Appunti di Meccanica razionale e dei continui

Cinematica dei sistemi di punti materiali

1. Corpo rigido: definizione, gradi di libertà. Moto del corpo rigido.

, () = ( − )() ∀

Preso un punto il suo moto è noto se è noto il vettore – cioè se sono note le

coordinate indipendenti necessarie per descrivere il moto che nel caso di un punto nello spazio sono 3

, ), 3.

(, mentre nel caso di un sistema di punti materiali diventano Se modellizziamo il corpo

− / = )

rigido come un sistema di punti con dei vincoli di rigidità (/ allora, presi tre suoi punti

, ,

non allineati – – possiamo costruire una terna d’assi solidale con centro in che ci permette di

descrivere il moto di un punto del corpo rigido. Infatti:

( ( ( () () ()) () () ())

− ) = − ) + − ) = ( + + + ( + +

# # # $ $ $

( − )

Dove fornisce i primi 3 GDL traslazionali, mentre l’orientazione degli

(, , ) (, , )

assi rispetto agli assi fornisce ulteriori 3 GDL rotazionali. In

particolare, i tre gradi di libertà rotazionali sono dati dagli angoli di Eulero. De-

, ∈ [0,2)

finito l’asse dei nodi come l’intersezione tra e allora è l’an-

∈ [0, ) ∈ [0,2)

golo di precessione, è l’angolo di nutazione e è l’angolo di

rotazione propria.

2. Esistenza ed unicità della velocità angolare di un corpo rigido:

il teorema di Poisson.

ℬ {e , e , e } ℬ.

Sia un corpo rigido e sia una terna di assi ortonormali solidali a Allora esiste ed è unico

% & '

ω ė = ω × e ω =

un vettore detto velocità angolare tale che valga la formula di Poisson: , con

( (

% '

∑ (e × e ̇ ) ℬ,

che non dipende dalla terna scelta. Inoltre, preso un qualsiasi vettore solidale a vale

( )

(*%

&

ṡ = ω × s. ̇ = ×

Si dimostra l’esistenza di tale vettore per cui valga . Si ha che:

! !

1 1 1

), ) (̇ )

× = ∑( × ̇ × = ∑( × ̇ × = ∑ × × =

&

! " # ! " # ! ! " "

2 2 2

1 1 1

)̇ ( ) (∑ (̇ ) ) (̇ (̇ ) (̇ ) )

= ∑( ∙ − ∙ ̇ = ̇ + ∙ = + ∙ + ∙ = ̇

! " " ! " " !" " ! " " ! ! $ $ ! % % !

2 2 2 ∗ ∗

̇ = ×

Ora si dimostra l’unicità di tale vettore. Infatti, se per assurdo si ha un altro tale che , allora

" "

∗ ∗

( )

− × = 0, = − ≠ 0

deve valere cioè esiste un vettore per ipotesi vale che sia parallelo a

" ∗

, , = .

ma è impossibile quindi deve essere

! $ %

Infine si dimostra che la formula di Poisson vale per qualsiasi vettore solidale:

( )

̇ = ̇ + ̇ + ̇ = × + × + × = × + + = × .

! ! $ $ % % ! ! $ $ % % ! ! $ $ % %

"'

!' $' %'

{ }

, , ̇ = × ′. ∎

Inoltre sia un’altra terna solidale, allora "

3. Enunciare e dimostrare la legge di distribuzione delle velocità.

S N

Condizione necessaria e suKiciente aKinché un sistema di punti materiali sia in moto rigido è che

() () (

= + × − )() ∀, ∈ ∀.

valga: + , ( (

ℬ, ( − ) − ) = −

Sia un corpo rigido con un vettore solidale. Vale mentre per Poisson

* +

()

( ( (

− ) = × ( − ), − = × − ).

da cui si ottiene che * +

() ( |

− = × − ) − | =

Viceversa, dimostriamo che se vale allora il moto è rigido, cioè che

* +

( ( ( $

(

| |

− | = 0 ∀, ∈ ). − | = 0 − ) = 0,

(equivalentemente Notiamo che equivale a infatti

() () ()

( (

$

( − ) = 2| − | | − |. Ma allora:

() ()

( (

$

( (

|

− ) = 2| − | ∙ − | = 2|P − Q| ∙ Gv − I = 2| − | ∙ G × − )I = 0. ∎

, +

() ()

4. Moto di un corpo rigido. Moto traslatorio, rototraslatorio, e sottocasi interessanti.

() (),

{

∀, ∀ = 1: , ∀}.

Il moto rigido è dato dall’insieme delle posizioni cioè Si può dimostrare

- -

( (

∙ − ) = ∙ − ), ∀, ∈ .

che un sistema è in moto rigido se e solo se: + ,

Abbiamo sei tipi di moto rigido:

1) Moto traslatorio: ogni direzione solidale mantiene orientazione invariante rispetto agli assi fissi,

, , .

perciò i GDL sono Condizione necessaria e suKiciente aKinché il moto rigido sia traslato-

= 0.

rio è che ̇

, , ̇, ̇, = 0,5 ∗ G × ̇ + × ̇ +

Infatti, siano versori di una terna solidale; se sono nulli allora

̇

× I = 0; = 0 ̇ = × = 0 ∎

viceversa se allora per Poisson.

# "

2) Moto rototraslatorio: esiste una direzione solidale che mantiene orientazione invariante rispetto

, , , , .

agli assi fissi (direzione privilegiata) – che coincide con perciò i GDL sono Condizione

necessaria e suKiciente aKinché il moto rigido sia rototraslatorio è che la direzione di sia co-

stante. ̇

0 = = × ,

Infatti sia il versore della direzione privilegiata, per Poisson cioè e sono paral-

̇

= (), = × = () × = 0. ∎

lele. Viceversa, sia allora

3) Moto rigido piano: esiste un piano solidale che si mantiene parallelo e a distanza costante da

∗

un piano fissato detto piano direttore. È un sottocaso del moto rototraslatorio, in cui la dire-

, , .

zione privilegiata è quella perpendicolare a entrambi i piani. I GDL sono

ℬ

Avendo definito il corpo rigido piano come un corpo rigido interamente contenuto in un piano

/

,

direttore e i cui punti si muovono in allora il moto più generico è proprio quello rototraslato-

rio.

4) Moto elicoidale: esiste una direzione solidale parallela alla direzione privilegiata tale che

#

∀, ∈ , = , ∥ ∥

tutti i punti di hanno velocità parallela a – ossia . È un sotto

+ , + , #

, .

caso del moto rototraslatorio, in cui i GDL sono

5) Moto rotatorio: esiste una direzione solidale parallela alla direzione privilegiata tale che tutti

#

∈ ⟹ = 0.

i suoi punti hanno velocità nulla – ossia È un sotto caso del moto rototraslato-

+

.

rio, in cui il GDL è ∈ ℬ = 0 ∀. , ,).

6) Moto polare: esiste un punto che rimane fermo – ossia I GDL sono 3 (,

+

5. Atto di moto di un corpo rigido. Enunciare e dimostrare il teorema di Mozzi.

∈ ℬ

L’atto di moto è l’insieme delle velocità dei punti in un istante fissato , ossia il campo di velocità

- 0

{ ∈ ℬ, ∀ = 1, … , = }.

a fissato con a In particolare:

0 + - 0

! = ∀, ∈ ℬ. = 0.

1) Atto di moto traslatorio: CNS è che

+ ,

− ∥ = , =

2) Atto di moto rototraslatorio: se , cioè esiste una direzione privilegiata

# + , #

∥ = + × ( − ).

tale che ogni direzione è luogo di punti ad uguale velocità. Vale

# + ,

CNS aKinché un sistema sia in moto rigido è che l’ADM sia rototraslatorio in ogni istante.

∃ : ∥ ∀ ∈ ∥

3) Atto di moto elicoidale: con detta asse di Mozzi ( ).

1 + 1 1 1 1 #

∃ : = 0 ∀ ∈ , ∥ = × ( − ), ∈

4) Atto di moto rotatorio: . Si ha che con , detta

2 , 2 2 # + 2

⊥ = ∩

asse di istantanea rotazione. Nel caso del corpo rigido e si dice centro di istan-

2 2

= × ( − ).

tanea rotazione, per cui vale +

≠ 0, ℬ

Per il teorema di Mozzi, se il più generale ADM di è elicoidale, con asse di moto di equazione:

×

4

( − ) = +

3 &

5

∈ ℝ. = = 0

Con Vale ; l’ADM si riduce a rotatorio se e solo se e in tal caso l’asse diventa asse

1 #

" 5

di istantanea rotazione. -

∀ ∈ ℬ = + ∥ ⊥ ; = =

si scompone , dove e si introduce , quindi

* * * * * - *

∥ " ∥ " ∥

|-|

( )

∙ = − =

e . Si osserva che , poiché:

* - - * * * * +

" ∥ ∥ ∥

∙ = ∙ = = ∙ = ∙

* - * + + -

|| || ||

∈ ℬ = 0);

Si cerca il luogo dei punti le cui velocità hanno componente perpendicolare nulla ( sfrut-

/

"

(

= + × − ),

tando che si ha che:

/ 0 (

+ = + + × − )

/ / 0 0

∥ " ∥ "

( (

= 0 + × − ) = 0, − ) × =

Da cui si ottiene che se e solo se equivalentemente se .

/ 0 0

" " "

( − ) ∙ = 0.

Questa equazione di incognita è del tipo del lemma – e vale Quindi per il lemma

0

"

-×3

#"

( − ) = +

(asse di Mozzi ), dove può essere sostituito con .

1 / 0 0

$ "

-

= + × ( − ) ∈

Vale per che sostituendo diventa:

/ 0 1 1 /

% × 1

0 $

)

= + × X + Y = + G( ∙ − I = + − =

/ 0 0 0 0 0 0

$ $ $ $

% . = 0 = 0 ≡ = 0. ∎

che è parallelo a Infine implica (quindi ) e viceversa, dato vale

/ / 4 4

%

6. Atto di moto rotatorio. Condizione necessaria e suDiciente. Caso piano: teorema di

Eulero e teorema di Chasles

L’atto di moto rototraslatorio si dice rotatorio se esiste una retta detta asse di istantanea rotazione

2

(

= 0 ∀ ∈ ∥ = × − ), ∈

tale che e . Vale che , più nello specifico, nel caso di un

+ 2 2 # , 2

⊥ , = ∩ ,

corpo rigido piano in cui si ha che detto centro di istantanea rotazione, è tale per cui

2 2

= × ( − ).

, ≔ ∙ , ℬ ∈

Avendo definito l’invariante scalare cinematico come in un corpo rigido piano , in cui

+ / +

, ⊥ ∀, = ∙ = 0.

si ha che Vale il teorema di Eulero per cui l’ADM di un corpo rigido piano se

+

non è traslatorio allora è rotatorio. ℬ , ∈ ℬ ,

Un altro risultato importante è il teorema di Chasles, per cui dato , con e non paral-

/ / 6 7

lele, si ha che il CIR si trova all’intersezione delle rette e , dove è passante per e perpendicolare

6 7 6

a mentre è passante per è perpendicolare a .

6 7 7

. =

Se non è parallela a allora per Eulero l’atto di moto è rotatorio quindi esiste un CIR Allora

6 7 6

(

× − ), = × ( − ) ( − ) ,

con segmento della retta passante per e perpendicolare a

7 (

( − ) , − ) ∈

e segmento della retta passante per e perpendicolare a . Quindi

6 7

(

, − ) ∈ ⇒ ∈ , ⇒ = ∩ ∎

.

6 7 6 7 6 7

7. Vincoli: definizioni ed esempi.

I vincoli sono dispositivi che limitano le configurazioni o le velocità accessibili al sistema e sono espri-

ℬ:

mibili tramite una relazione analitica tra tempo, posizioni e velocità di

̇ ̇

o , … , , , … , , p ≥ 0 (#)

- % 8 % 8

Un vincolo è detto: #

- Olonomo (o di posizione) se non contiene le velocità (esempio: punto che si muove su una

guida); #

- Anolonomo (o di mobilità) se contiene le velocità (esempio: rotolamento senza striscia-

mento).

I vincoli di mobilità sono riconducibili a quelli di posizione quando sono integrabili; se ciò non è vero

prendono il nome di vincoli di pure mobilità. Si distinguono:

- Vincoli fissi, se non danno luogo a dipendenza esplicita dal tempo;

- Vincoli mobili, se c’è una dipendenza esplicita dal tempo;

#

- Vincoli bilaterali, se è esprimibile tramite equazione;

#

- Vincoli unilaterali, se è esprimibile tramite disuguaglianza.

8. Vincoli di mobilità. Discutere il caso del puro rotolamento.

Un vincolo si dice di mobilità se è esprimibile tramite una relazione analitica che contiene anche le ve-

̇ ̇

o , … , , , … , , p ≥ 0.

locità, quindi del tipo Un esempio di ciò è dato dal rotolamento senza stri-

- % 8 % 8

sciamento, vincolo in cui due corpi rigidi (o un corpo rigido e una guida) sono vincolati nel punto di con-

ℬ ℬ

= = 0.

tatto dalla relazione: $ #

9 9 ?@-;$

9;-<=>

= = 0

Se il disco rotola senza strisciare su una guida fissa si ha che da cui si ricava che

9

è il CIR del disco e il moto del disco può essere descritto tramite un solo GDL. ?@-;$

9;-<=>

= ≠ 0

Nel caso in cui il disco rotola senza strisciare su una guida mobile allora quindi

9

non è più il CIR.

9. Cinematica relativa. Enunciare e dimostrare il teorema di Galileo ed il teorema di

Coriolis. ′

Dati due sistemi di riferimento e siamo alla ricerca di una relazione tra il moto di rispetto a e

′.

rispetto a Per il teorema di Galileo si ha che, detta la velocità di nel riferimento assoluto e detta

$

la velocità di nel riferimento relativo, vale che:

A = +

$ A BA

C

= + × ( − ) ′

Dove con velocità angolare degli assi di rispetto a e velocità di se

BA >C BA

′.

fosse solidale a ( ( ' '

( [( ) (

= − ) = ̇ + ̇ + ̇ = − + − )]

Abbiamo che dove:

5 () ()

( '

( − ) = = ̇ + ̇ + ̇ ;

- 0' 0' 0' 0'

()

( ′̇′

' ' ' ' ' ' ' '

( )

− = ̇ + ̇ + ̇ + ̇′ + ′̇′ +

- () ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

( ) ( ) ( ) ( )

= + × + × + × = + × + + =

6 6

'

= + × ( − ). ∎

6 = + +

Per il teorema di Coriolis si ha che per l’accelerazione di vale: , dove è l’acce-

$ A BA D> $

C C

( ) ( )p

, , = ̇ × − + × o × − +

lerazione assoluta di l’accelerazione relativa di

A BA >C

= 2 × .

l’accelerazione di trascinamento di e l’accelerazione di Coriolis di

D> A

$ $

( ( (

' ' '

( ) ( ( )I

= − ) = G( − + − )I = G + × − +

Abbiamo che: .

5 6 0'

$ $

() () ()

( ( ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

(̇ )

= + ̇ + ̇ = ̈ + ̈ + ̈ + ̇ × + ̇ × + ̇ × =

- 6

() ()

= + ×

6 6

( (

' ' '

( )I ( ) ( )

G × − = ̇ × − + × − =

- () ()

' '

( ) ( )I

= ̇ × − + × G + × −

6 ' '

( ) ( )I.

= + × + ̇ × − + × + × G × −

Dunque 5 6 6 6

Geometria delle masse e sistemi di forze

10. Centro di massa, definizione e proprietà. Dimostrare la proprietà distributiva. Sim-

metrie materiali. Esempi. ),

= {( , = 1, … , }

Dato un sistema di N punti materiali definiamo centro di massa di il punto:

- - E

1

( − ) = x ( − )

- -

-*% % ∑

= , ).

Dove è la massa totale del sistema. In coordinate vale: (e lo stesso per Alcune

F - -

1

proprietà del centro di massa sono:

- Il CDM di un sistema di due punti cade all’interno del segmento congiungente, a metà se hanno

la stessa massa;

- In un sistema piano, il CDM si trova anch’esso nel piano;

- In un sistema convesso, il CDM cade all’interno;

=

- Vale la proprietà distributiva, per cui dato sistema di punti materiali e due sottosistemi %

)

{( , ∈ , = 1, … , < }, = {( , ) ∈ , = , … , } = ∪ , ∩ = ∅

tali che

- - & - - % & % &

( − )

allora, definite massa totale di e massa totale di , si ha che, se è il CDM di

% % & & %

( − )

e è il CDM di , allora:

% & & 1

( ( (

− ) = o − ) + − )p

% % & &

Infatti: ! ! !

( ( [∑ ( ( ] ( (

∑

− ) = ∑ − ) = − ) + − ) = G − ) + −

" " !:8 " " 8:9 " " ! ! $ $

/ / /

)I. ∎

Se il sistema è omogeneo, alle simmetrie geometriche corrispondono delle simmetrie di massa. In par-

ticolare, possiamo definire:

⊥ ):

- Piano diametrale coniugato alla direzione (con è il piano tale che, in un sistema di

∗ ∗ ∗ ∗

∀ ∈ ∃ , ∥

punti materiali, se tale che hanno la stessa massa, e ha punto

, .

medio in allora il CDM cade su

⊥ ):

- Retta diametrale coniugata alla direzione (con è la retta tale che, in un sistema piano

∗ ∗ ∗ ∗

∀ ∈ ∃ , ∥

di punti materiali, se tale che hanno la stessa massa, e ha

, .

punto medio su allora il CDM cade su

11. Sistemi equivalenti di forze e loro riduzione. Enunciare e dimostrare il teorema di

riduzione. ),

= {( , = 1, … },

Sia un sistema di forze applicate definiamo:

- -

E

∑

, =

- Risultante di il vettore ;

-

-*% E

∑

, = ( − ) ×

- Momento risultante di il vettore .

> > - -

-*% C

=

Questi due vettori caratterizzano un certo sistema di forze, perciò diciamo che è equivalente a

C >C

),

{( , = 1, … , } = =

se e solo se e , ossia se hanno gli stessi vettori caratteristici.

G G >

Si nota che, nonostante il momento dipenda dalla scelta del polo, in realtà l’equivalenza dei sistemi non

≠ , = + ( − ) ×

ne è influenzata; infatti, sia per la proprietà del trasporto si ha che e

, 4

,C >C C

= + ( − ) × ′, ≃ ′ = = ′, = ′.

ma se significa che e dunque

> > , ,

≔ ∙

Avendo definito l’invariante scalare , vale il teorema di riduzione: sia un sistema con vettori

>

′

caratteristici e , esso è equivalente a un sistema non univocamente determinato composto al

>

pi&u