Controllo dei sistemi meccanici - Appunti

CONTROLLO DI SISTEMI ELETTRICI

Consideriamo il motore in corrente continua

i

avv F

N

S N

S N

S

i i

ecc ecc

Il funzionamento può essere giustificato in due modi:

1 – La corrente di eccitazione avvolta in bobina sullo statore genera un flusso magnetico orizzontale

da sx verso dx. La corrente di avvolgimento sullo statore genera un flusso verticale dal basso verso

l’alto. I due campi magnetici tendono dunque a allinearsi producendo la rotazione del rotore.

2 – Si può utilizzare la regola della mano destra per individuare la forza responsabile della rotazione

del rotore, considerando i vettori campo magnetico verticale (d’avvolgimento) e il vettore campo

magnetico orizzontale (d’eccitazione).

Superati i 180° di rotazione è necessario invertire la corrente perché altrimenti le forze tenderebbero

a far ruotare il rotore nella direzione opposta. Per far ciò si utilizzano delle spazzole. Su una

spazzola la corrente e sempre entrante e sull’altra è sempre uscente.

Relazione tra coppia e corrente:  

Nm

=

= ⋅ Φ ⋅ = ⋅ = ⋅ Φ =

C k i k i k k

dove cost  

id r t t r  A

In realtà la coppia reale tiene conto di alcuni termini di perdita:

ϖ

⋅

c

- è la coppia meccanica dispersa proporzionale alla velocità

m

c

- è la coppia meccanica dispersa per attriti interni alla macchina

a ϖ ϖ

= − ⋅ − = ⋅ − ⋅ −

C C c c k i c c

re id m a t m a

Relazione tra tensione e corrente:

⋅

- è la tensione dovuta alla resistenza della macchina.

R i

di

L

- è il termine legato all’induttanza della macchina e sussiste solo se la corrente varia.

dt ϖ

=

e k

- è la forza controelettromotrice, cioè la tensione che registrerei sei facessi ruotare

c e =

k k

meccanicamente il rotore senza corrente di avvolgimento (si ha che ).

t e

ϖ

−

V k

di =

ϖ

= ⋅ + + i t

V R i L k

Quindi si ha: => ( i = cost)

e

dt R

Mettendo insieme le equazioni ricavate si ottiene:

   

ϖ 2 2

− Vk k Vk k

V k    

ϖ ϖ

ϖ = − + − ≅ − +

= ⋅ − ⋅ − t t t t

C c c c

C k c c

t =>    

m a m

t m a R R R R

R    

C

Vk t

R ϖ

ϖ fuga

La velocità di fuga è dunque la velocità a cui si porta il motore se è privo di carico.

SCHEMA A BLOCCHI C r ϖ

1 / R

− i

V e

V C

k

c τ t

+

s 1

e ϖ

c m

ϖ

e

c k t

Nel primo tratto dello schema ci riconduciamo alla seguente relazione:

 

L

( ) − = +

− = +  

= ⋅ + − V e R i 1 s

=> => =>

V e i R Ls

V R i Ls i e c

c c R

 

1 1 1 / R

( )

− = − = ( ) 1 / R

V e i V e i − =

V e i

c c

   

L L

R => => ( )

+ + τ

c +

   

s 1 s 1 s 1

e

R R

   

Poi sottraiamo la coppia resistente che per noi rappresenta un disturbo, pertanto avremo:

C r

ϖ −

d C C

ϖ

− = ϖ

− = =

C C I => => r

C C Is

r r

dt Is

L’anello interno può essere riassunto scrivendo la seguente relazione:

( ) 1 ( )

ϖ

ϖ ϖ ϖ ϖ − = +

− − = − = + i k C Is c

i k C c => =>

i k C Is c

t r m t r m

t r m

Is i k C

−

t r

− ( ) 1 / c

c c

i k C ϖ

− =

ϖ

ϖ =

= i k C m

m m

t r

=> => => ( )

( ) τ

t r +

 

+ s 1

Is c I

 

+ m

m s 1

 

c

 

m C r ϖ

1 / R

− i

V e

V C

k

c τ + t

s 1

e ϖ

e

c k t

Talvolta può essere utilizzata una tensione di comando: C r ϖ

1 / R

− i

V e

V C

k

c τ + t

s 1

e

G ϖ

e

a k

c

V t

c ( ) ( ) 1

τ

− = − =

V H i G V V H i G i

supp. molto piccola:

e c a a

c a a R

− = ≅ H G

perché la resistenza è molto piccola rispetto a e :

V G H G i R i 0 a a

c a a a

V G V

= =

c a c

i H G H

a a a

Si può tracciare uno schema approssimato: C r ϖ

i

V C

1 / H k

c a t

Per passare da moto rotatorio a moto rettilineo:

p p F



ϑ =

= C

v π η

π 2

2 p F ϑ ϑ

 



− − =

C r c I

π η

m m m

2 2

2  

v p

Dove = + = +  

I I m I m r

π

ϑ



m m

2  

2

CONTROLLO DI SISTEMI IDRAULICI

x

c

a p p p Lo spostamento

r A r del cassetto

x

v

determina una luce

A

di sezione .

x v

v

b b

A P

P 1

2 y , y , y

 

 x

v

R

Chiamo:

∂

Q

=

G guadagno in portata => mi dice di quanto varia la portata in relazione allo spostamento

Q ∂

x

v

del cassetto

∂ −

( p p )

= −

G 1 2 guadagno in pressione (il meno dipende dai valori di pressione) => mi dice di

P ∂

x

v

quanto varia la pressione in relazione allo spostamento del cassetto

 

−

( p p )

 

= −

Q G x 1 2

 

Q v G

 

P

La portata in ammissione all’attuatore è data da tre termini:

−

C d ( p p )

= + − +

Q A

y k ( p p ) 1 2

 L 1 2 2 dt

A

y è la portata in condizioni ideali stazionarie

 −

k ( p p ) è la portata dispersa nei drenaggi, maggiore è la diff di pressione e maggiore è la

L 1 2

portata che passa tra una camera e l’altra attraverso i trafilamenti che sussistono per via del gioco

funzionale tra stelo e cilindro.

C dp

1 L’olio è incomprimibile perché se lo comprimo il suo volume varia pochissimo. Però

2 dt

poiché tali variazioni di volume avvengono in tempi altrettanto piccoli il loro rapporto non è

β

β

=

trascurabile pertanto le variazioni di portata non sono trascurabili. dove è il modulo di

C V /

comprimibilità. Il due è dovuto al fatto che lo stelo è passante e le aree sono uguali pertanto sono

anche uguali le portate in ammissione e scarico, quindi la variazione di una sola è la metà del totale.

È ancora possibile scrivere l’equilibrio dinamico sull’attuatore:

− = + +

( p p ) A R c

y m

y

 



1 2

La barra a tre centri è un organo di comando sul quale vige la seguente relazione:

x

c

a x x

v v

1 2

b y

Si ha lo spostamento della valvola dovuto al comando:

x x b

=

v =

c

1 x x

=> v c +

1

+ a b

b a b

Si ha lo spostamenti della valvola dovuto all’attuatore (retroazione):

x y a

=

v =

2 x y

=> v +

2

+ a b

a a b x

Lo spostamento totale della valvola è dato dalla somma vettoriale (con segno) dei due:

v

b a

= − = −

x x x x y ( )

v v v 2 c + +

1 a b a b

Dove:

x è il comando dato dall’utente (leva tirata a mano)

c

x è lo spostamento del cassetto

v

y è lo spostamento dell’attuatore che muove la barra a tre centri retro-azionando così la variabile

comandata.

Chiamo in fine: δ = −

p p p

1 2

 

δ p

 

= −

Q G x

 

Q v G

 

P C

δ δ

= + +

Q A

y k p s p

 L 2

δ = + +

pA R c

y sm

y

 

b a

= −

x x y

v c + +

a b a b y y

 

c

x

x b 1

2

G

c v δ

Q p

+ Q sm

a b Cs R

a 1 k L

+ G

a b P

y δ δ

p p 1

s

Riassumiamo l’anello di retroazione in rosa:

 

 

δ p 2

δ δ

 

− − − =

x G A

y k p p



 

 

v Q L

G Cs

 

 

P −

G x A y



Q v

δ =

p  

G

=> Cs

 

Q

+ +

k

 

L 2 G

 

P

Riassumiamo l’anello di retroazione in blu:

( )

δ = + +

pA R c sm y



δ −

pA R

=

y

=>  ( )

+

c sm

Mettendo insieme le eq. ricavate si ottiene:

−

G x A

y

 −

Q v A R

G

Cs

+ + Q

k L 2 G

=

y P

 ( )

+

c sm − 2

G A x A y



( )

+ = −

Q v

c sm y R

 G

Cs

+ + Q

k L 2 G

P  

G

Cs

 

− − + + Q

2

G A

x A y R k

  

Q v L 2 G

 

( )

+ = P

c sm y

  

G

Cs

 

+ + Q

k

 

L 2 G

 

P

   

G G

Cs Cs

( )

   

+ + + + = − + +

Q Q

2

k c sm y A y G A x R k

 

   

L Q v L

2 G 2 G

   

P P

 

   

G G

Cs Cs

( )

   

+ + + + = − + +

Q Q

2

k c sm A y G A

x R k



 

   

L Q v L

2 G 2 G

   

 

P P

 

G

Cs

 

− + + Q

G A x R k

 

Q v L 2 G

 

= P

y

  

cG G

cC mC

 

+ + + + + +

Q Q

2 2

ck A mk m s s

 

L L

G 2 G 2

 

P P

 

 

 

G Cs

 

 

+ +

Q