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CONSIDERAZIONI SULLE STRUTTURE TEM
consideriamo una struttura generica che supporta il modo TEM
per il TEM (z3 = z2 = 0):
- V2t⊥ = 0
- et = ∇⊥ϕ
- he = 1/η (ẑ × et)
- consideriamo la differenza di potenziale elettrodinamico tra i punti P1 e P2:
V(z) = ∫P1P2 et(ℓ) Ze(z) dℓ = - Ze(z) ∫P1P2 et(ℓ ) dℓ
ma et = - ∇⊥ϕ quindi
V(z) = - Ze(z) ∫P1P2 ∇⊥ϕ(ℓ) dℓ = .....
2) CARICA SUPERFICIALE PER UNITÀ DI LUNGHEZZA
- considerando il seguente riferimento:
sul conduttore interno abbiamo:
∮ eṅ · ḋ = ......
b) Carica lineare per unità di lunghezza
la ricavo dalla precedente integrando sul contorno
λ = ∮dS = κ₀(ℓ) ∮ℓ(ℓ) dℓ = κ(ℓ)C ∮ℓ(ℓ) dℓ = κ(ℓ) λ₀ =
λ₀P₁e-k₁z + λ₂e-k₂t λ∞ κ e-k₂z
c) Capacità per unità di lunghezza
C = λ/V = λ₀/Z₀ = λ/V₀
d) Corrente superficiale
- J = n̂ × Hₜ(ℓ, z)
- ∀P∈ contorno elettrico
- J = n̂ × hₑ(ℓ, ρ) ℓₙ(z) = J₀ ℓₙ(z)
e) Corrente fisica
I(z) = 1/(2) ∮ J dS = ℓₙ(z) 1I ∮ [ n̂ × hₑ(ℓ, ρ)] dS = [( ∮(ẑ × n̂)* hₑ(ℓ, ρ)dS)] ℓₙ(z) =
= 2(z) ∮ 1Iℓ(ρ)dS = I₀ ℓₙ(z) = I-₀P₁ e-k₁z I₀ P₁ e-k₂z
= I+ I-
= I+ e-k₂z + I- e+k₁z equivale all'onda di corrente in una linea di trasmissione
N.B. Sostituendo ℓₜ = κ3 1I ℓₜ si ottiene una formulazione alternativa
I(z) = ℓₙ(z) (∮ 1/E ℓₜ(ℓ)dS = ℓₙ(z) 1/ℓ ( ∮ (ξ̂ × ẑ) :ℓ(ℓ)dS ) =
= ℓₙ(z) 1/ℓ: ∮ 1/(1) (ℓₜ(ℓ)dS) = ℓₙ(z) 1/E λ₀ = ℓₙ(z) 1/ℓ λ₀ = ℓₙ(z) 1/ℓ 1/μ λE/μ= ℓₙ(z) 1/E:
= ℓₙ(z) 1/E λo u = ℓₙ(z) λo λo ℓ
∮ n̂ × 1/E ℓₜ(ρ)dS = ℓₙ(z) 1/ℓ/µ λE = ℓₙ(z) 1/ℓ/µ l =
u = λ₀
• quindi
Io(z) = Uℓ₀ ℓₙ(z)
con
U+(z) = U+(z)
Is(z) = - Us(z)
- in questo modo le condizioni diventano:
- \|Ke\| \|Kh\| ejΦ
- \|Zc\| = \|Ke\| / \|Kh\| ejΦ
- per confronto tra i 2 numeri del modulo e della fase abbiamo:
\[\|Ke\| \|Kh\| = 1\]
1) \[\|Zc\| = \|Ke\| / \|Kh\|\]
2) \[\|Zc\| = \|Ke\| / \|Kh\| = 2Φ\]
Φ = \(\pm\) 1 / Zc = 1/2 \[\Rightarrow\] 1 / \|Zc\| = 1 / √2w
- per i moduli invece:
\[\|Ke\| \|Ka\| = 1\] \[\Rightarrow\] \|Kh\| = 1 / \|Ke\|
- che sostituito nel modulo di \|Zc\| dà:
\[\|Zc\| = \|Ke\|\|Kh\| = \|Ke\|^2\] \[\Rightarrow\] \[\|Ke\| = 1 / \|Zc\|\]
\[\|Kh\| = 1 / \|√Zc\|\]
- inoltre notiamo che:
\[\|Ke\| = \|Ke\| ej\] \|Kh\| = \|Kh\| ej\] \[
\[\|Ke\| \|Kh\| = \|Ke\| ej / 2 = ej\|Zc\| = Zc-1/2\]
= \[1/2\|Zc\|\] = (1/\|√Zc\|)
- quindi ritorniamo al campo:
\[E(t, P, z) = E(t, P, V(z)\] = E(t, P)\ V(z) / \|Ke\| = E(t, P)\ V(z) / \|√Zc\|
H(t, P, z) = h(t, P)\ I(z) = h(t, P)\ I(z) / Kh = h(t, P)\ (√Zc1/2 I(z))
- da questo calcolo la potenza trasportata:
P(z) = [1/2] \ V(z) I(z)\ dS = \[1/2\] \[V(z)\ I(z) V(z)1/2 = V(z)\ (Zc, I(z)\)] = \[1/2\] \[V(z, I(z)\)
Z = 1⁄jωCLY = jωCT
in questo caso con 2 capacita in serie:
kZ = Z⁄Y = 1⁄jωCL · 1⁄jωCT = CT⁄CL = αZ (kz ∈ ℝ)
ZC = Z⁄Y = 1⁄jωCL · jωCT = -j √1⁄ω²·CLCT = -j √1⁄ω²VLCT
-sostituendo:
y1 = z11 x1 + z12 x2 + ... + z1n xn
y2 = z21 x1 + z22 x2 + ... + z2n xn
...
yn = zn1 x1 + zn2 x2 + ... + znn xn
ovvero y = z x
altrimenti... possiamo scrivere tutto in funzione di a e b:
y1 = a1 + b1 | x1 = a1 - b1
y2 = a2 + b2 | x2 = a2 - b2
...
yn = an + bn | xn = an - bn
ovvero
y = a + b
x = a - b
-unendo queste 2 formulazioni trovate:
y = z x = z (a − b = z a − z b
a + b = z a
potiamo i termini uguali allo stesso membro:
b + z b = z a - a
ma a e b si possono scrivere come:
b = (z + I)-1 (z - I) a
b = (z + I)-1 (z - I) a
-si definisce
S = (z + I)-1 (z - I)
Rete 2 Porte Caricata
abbiamo una Rete 2-porte chiusa da un lato su un carico ZL
- per la Rete vale:
- V1 = Z11I1 + Z12I2
- V2 = Z21I1 + Z22I2
per il carico:
- VL = ZLIL
- la relazione di collegamento sul componente è:
VL = V2
IL = -I2
⇒ VL = ZLIL = -I2ZL = V2 = Z21I1 + Z22I2
⇒ -I2ZL = Z21I1 + Z22I2
⇒ -Z22I2 - ZLI2 = Z21I1
⇒ I2 = (Z21I1)/(Z22 + ZL)
- la sostituirso dentro V1:
V1 = Z11I1 + Z12(-(Z21I1)/(Z22 + ZL)) = Z11I1 - (Z12Z21I1)/(Z22 + ZL) = I1(Z11 - (Z12Z21)/(Z22+ZL))
- ora posso calcolare l'impedenza vista in ingresso Zin:
Zin = V1/I1 = Z11 - (Z12Z21)/(Z22 + ZL)
= (Z11(Z22 + ZL) - Z12Z21)/(Z22 + ZL)
= (Z11Z22 + Z11ZL - Z12Z21)/(Z22 + ZL)
= det(Z) + Z11ZL) / (Z22 + ZL)
- ricordiamo che la rete 2 porte ha matrice Z:
(Z = | -jZCcos(βL)/sin(βL) , -jZC/sin(βL) |
| -jZC/sin(βL) , -jZCcos(βL)/sin(βL) |)
quindi:
det(Z) = (-jZCcos(βL)/sin(βL))2 - (-jZC/sin(βL))2 = -ZC2cos2(βL)/sin2(βL) + ZC2/sin2(βL) = ZC2(1 - cos2(βL))/sin2(βL) = ZC2sin2(βL)/sin4(βL) = ZC2 → sin2(βL)/sin2(βL)
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