Appunti completi di Meccanica razionale

Teoria dei vettori applicati

Vettori liberi e vettori applicati

S sia un insieme qualsiasi i cui elementi sono punti e S. Si è uno spazio vettoriale euclideo n-dimensionale sul campo reale.

Definizione: È uno spazio affine puntuale euclideo di dimensione n indicato con E_n, se si può definire una applicazione φ: E_n x E_n → V che ad ogni coppia ordinata di punti {P_i, P_f} associa un vettore v con le seguenti proprietà:

• Se φ({P₁, P₂}) = v allora φ({P₂, P₁}) = -v
• Se φ({P₁, P₂}) = v ed φ({P₂, P₃}) = w → φ({P₁, P₃}) = v + w
• Per quals. p ∈ O E_n e v ∈ V_n ∃ !! punto P ∈ E_n t.c. φ({O, P}) = v

(I) I elementi di V sono vettori liberi; le coppie {O; v} dove O ∈ E_n e v ∈ V sono vettori liberi sono vettori applicati c ∈ O ∈ E_n liberamente e P e il sistema.

Notazione di Moigno: P ϝ v → v ϝ P O ϝ v → O ϝ P

Un riferimento è una coppia costituita da un punto O ∈ E e da una base di e₁, e₂, e₃ V e l’insieme {o; e₁; e₂; e₃} → sono lungo e₃ e quando e₃ è e₂ è sx e₂ è dx truma lussianatrumadistrorienta.

Operazioni su vettori applicati

Definizione: Si dice momento del vettore applicato {P, v} rispetto al polo O il vettore libero: M_o = (P-O) x v.

Nel caso di un sistema S = (P_i, v₁), si di vettori applicati: M_o = Σ_i=1(P_i-O) x v_i.

Teorema di variazione di applicazione: Se i vettori di S hanno tutti lo stesso punto P → Mo = (P-O) X Σv_i (P-O) x R_r R_r di R_r = S.

Teoria dei vettori applicati

Vettori liberi e vettori applicati.

S sia un insieme qualsiasi, i cui elementi sono punti e S è uno spazio vettoriale euclideo n-dimensionale sul campo reale.

Definizione: È chiamato spazio affino puntuale euclideo di dimensione n e indicato con En, S se è possibile definire una legge: cp: E×En → En che per coppia ordinata di punti pp, cp(p₁,p₂) associa il vettore v con le seguenti proprietà:

• Se cp({p₁,p₂}) = v allora cp({p₂,p₁}) = -v
• Se cp({p₁,p₂1}) = v e cp({p₂,p₃}) = w → cp({p₁,p₃}) = v+w
• Per ogni ulalni O ∈ En e v ∈ Vn, il punto P ∈ En t.c. cp{OP} = v

(Li elementi di Vn sono vettori liberi e il punto P ∈ En è un vettore libero sono vettori applicati.)

Notazione di analogi: P-O = v → v = O-P o ᵃᴇ _O v

Un riferimento è una copia costituita da un punto O ∈ Eₙ e da una base {e₁,e₂,...,eₙ} di Vₙ e l'insieme {O,e₁;e₂;...;eₙ}, lungo e₃ = vista e₂ e su: da ox.

Operazioni su vettori applicati

Definizione: S sia momento del vettore applicato f rispetto a un polo O il vettore libero M_o = (P_i-O) x v_i.

Nel caso di un sistema S = {(p_i,v_i),..}}, di vettori applicati: M_o = Σ_i=1 (P_i-O) x v_i.

Teorema di variazione del momento di un sistema di vettori applicati al variare del polo: Sia S: K_o momento del sistema S di vettori applicati rispetto al polo O e O' un altro punto ≠ O. Si ha M_o' = (r₁ - o') × F₁ + (r₂ - o') × F₂ + … quindi K_o' = K_o + (o' - o) × F. Ossia il momento non dipende dal polo ⇔ S ha F = o.

Definizione di coppia

Sistema di 2 vettori aventi: stesso modulo e direzione ma verso opposto e la distanza tra le rette d'applicazione. Si dice binario. Sistema con R = o ⇒ momento indipendente dal polo.

Misura della coppia: Sistemare da scrivere; modulo = intensità.

Sistemi equivalenti di vettori applicati

Siano S e S' 2 sistemi di vettori applicati e indichiamo con R, M_o e R', M'_o il risultante e momento risultante rispetto al polo o di S e S'.

Teorema: