Controllo dei sistemi meccanici - Appunti

Numeri complessi

+z Re(z) j Im(z) = +2 2z Re(z) Im(z) Im(z) ϕ = arctg ( )Z Re z + z a jb + z 2 2a b = z 1 = =1 => z + z c jd z +2 2c d2 2b d ϕ ϕ ϕ = − = −arctg arctg Z 1 2 a c = ⋅ = + + z z z (a jb)(c jd) = ⋅ = + + => 2 2 2 2z z z a b c d1 2 1 2b d ϕ ϕ ϕ = + = + arctg arctg Z 1 2 a c

Trasformata di Laplace

Sia f(t) una funzione nel dominio del tempo. La trasformata di Laplace è il termine:

∞∫ −= = ⋅ = st L[f(t)] f f(t) e dt F(s)0

Ha le seguenti proprietà:

• + = +L[A f(t) A f(t)] A L[f(t)] A L[f(t)]
• - 1 1 2 2 1 1 2 2 nd f(t) = n- L[ ] s F(s) ndt t
• = L[f( )] aF(as) - a − − = as- L[f(t a)] e F(s) = lim f(t) lim sF(s) Teorema del limite finale => → + ∞ → t s 0
• = lim f(t) lim sF(s) Teorema del limite iniziale => → → + ∞ t 0 s

Funzione di trasferimento

Il rapporto tra le trasformate della variabile in uscita e della variabile in ingresso definisce la funzione di trasferimento:

x(t) variabile in ingresso => => = L[x(t)] x

y(t) variabile in uscita => => = L[y(t)] y

Funzione di trasferimento: G(s) = x = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ lim y(t) lim s y lim s x G(s) s[x][G(s)]

Si ha che: = = s 0 s 0 → + ∞ → → t s 0 s 0 [G(s)]

dove è chiamato guadagno statico del sistema. = s 0 F m cv

Esempio

Supponiamo un sistema costituito da una massa m sottoposta a una forza F è ad una forza resistente proporzionale alla velocità:

G(s) v F dv − = − = F cv ma dt => => => = + − = = + F (ms c) v F c v ms v F ms v c v v

1 = =

Per un comando che varia a gradino:

G(s) + (ms c) F F F = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅ = 0 lim v(t) lim s v lim s F G(s) lim s G(s) F [G(s)] 0 v F G(s) G(s) = 0 s 0 s s → +∞ → → → t s 0 s 0 s 0

Comandi del sistema

x(t) impulsivo

Il comando varia rapidamente per un istante. (es. una martellata)

dt Trasformata di Laplace per il comando: ∫ = A x(t) dt = L[x(t)] A y 0 = => = ⋅ G(s) y A G(s) x = x A dt

x(t) a gradino

Il comando varia rapidamente e rimane sul nuovo valore acquisito.

x Trasformata di Laplace per il comando: 0 x = = 0 L[x(t)] x s x y = ⋅ 0 y G(s) = => G(s) s x t x = x 0 s

x(t) a rampa

Il comando varia secondo un gradiente e rimane sul nuovo valore acquisito.

Trasformata di Laplace per il comando: x = x 0 2s t

x(t) sinusoidale

Il comando oscilla secondo una sinusoide

Trasformata di Laplace per il comando:

x(t) ϖ = x(t) x sen(t) 0 ϖ ϕ = + y(t) y sen(t) 0 ϖ = s j = −2 dove pertanto: j 1 ϖ ϖ ϖ = + G(j) Re[G(j)] j Im[G(j)] ϖ ϖ ϖ = + 2 2 G(j) Re[G(j)] Im[G(j)] ϖ Im[G(j)] ϕ = arctg ϖ Re[G(j)] t y y ϖ = ϖ 0 G(j) G(j) => x x 0

Integratore

Supponiamo una massa sottoposta ad una forza F. F m v dv = F m dt 1 ∫ = v(t) F dt m v 1 1/m a v F = = ==> = F ms v 1/ms s s F

Cioè del tipo una costante diviso s. ms L’integratore è un sistema in cui la variabile in uscita è l’integrale della variabile in ingresso. Supponiamo ora un comando di tipo sinusoidale:

ϖ = x(t) x sen(t) 0 ϕ ϖ ϕ = + y(t) y sen(t) y dobbiamo ricavare e 00 ϖ Im[G(j)] aa ϕ ϕ ϖ ϖ = ϖ = = j arctg G(j) G(j) e G(j) ϖ ϖ j Re[G(j)] ϕ ϖ j ϖ N(j) e N(j) N ϕ ϕ − ϖ ϖ = = = G(j) G(j) e N D ϕ ϖ ϖ j D(j) D(j) e D y aa = 0 ϖ = = y x G(j) x => ϖ ϖ 0 0 0 x 0 ϕ ϕ ϕ = − = ° − ° = − ° 0 90 90 N D y 020 log x0 a 10 a ϖ -20 − 20 dB/ decade ϕ ϖ -90° y y ϖ = = = a 00 1 20 log 0 Per => => x x0 0 y y 1 = = − 0 020 log 20 ϖ = Per => => 10 a x 10 x0 0

Derivatore

Supponiamo un ammortizzatore dove per spostare lo stelo devo far passare fluido, nasce così una forza proporzionale alla velocità:

= F cv dx F = = = F c => => cs as = F cs x dt x

Cioè del tipo una costante per s. Il derivatore è un sistema in cui la variabile in uscita è la derivata della variabile in ingresso. Supponiamo ora un comando di tipo sinusoidale:

ϖ = x(t) x sen(t) 0 ϕ ϖ ϕ = + y(t) y sen(t) y dobbiamo ricavare e 0 0 ϖ ϖ ϖ ϕ ϖ ϖ = = j = G(j) G(j) e aj G(j) a ϖ Im[G(j)] ϕ = arctg ϖ Re[G(j)] ϕ ϖ j ϖ N(j) e N(j) N ϕ ϕ − ϖ ϖ = = = G(j) G(j) e N D ϕ ϖ ϖ j D(j) D(j) e D y ϖ = 0 a ϖ ϖ = = => y x G(j) x a0 0 0 x 0 ϕ ϕ ϕ = − = ° − ° = ° 90 0 90 N D 20 dB/ decade y 020 log x0 1/a 10/a ϖ -20 ϕ 90° ϖ y y 1 = = 00 1 20 log 0 ϖ = Per => => x xa 0 0 y 10 = 0 ϖ 10 = Per => xa 0

Sistema del primo ordine

v 1 = = Consideriamo il sistema del primo ordine visto all’inizio: G(s) + (ms c) F y 1 / c a = = Lo riscriviamo in tal modo: τ m + s 1 x + s 1 c

Esso è costituito da un polinomio di primo grado in s al denominatore dove: a è la costante vista in precedenza (guadagno statico). τ è la costante di tempo del sistema.

1 - Studiamo la risposta ad un comando impulsivo del tipo: = x Aa A a A τ − = = t/y(t) y y(t) e per questa trasformata l’andamento di è: τ τ + s 1 y y 0 t x = 0 x

2 - Studiamo la risposta ad un comando a gradino del tipo: s ax = τ − 0 y = − t/y(t) y(t) x a (1 e) per questa trasformata l’andamento di è: τ + 0(s 1) s y ax 0 t

3 - Studiamo la risposta ad un comando sinusoidale del tipo: ϖ = x(t) x sen(t) 0 ϖ ϕ = + y(t) y sen(t) 0 y ay a ϖ ϖ = = j G(j) = = Cambio s in: => G(s) τ ϖ + τ x j 1 + s 1 x ω num(j) a ϖ = = G(j) Calcolo il modulo: ω τ ϖ den(j) +2 2 1   y a   ω = = 0 G(j) Considero il rapporto tra le variabili dinamiche:   x τ ϖ +2 2   10 dinam   y   ω = ω = 0 lim G(j) a Considero il rapporto tra le variabili statiche ( ): 0   x ω →   00 stat( ) y/x 1 a 10 0 =20 log dinam 20 log 20 log Considero il rapporto dei rapporti: => ( ) a τ ϖ τ ϖ y/x + +2 2 2 21 10 0 stat τ ω 0 ϕ ϕ ϕ ϖ τ ϖ τ = − = − = − = − arctg arctg 0 arctg arctg Considero l’angolo di fase: N D a 1 y 020 log τ 1/x ϖ 0 − 3 − 20 dB/decade ϕ ϖ − 45 − 90

Sistema del secondo ordine

F m È presente uno smorzatore che riassume tutti gli attriti presenti in un sistema meccanico. = + + = + + = + + = + + F F F F kx cx mx 2 2   F kx cs x ms x (k cs ms) x molla smorzatore inerzia x 1/k = x 1 = m c in generale: y + + 2 + + 2(s s 1) F (k cs ms) k k chiamiamo: k k σ 2 = σ ==> pulsazione naturale (non smorzata) n nm m ξ c c = ξ = 2 => fattore di smorzamento σ k 2 mkn x G = 0 ξ 2 s y Si ricava: => + + (2s 1) σ 2 σ n n 1 - Studiamo la risposta ad un comando impulsivo del tipo: = x A ⋅ A G = y 0 ξ 2 s + + 2 s 1 σ 2 σ n n La risposta dipende dal valore del fattore di smorzamento