Appunti di Geometria e algebra lineare fino ad endomorfismi

V

CAMPO VETTORIALE DEFINITO SU UN CAMPO DI SCALARI K

DATI n VETTORI V1,V2,..,Vn APPARTENENTI A V

QUALSIASI ESPRESSIONE DELLA FORMA

O

DEFINISCO UNA COMB LINEARE

COMBINAZIONI LINEARI DI VETTORI CON a1,..,an n SCALARI QUALSIASI DEL CAMPO K

DEFINITA SOLO MEDIANTE OPERAZIONI LINEARI

NUMERO DI VETTOI

OSSERVAZIONI INDIPENDENTE DA NUMERO DI SCALARI

RAPPRESENTA UN VETTORE COSTRUITO SOMMANDO DEI VETTORI MOLTIPLICATI PER CERTI SCALARI

PROPRIETA' DA SODDISFARE SE NESSUNO PUO' ESSERE ESPRESSO COME

DEF SPAZ VETTORIALE FORMATO DA VETT. LIN. INDIP. COMBINAZIONE LINEARE DEGLI ALTRI VETTORI

GENERALITA' LIN. DIPENDENTI SE ALMENO 1 VETTORE E' COMBINAZIONE LINEARE DEGLI ALTRI

SOTTOSPAZI VETTORIALI

TALE DA ESSERE UNO SPAZIO VETTORIALE IN SE CONSIDERO UNO

SOTTOINSIEME DI UNO SPAZZO VETTORIALE

CHIUSO PER SOMMA E PRODOTTO PER SCALARE DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE DI VETTORI DEF. LINEARMENTE DIPENDENTI SE ESISTE ALMENO UNA n-UPLA DI SCALARI NON TUTTI NULLI CHE ANNULLA LA COMB. LINEARE

TUTTI I VETTORI DELLO SPAZIO

4.1 SPAZI VETTORIALI

SONO RIFERITE ALLA BASE CANONICA GEN. INSIEME DI VETTORI CHE PERMETTE DI RICOSTRUIRE

QUANDO HO LE COMPONENTI DI UN VETTORE OSS. CON COMBINAZIONI LINEARI

NON SPECIFICANDO LA BASE LE COORDINATE w1,w2,...,wn RISPETTO A UNA BASE B DELLO SPAZIO SI INDICANO NOTAZION VETTORI GENERATORI

w ELEMENTO DI UNA SPAZIO VETT. DI ORDINE n

IN TERMINI DEI VETTORI DI B SONO I COEFFICIENTI DELLA COMB. LINEARE

CON CUI SI ESPRIME IL VETTORE w COMPONENTI DI w

RISPETTO ALLA BSE B DEF

COORDINATE RISPETTO AD UNA BASE TUTTI I VETTORI DELLO SPAZIO

INSIEME DI VETTORI CON IL QUALE POSSO RICOSTRUIRE IN MODO UNICO

DEF CON COMBINAZIONI LINEARI

Sub-SISTEMA DI GENERATORI LIN. INDIP. CHE GENERANO L'INTERO SPAZIO

VETTORIALE

DEF.

GLI SCALARI MEDIANTE I QUALI IL VETTORE SI ESPRIME COME COMB. LINEARE DEI VETTORI DELLA BASE CHE SIANO UN SISTEMA DI GENERATORI

GEN BASE PER VERIFICARE SE UN INSIEME DI VETTORI E' UNA BASE VERIFICO

DETTE ANCHE COMPONENTI CHE SONO LINEARMENTE INDIPENDENTI

UNA BASE E' UNN SISTEMA DI GENERATORI

PERMUTANDO L'ORDINE DEI VETTORI DI UNA BASE OTTENGO UN ALTRA BASE

OSSERVAZIONI OGNI BASE INSIEME ORDINATO DI GENERATORI INDIPENDENTI TRA LORO DI V

LECITO PARLARE DI BASE DI SOTTOSPAZI VETTORIALI SONO A LORO VOLTA SPAZI VETTORIALI

ESISTENZA DI UNA BASE

TEOREMI NON UNICITA' DELLA BASE DUE BASI DELLO STESSO SPAZIO VETTORIALE

CARDINALITA' DELLE BASI HANNO STESSA CARDINALITA' STESSO N° DI ELEMENTI

GEN INSIEME DI TUTTE LE POSSIBILI COMBINAZIONI LINEARI

SOTTOSPAZIO GENERATO O SPAN

EQUAZIONI PARAMETRICHE E CARTESIANE DEF

SIGNIFICATO GEOMETRICO VETTORI LINEARMENTE DIPENDENTI 1 UN SOTTOSPAZIO GENERATO E' UNO SPAZIO VETTORIALE

TEOREMI SPAN E GENERATORI 2

TEOREMI

4.2 SPAZI VETTORIALI 3

TEOREMA DEL COMPLETAMENTO DIMENISONE SPAZIO VETTORIALE

PROPRIETA' DEF ISOMORFISMI BASI CANONICHE E DIMENSIONE

APPLICO IL PUNTO 2 DEFINITI DA SISTEMA DI GENERATORI E EQ. CARTESIANA 3

RICAVO LE EQ. CARTESIANE DAL SISTEMA DI GENERATORI CHE DEFINISCE S

ESTRAGGO UNA BASE DELLO SPAZIO DELLE SOLUZIONI TROVATO DEFINITI DA EQ. CARTESIANE 2

SI T CON EQUAZIONI COSTRUISCO IL SISTEMA LINEARE OMOGENEO

DI S 3 CASI DIM. E BASE DELL'INTERSEZIONE DI 2 SOTTOSPAZI SOTTOSPAZI

VETTORIALI DI R^n

E SPAZIO SOLUZIONI

SISTEMA LINEARE

OMOGENEO

DEFINITI CON SISTEMI DI GENERATORI 1

ESTRAGGO UNA BASE DESCRIZIONE PARAMETRICA

ESTRAGGO UNA BASE

OTTENGO UN SISTEMA DI VETTORI CHE GENERA LO SPAZIO S+T DEFINITI DA SISTEMA DI GENERATORI E EQ. CARTESIANA 3

CONSIDERO L'UNIONE DELLA BASE CON IL SISTEMA DI GENERATAORI CHE DEFINISCE S

RICAVO UNA BASE DEL SOTTOSPAZIO T ESTRAGGO UNA BASE

CHE E' UN SISTEMA DI GENERATORI PER S+T CONSIDERO L'INSIEME FORMATO DALL'UNIONE DELLE 2 BASI DEFINITI DA EQ. CARTESIANE 2 DESCRIZIONE CARTESIANA

EQ. PARAM. E CARTESIANE IN R^n

RICAVO UNA BASE DALLE EQ. CARTESIANE DEI SOTTOSPAZI 4.3 SPAZI VETTORIALI

SOMMA E INTERSEZIONE DI SPAZI VETTORIALI

N°ELEMENTI BASE ESTRATTA = DIMENSION ESPAZIO SOMMA ESTRAGGO UNA BASE 3 CASI DIM. E BASE DELLA SOMMA DI 2 SOTTOSPAZI

E' UN SISTEMA DI GENERATORI DEL SOTTOSPAZION SOMMA RELAZIONE

1

DEFINITI CON SISTEMI DI GENERATORI POSSONO NON CONTENERE IL VETTORE NULLO

DIFFERENZA DA SOTTOSPAZI VETTORIALI POSSONO NON INTERSECARSI ED ESSERE PARALLELI

SOTTOSPAZI AFFINI SONO TRASLATI DEI SOTTOSPAZI VETTORIALI

RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA DATA DALLA TRASLAZIONE DELLA SUA GIACITURA

DEF

SONO 2 SOTTOSPAZI DI QUELLO DI PARTENZA OPERAZIONI SVOLTE NELLO STESSO SPAZIO VETT. SOTTOSPAZIO SOMMA

GEN FORNISCE LA RELAZIONE TRA DIMENSIONE SOTTOSPAZIO INTESEZIONE

FORMULA DI GRASSMANN SE ALLORA E QUINDI

SE I SOTTOSPAZI SONO A INTESEZIONE BANALE S + T SOMMA DIRETTA

COORDINATE PER SPAZI DIPOLINOMI SINTETICAMENTE

DIMENSIONE DELLA SOMMA DIRETTA

4.4 SPAZI VETTORIALI DECOMPOSIZIONE UNICA PER SOMMA DIRETTA

TEOREMI

SOMMA DIRETTA SOMMA DIRETTA E BASI CONTROLLO SE SUSSISTONO LE CONDIZIONI

STABILIRE SE UNO SPAZIO VETT. E' SOMMA DIRETTA DI DUE SOTTOSPAZI OSSIA SE

A) LA SOMMA NON E' DIRETTA

STRATAGEMMI

CALCOLO SE

INDIVIDUARE UNA BASE DEL SOTTOSPAZIO S B) LA SOMMA NON E' DIRETTA

DEVO DETERMINARE T

ESISTENZA SUPPLEMEMTARE CONOSCO UN SOTTOSPASIO S DI V TALE CHE

STABILIRE UN SOTTOSPAZIO IN SOMMA DIRETTA CON UN ALTRO INDIVIDUARE T SUPPLEMENTARE

DEF

SOTTOSPAZI SUPPLEMENTARI

OTTENENDO LA MATRICE ASSOCIATA DEI VETTORI DI Vb CHE PUO ESSERE ESPRESSO COME COMB. LINERARE SVOLGO LE OPERAZIONI TRA I VETTORI

NELL'ULTIMO MEMBRO DELL'UGUAGLIANZA OTTENGO UN VETTORE DI W

VETTORI CHE DEFINISCONO L'APPLICAZIONE DI F CON

NOTI OSSERVANDO CHE

CALCOLO LE IMMAGINI DEI VETTORI Bv

SFRUTTO LA LINEARITA' DI F OMOMORFISMO

PER CALCOLARE LA MATRICE ASSOCIATA AD F

CHE DEFINISCONO F TRA SPAZI VETTORIALI DEFINITI SULLO STESSO CAMPO

COME COMBINAZIONE LINEARE DEI VETTORI PREIMMAGINE CALCOLO I COEFFICIENTI DELLE COMBINAZIONI LINEARI FUNZIONI CONDIZIONE DI LINEARITA'

SOMMA TRA VETTORI

CHE CONSERVA LE OPERAZIONI DI

CON CUI SCRIVO I VETTORI Bv PRODOTTO TRA VETTORI E SCALARE

ELENCO I VETTORI DI DOMINIO E CODOMINIO

COMBINAZIONI LINEARI DEI VETTORI DELLA BASE Bw PER ESPRIMERLI POI COME DEFINIZIONE E PROPRIETA'

LE IMMAGINI DEI VETTORI DELLA BASE Bv DETERMINO MEDIANTE F

DOMINIO Bv RISPETTO A

CODOMINIO Bw IMMAGINI DI VETTORI DEFINIZIONE

DATI

5 APPLICAZIONI LINEARI

CALCOLO APP LINEARI E MATRICI UNIVOCAMENTE

DETERMINATA

DAL VALORE SU

UNA BASE PER DETERMINARE L'APPLICAZIONE LINEARE SUFFICIENTE VEDERE COME AGISCE SULLA BASE DELLO SPAZIO VETTORIALE

RAPPRESENTA LA TRASFORMAZIONE LINEARE CUI E' RIFERITA

GEN LA MATRICE ASSOCIATA ALL'APP. LINEARE DI PARTENZA

APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI RISPETTO A DUE BASI FISSATE DEGLI SPAZI VETTORIALE D'ARRIVO

ES N° MATRICI ASSOCIATE = N° BASI DOMINIO E CODOMINIO TRASFORMAZIONE = INFINITE

SUI VETTORI ELEMENTI DOMINIO E CODOMINIO

DOVE AGISCONO APP. LINEARI MATRICI ASSOCIATE COORDINATE BASI SCELTE

N° RIGHE =DIM SPAZIO VETTORIALE D'ARRIVO

MATRICE ASSOCIATA N° COLONNE =DIM SPAZIO VETTORIALE DI PARTENZA

PER COLONNA I UNA MATRICE DISPORRE I COEFFICIENTI DELLE COMBINAZIONI LINEARI DI PARTENZA E DI ARRIVO

FORMA ESPLICITA

COME COM. LINEARE DEI VETTORI DELLA BASE DI ARRIVO ESPRIMO I VETTORI OTTENUTI PROCEDIMENTO PRIMA BASE SP. PARTENZA

BASI SPAZI VETTORIALI INDICATI COME APICE DELLA MATRICE

CON L'APPLICAZIONE CALCOLO LE IMMAGINI DEI VETTORI DI PARTENZA POI BASE SP. ARRIVO

NON INDICATE ASSUNTE LE BASI CANONICHE DI PARTENZE E ARRIVO

ENDOMORFISMO

MATRICE ASSOCIATA A UN APP. LINEARE SP. PARTENZA = SP. ARRIVO DI DOMINIO

MATRICE ASSOCIATA CALCOLATA RISPETTO A STESSA BASE B E CODOMONIO

ES E' MATRICE ASSOCIATA ALL'APPLICAZIONE LINEARE

OGNI MATRICE DI DOMINIO

RISPETTO ALLE BASI CANONICHE E CODOMINIO

IN BASE ALLA DEFINIZIONE DELLA SPECIFICA APPLICAZIONE LINEARE

TRAMITE IMMAGINI DI SPECIFICI VETTORI DEL DOMINIO

PUO' ESSERE DEFINITA FORMA ESPLICITA IMMAGINE DI UN GENERICO VETTORE DEL DOMINIO

A QUALSIASI MATRICE PUO' ESSERE ASSOCIATA UN APP. LINEARE

L'OMOMORFISMO SI COSTRUISCE PARTENDO DA UN VETTORE COLONNA

APP. LINEARI INIETTIVE E SURIETTIVE MEDIANTE L'APPLICAZIONE LINEARE La

COME IL VETTORE OTTENUTO DAL PRODOTTO RIGA PER COLONNA Ax

APP. LINEARI DEFINITE DA UNA MATRICE DEFINISCO L'IMMAGINE DEL VETTORE x

IMMAGINE DI UNA BASE DEL DOMINIO E' UN SISTEMA DI GENERATORI DELL'IMMAGINE 2 FORMATO DA VETTORI

SOTTOINDIEME DEL DOMINIOO CON IMMAGINE =0 NEL CODOMINIO

5.1 APPLICAZIONI LINEARI

TEOREMI

DIMENSIONE DELL'IMMAGINE DI UN APP. LINEARE NUCLEO DI UN'APPLICAZIONE LINEARE

1

IMMAGINE DI UN APP. LINEARE E' UN SOTTOSPAZIO DEL CODOMINIO NUCLEO E' SOTTOSPAZIO VETTORIALE DEL DOMINIO

IMMAGINE DI UN APP. LINEARE DIMENSIONE DEL NUCLEO O INDICE DI NULLITA'

DEF

DEF

MEDIANTE L'APPLICAZIONE LINEARE FORMATO DAI VETTORI DELLO SPAZIO DI ARRIVO 1

CHE SONO IMMAGINE DEI VETTORI DEL DOMINIO GEN

SOTTOINSIEME DEL CODOMINIO DELLA TRASFORMAZIONE TEOREMI CASO B F E' L'APPLICAZIONE IDENTICAMENTE NULLA SU V ASSOCIA A OGNI ELEMENTO DI V LO ZERO DI W

APPLICAZIONE LINEARE INIETTIVA SE HA NUCLEO BANALE

2

ES RANGO

RELAZIONE CON COMBINAZIONI LINEARI PRODOTTO DI MATRICI 5.2 APPLICAZIONI LINEARI

IN UNA BASE DI W T MANDA UNA BASE DI V TEOREMA DELLA DIMENSIONE C'E' BISOGNO DI DUE TRASFORMAZIONI LINEARI IL CODOMIONIO DELLA PRIMA DEVE COINCIDERE CON IL DOMINIO DELL'ALTRA

APP. LINEARI INVERTIBILI COMPOSIZIONE DI APP. LINEARI PROPRIETA'

SCRIVERE LA MATRICE DI

ES CAMBIAMENTO DI BASE PERMETTE DI PASSARE DA UNA BASE DI UNO SPAZIO VETT.

MATRICE QUADRATA INVERTIBILE A UN ALTRA BASE DELLO STESSO SPAZIO VETT.

GEN SPAZIO VETTORIALE V DIMENSIONE n

DATI DUE BASI DISTINTE DI V

5.3 APPLICAZIONI LINEARI MATRICE DI CAMBIAMENTO DI BASE

ES DEF

CAMBIO DI BASE NELLA RELAZIONE (*) AL POSTO DEI VETTORI V1,V2,...,Vn SOSTITUISCO LE COMB. LINEARI

MATRICI ASSOCIATE

AD UN'APP. LINEARE

RISPETTO A BASI B

DIVERSE FORNISCONO LE RELAZIONI CHE LEGANO LE COORDINATE DEL VETTORE w DI V RISPETTO A B'

MATRICE DI CAMBIAMENTO DI BASE

DEF

5.4 APPLICAZIONI LINEARI MATRICI SIMILI OSS

PROPRIETA'

RELAZIONE TRA NORMA E PROD. SCLA. NORMA ECULIDEA

INDOTTA DAL PROD.

SCAL. CANONICO E SUE

PROPRIETA' DEF

PROPROETA' ES

DEF PROD. SCAL. CANONICO IN R^n PROPRIETA'

6 PRODOTTI SCALARI

ES A DUE VETTORI

ASSOCIA UN NUMERO DETTO SCALARE

GEN OPERAZIONE BILINEARE ANGOLO

DEFINISCE UNA NOZIONE DI LUNGHEZZA

IN SPAZI VETT. PIU' GENERALI

SPAZI METRICI