondo), è chiaro che esista una relazione tra pulsazione e frequenza (numero di cicli al periodo). Si ottiene ω=f*2π con f misurata in Hz. Si utilizza anche il periodo T, cioè il tempo (secondi) per compiere un’oscillazione, con f e T che sono una il reciproco dell’altra.

L’ultima grandezza è la fase ϕ, è uno sfasamento misurato in radianti ed è un elemento che non ha un grosso impatto. Ci focalizzeremo infatti su f ed ω in quanto seno e coseno non sono proprio la stessa cosa ma presentano solo uno sfasamento di π/4. Se immaginiamo due forze identiche applicate allo stesso sistema ma dove una ha un seno e un coseno allora esse daranno le stesse risposte, basterà sfasarle di 45°.

Ci sono poi altri concetti che qua in questo corso sono messi nella slide proprio per dare elementi e approfondire se necessario, ma non sono fondamentali.

Una cosa invece importante sono i numeri complessi, che presentano una grossa analogia con le funzioni esponenziali. Saranno usati in particolare gli esponenziali con esponente immaginario puro: A*(e^jϕ). Questa funzione si scompone in parte reale e immaginaria e individua un punto P nel piano complesso (Re, Im). Se si fa variare il coefficiente ϕ allora il punto si muove, aumentando ϕ P non varia la distanza dall’origine (A) e descrive una circonferenza. Un punto nel piano complesso si rappresenta tramite le coordinate, cioè le componenti del vettore posizione, le proiezioni su asse Re e Im dell’ampiezza inclinata dell’angolo ϕ. Riassumendo, un punto nel piano complesso è rappresentabile in forma matematica con le componenti del vettore posizione, le quali, hanno un legame con le funzioni seno e coseno. e^jϕ è un numero complesso, rappresentabile sul piano complesso. Il punto è dato da delle coordinate date da seno e coseno. Si correla allora e^jϕ alle funzioni seno e coseno. Gli esponenziali con esponente immaginario semplificheranno la risoluzione delle equazioni differenziali.

Analisi armonica

La dinamica ci dice quali sono le forze da imporre a un sistema per portarlo in una certa configurazione, per esempio il braccio di un robot che deve effettuare operazioni deve essere messo nella giusta posizione tramite gli attuatori interni. I movimenti sono in grande e vengono controllati dai sistemi di controllo tramite velocità o posizioni. Questo è modellabile tramite i software multi-body. Questa dinamica grande si affronta tramite gli stessi modelli dinamici da noi analizzati, ma noi ci focalizzeremo molto sulle vibrazioni ovvero le problematiche dei multi-sistemi. Tornando al robot, è chiaro che i bracci devono essere portati nelle posizioni giuste senza vibrazioni, altrimenti un bisturi incorporato al corpo causerebbe disastri.

Queste vibrazioni vanno ridotte/eliminate e saranno l’obiettivo della trattazione del corso: il moto in grande è la dinamica del robot, il moto in piccolo le sue vibrazioni. Nei sistemi lineari faremo riferimento alle funzioni armoniche. Con funzioni armoniche si intende (qua) funzioni seno o coseno. Di queste funzioni ci interessano 2 delle 3 caratteristiche: il valore della semionda positiva (cioè l’ampiezza, il modulo) e la pulsazione delle onde (esprimibile in rad/s, Hz come frequenza e secondi come periodo). L’ultima caratteristica è la fase ma questa rimane in secondo piano in quanto la sua definizione in una funzione armonica si basa sul suo valore all’istante iniziale, ovvero come definisco il seno o il coseno all’istante zero, dipende tutto dalla scelta dell’origine dell’asse dei tempi. Altre grandezze come valore quadratico medio, valore di picco o valore assoluto sono nozioni avanzate che qua non vengono utilizzate.

Possiamo riguardare la similitudine tra funzioni goniometriche e i numeri complessi nella forma e^jϕ, con ϕ numero reale qualsiasi. Questa funzione è un numero complesso e la matematica ci dice che la sua parte reale vale cos(ϕ) e quella immaginaria sin(ϕ), con ϕ in radianti. Per qualunque valore di ϕ, e^jϕ sul piano complesso Re-Im è rappresentato come un punto a distanza unitaria dall’origine (il modulo di e^jϕ è 1). Al variare di ϕ P cambia posizione ma rimanendo alla stessa distanza dall’origine, ergo descrive una circonferenza. Moltiplicando e^jϕ per uno scalare A qualsiasi posso rappresentare un numero complesso a distanza A dall’origine.

Se vogliamo però rappresentare funzioni complesse che variano col tempo dobbiamo sostituire ϕ (numero qualsiasi) con una funzione, per esempio una lineare, cioè moltiplichiamo il tempo per una costante ω. In questo modo un punto fisso nel piano inizia a muoversi nel piano complesso su una circonferenza di modulo A. Questa funzione e^jωt è legata alle funzioni seno e coseno in quanto è scrivile come:

Per ridirlo, nella dinamica si parla di funzioni armoniche (seni/coseni) ma essendo difficili da gestire nelle equazioni differenziali; quindi, si sostituiscono con funzioni esponenziali e^jωt in quanto scomponibile in una parte reale (coseno) e una immaginaria (seno) entrambe alla stessa pulsazione pari all’esponente ω. Ricorda che derivando l’esponenziale tot volte si ottiene l’esponenziale stesso, derivando invece seni e coseni bisogna saltare da uno all’altro. Nel diagramma a pagina 10 si rappresenta un vettore, la funzione Ae^jωt alla quale possiamo aggiungere una fase θ, e ciò è un vettore di modulo A che ruota attorno all’origine con velocità angolare ω ([1/s]=[rad/s] ed è il numero di radianti spazzati dal vettore attorno all’origine nell’unità di tempo). Proiettando questo vettore su Re e Im si individuano le funzioni armoniche pure (seno e coseno). Quindi la similitudine tra esponenziale immaginario e seno e coseno diventa evidente. Nella slide 11 si vedono le formule di Eulero che ritroveremo più avanti. Il “fasore” è un “esponenziale con esponente immaginario”. Occhio che il fasore è un vettore che ruota.

Serie di Fourier

Bisogna adesso chiarire quale sia il significato di “contenuto in frequenza di un segnale”. Il segnale può essere qualunque cosa (andamento nel tempo di una temperatura, di un’onda acustica, la posizione della lancetta di un tachimetro…), se guardiamo l’evoluzione temporale del valore allora stiamo facendo un’analisi nel dominio del tempo. Questa rappresentazione, al di là del suo significato, è quella intuitiva ma non ci permette di vedere bene la dinamica dei segnali. Lo stesso segnale è rappresentabile nel dominio delle frequenze: se si parla di ottenere il contenuto in frequenza di un segnale per un segnale analogico (e periodico) allora lo strumento matematico da usare è la serie di Fourier.

La freccia indica il “voglio elaborare questo tipo di segnale nel dominio delle frequenze, che strumento devo usare?”: negli analogici si usa appunto la serie di Fourier, ma c’è anche uno per gli analogici aperiodici o addirittura digitali. Il concetto di “contenuto in frequenza” si trova nella figura. La linea inclinata verso l’alto a destra ci consente di trovare l’andamento del segnale nel dominio del tempo (time domain), si vede che il segnale prima sale, raggiunge un massimo, si riabbassa e poi rimbalza un po’ fino a scendere drasticamente, poi ricomincia; dopo un certo periodo si riproduce tale e quale, è quindi un segnale periodico oscillante descrivibile tramite un massimo di una certa ampiezza, un minimo di una certa ampiezza e uno zero raggiungibile dopo alcuni rimbalzi.

Ma descrivere questo segnale nel dominio del tempo è difficile, si usa allora un altro metodo, usando il dominio delle frequenze: il segnale in alto a sinistra è formato dalla somma di 3 funzioni sinusoidali, ovvero quelle sotto, ognuna con ampiezza e frequenza diverse. I segnali hanno ampiezza decrescente e frequenza crescente (si vede perché nello stesso tempo fa il doppio delle oscillazioni), infine il terzo ha una frequenza ancora maggiore e un’ampiezza minore. Si può dimostrare che il segnale in alto è ottenibile dalla somma di questi tre segnali sinusoidali con ampiezze e frequenza differenti; quindi, il segnale originario è descrivibile tramite i 3 segnali armonici puri e per ognuno posso fornire le 2 indicazioni di modulo e frequenza. Nel dominio del tempo il segnale originario è descrivibile solo tramite foto del segnale stesso, nel dominio delle frequenze si usa una tabella numerica. In questo caso sono 3 funzioni seno e quindi tutte in fase tra loro. La descrizione nel tempo si basa sul dire quanto vale il segnale in ogni istante che essendo infiniti è difficile, nelle frequenze basta dire da quante componenti è composta e modulo e frequenza di ognuno, servono allora meno informazioni e ci si lavora meglio. Per attuare questo passaggio tempo → frequenze si usa la matematica e se si sta parlando di funzioni periodiche allora si usa la Serie di Fourier:

La formula non serve saperla a memoria, ma va capita la filosofia alla base. Se la funzione x(t) che voglio esprimere come somma di seni e coseni è periodica allora questa, tramite l’operatore, la posso rappresentare come sommatoria di un termine costante che rappresenta il valor medio del mio segnale originale (a₀/2), a questo sommo un certo numero di seni e coseni tutti a frequenze multiple della frequenza fondamentale del segnale.

Nella formula si vede la sommatoria per indici da 1 a infinito dentro la quale si vedono seni e coseni a pulsazioni 2π/T cioè la pulsazione del segnale originario (T: periodo del segnale originale, 1/T è la frequenza e questa moltiplicata per 2π è proprio la pulsazione) che moltiplica lo scalare i (INDICE DELLA SOMMATORIA, non unità immaginaria).