Appunti completi di Meccanica razionale

Teoria dei Vettori Applicati

Sia \( \mathbb{E} \) un insieme qualsiasi, i cui elementi sono punti. Sia \( \mathbb{V} \) uno spazio vettoriale euclideo \( n \)-dimensionale sul campo reale.

Def: \( \mathbb{E} \) è detto spazio affin puntuale euclideo di dimensione n para. Se in \( \mathbb{E} \) è definita un'applicazione \(\varphi: \mathbb{E} \times \mathbb{E} \rightarrow \mathbb{V}\), che gode delle seguenti proprietà:

1. \(\varphi((p,p)) = \vec{0}\)
2. Se \(\varphi((p_1, p_2)) = \varphi((p_3, p_4)) \Rightarrow \varphi((p_3, p_2)) = \vec{w}\)
3. Per qualsiasi \(0 \in \mathbb{E} \exists! \vec{r} \in \mathbb{V}\), \( \exists! \) punto \(P \in \mathbb{E}\) t.c. \(\varphi(o,p) = \vec{r}\)

Gli elementi \( \vec{r} \) sono vettori liberi, e il punto \( o \in \mathbb{E} \) in cui un vettore libero somma vettore applicato. \( o \) è l'origine e \( \vec{r} \) è l'estramore.

Notazioni di classe: \(\vec{p} - \vec{0} = \vec{r} \Rightarrow \vec{r} = \vec{p} -\vec{0}\)

1. \[\vec{o} = \vec{p}\]

Un riferimento è un coppia costituita da un punto \(O \in \mathbb{E}\) e da una base \( \{ \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3} \} \) di \( \mathbb{V} \) e l'insieme \(\{o, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}\), e \( \{o, \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}\}\) si dicono:

• \( \vec{o} \) sono longe \( \vec{e_3} = t.c. \)
• \( \vec{e_1} \) quando \( \vec{e_4} \) se se
• \( \vec{e_2} \neq 3\) se se

Operazioni sui vettori liberi:

DEF: Si dica Momento del vettore applicato \((\vec{r}, \vec{x})\) rispetto al polo \(O\) i vettore libero

\[\mu_0 = ((p - o) \times \vec{r})\]

Nel caso di un sistema \( S = \{(p_i, \vec{r_i})\}_{i=1}^{n}\):

\[\mu_o = \sum_{i = 1}^{n} ((p_i - o) \times \vec{r_i})\]

Teorema di variozioni: Se i vettori di \(S\) hanno tutti in stesso punto \(P\) di App(Employee)

\[\Rightarrow \mu_o = ((p - o) \times \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(p_o) \Rightarrow (p - o) \times \vec{r}\]

Risultante di \(S\)

LEGGE DI VARIAZIONE DEL MOMENTO DI UN SISTEMA DI VETTORI

Trasferire da uno punto ad un altro il momento di vettori applicati rispetto ai poli O e O' si utilizza: _{Mo' = MO + (cf.O -> O').x = F} oppure se c'è già un rapporto dato dal polo = si ha M_o = 0

Def: COPPIA

Si chiamano coppia due vettori aventi stesso modulo e direzione ma verso opposto. Una caratteristica della coppia: il sistema di loro sta nella retta di applicazione. Si dice baricentro il sistema con R = 0 => momento indipendente del polo.

Sistema equivalente di vettori applicati

Sono due sistemi di vettori applicati e indichiamo con R_o, M_o e R'_o', M'_o' il risultante e momento risultante rispetto al polo o di esso:

TEOREMA: S₁ Sistema 1 di vettori applicati ≡ sistema 2

Teorema: Un sistema di vettori applicati S₁ è innanzitutto equivalente al sistema S_{2 c(R1,p1), (Q1,r1)(Q2,r2)} ha un'esistenza con una coppia di pulsazione in cui il momento è chiuso nel modo descritto. In sostanza il vettore appartenente al sistema è equivalente con un sistema di 2 vettori di uno dei quali: p₁ formeranno le archittettuazioni "il punto di applicazione".

dove

componenti unitari

velocita`

accelerazione

traiettoria

Sa Ss

ta vettore ortogonale

curvatura

progresivo

Moto rigido traslatorio

C ogni direzione solidale a C si mantiene invariata nel tempo rispetto al rif. fisso

Intuitivamente: C chiama lo stesso velocità. Se la velocità rimane costante nel tempo lineare, moto traslatorio si dice uniforme

Moto rigido rototraslatorio

Cosa particolate del traslatorio

Esiste una direzione solidale che mantiene invariata rispetto al rif. fisso

Moto rigido elicolidale

Se ω = rototraslatorio e se esiste un punto P ∈ C la cui velocità C in direzione ω

dalla formula fondamentale cinem. rig.:

v_P(t) = v_C(t) + ω∧CP_s(t) ⇒ v_P(t) + v_C(t) = l

Allora v_P(t):

Se invece, risalendo che v_P con l = ∥ω∥

Le traiettorie dei punti non appartenenti alla retta delle velocità di dir. sono

Moto rigido rotativo

Se ω = rototraslatorio e se | è un punto di ∈ inverso velocità nelle tutte i punti su | &omega al che che quindi

Inoltre, i punti ∉ A

Funzioni invarianti di un tensore

Determinante di un tensore = determinante della matrice che lo rappresenta in una data base.

Non dipende dalla base. Dipende dai coefficienti indipendenti dalla base.

Funzioni fondamentali per una matrice 3x3:

• i₁ = det A₁₂ + a₃₃
• i₂ traccia della matrice
• i₃ somma di minori complementari di ordine 2 della matrice

(λ₁ - T) (λ₂ - T) (λ₃ - T) (λ₄ + λ₅ + λ₆)² twine_2a twine_3a

Il polinomio caratteristico di un tensore è:

P(T) = λ₁ + λ₂ + λ₃ = 2 (λ₄)² — 2 (λ₅)² + i₁ λ (T)

Proprietà: Un tensore è ortogonale proprio se det Q₁ = 1

... ortogonale improprio se det Q₂ = -1

Teorema: Un tensore ortogonale improprio ha sempre autovalore 1 o -1.

Teorema di Decomposizione Polare

Se T è un tensore qualsiasi con det T > 0 allora esistono due tensori V, U definiti positivi e simmetrici da tensore Q ortogonale tali che:

• QUT_V —> decomposizione polare Dx
• 1 Q
• 1 Sx

Inoltre Q, U, V sono unicamente determinati.

Dim: dimostrazioni con det ^ax

Osservo che il tensore ...

Simmetrico: C², (Π u Π v³) (Π t²) Π² nC³ -> volume diagonalizzato

def. positivo C, u, C^v U^v(Π t²) u² T

+ u + v = u —> det > 0 -> Π² u -> 2 - 2 = 9

= scelta una base V₃ scarta tale da autovalore 1, n nella sulle C .

= O (def. ps) —> su biattuali sono propri!!!

... posso definire la radice di quadrato C^c Q^c che è definisce nella base dopo valutano

det (C + 1 T) => —2 t_z Γ₂f

Ma se non serve, invec-> => nella base ... con tutti faccio in trasforma umove

... ex semplificazione

U>J la mazione inv A ; ΣΣ ^J', π ^er_b

R —3(34)^ax

—> (che ha gli' autovettor come colonne)

| mux α per paceci della base

Cinematica dei Sistemi Materiali Continui Deformabili

Cinematica della deformazione

Sistema materiale continuo → Sc: = Ωc (ρ)

Sc deformabile se >i; ogni suo punto materiale è libero di muoversi indipendentemente dagli altri.

Il moto sc è descritto da: x = x̃ (ζ,t)

2 casi:

• punto variabile → Xk = Xk (ρ,t) puó essere vista come una successione di configurazioni che Sc assume nel tempo
• punto fisso → il monte è visto come una deformazione

La deformazione è descritta da:f*(ξ1, ξ2, ξ3) : Pρ(βt)

1) Biunivocità → Unt punto in βt non può essere immagine di 2 punti Gα

det &Big|;_∂Xi&Big|; = 0 → 1 (determinante Jacobiano) ÷ il rapporto tra volume ΔXi nella conf. attuale e quello della conf iniziale. Deve essere

Spostamento → u = f(p) efa(P) = x

Gradiente di deformazione → F è la matrice:

Fij = _∂Xi ^∂xj

→ rappresenta le grandezze fisiche a tensoriali