Appunti di Geometria e Algebra lineare da 30L

R) R R

M

m

{v ∈ ·

allora Ker(L ) = : M v = 0}

R

M

Che equivale a risolvere un sistema lineare.

6.2 Teorema di Nullità + Rango

Il Teorema di nullità + rango ci permette di definire il dominio di un’applicazione lineare calcolando la

dimensione del kernel e dell’insieme immagine.

Teorema 6.2.1: Teorema di Nullità + Rango

lin

−−→

Sia f : V W ∈

siano dim(V ), dim(W ) N

allora: a

dim(V ) = dim(Ker(f )) + dim(Im(f )) (35)

a dominio

Proof: Per dimostrare il teorema faremo riferimento ad alcuni teoremi visti in precedenza. ≤

1. In quanto Ker(f ) è un s.s.v. di V (Definizione: 6.1.2) sappiamo che: dim(Ker(f )) = r

∈

dim(V ) = n N

2. Allora possiamo costruire una base del Kernel come: B = (v , v )

K 1 r

3. Ma per il teorema di completamento ad una base sappiamo che: B = (v , v , v , v )

V 1 r r+1 n

4. Ma dal Teorema 6.1.1 sappiamo che data una base dell’insieme di partenza applicando l’applicazione

lineare a tutti i vettori di quest’ultima otterremo una base dell’insieme immagine di f

6 dall’ipotesi che f è iniettiva 44

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5. Applichiamo l’applicazione lineare a B = (v , v , v , v ) =⇒ B = (0 , . . . , 0 , f (v ), . . . , f (v ))

V 1 r r+1 n I 1 r r+1 n

Si noti come i primi r vettori diventano zeri in quanto facevano parte del kernel di f

6. Dunque B = (f (v ), . . . , f (v )) è un sdg dell’insieme immagine.

r+1 n

I

Se riesco a dimostrare che questi sono linearmente indipendenti avrò che questi costituiranno una

−

base dell’insieme immagine. Con quindi dim(Im(f )) = n r

7. Voglio quindi dimostrare che:

∃a ) + . . . + a f (v ) = 0 =⇒ f (a v + a v ) = 0

, . . . , a : a f (v r+1 n n W 1 r+1 r n W

r+1 n r+1 ∈

8. Ma allora a v + a v Ker(f ) =⇒ a v + a v = a v + . . . a v

1 r+1 r n r+1 r+1 n n 1 1 r r

− −

9. Pertanto: a v + a v a v . . . a v = 0

r+1 r+1 n n 1 1 r r V

Ma questi per costruzione formano una base di V allora: a = a = a = a = 0

1 r r+1 n

10. Ho pertanto dimostrato che i vettori (f (v ), . . . , f (v )) sono linearmente indipendenti, dunque

r+1 n

− −

dim(Im(f )) = n r mentre dim(Ker(f )) = r =⇒ dim(Im(f )) + dim(Ker(f )) = n r + r =

n = dim(V )

6.2.1 Tre importanti corollari

Vediamo di seguito tre importanti corollario del teorema di nullità + rango.

Teorema 6.2.2: dim(V ) > dim(W )

Il primo corollario riguarda il caso in cui ̸ 0 (36)

dim(V ) > dim(W ) =⇒ Ker(f ) = W

Ovvero che l’applicazione non è iniettiva ≤

Proof: Possiamo dimostrare semplicemente il corollario notando come dim(Im(f )) dim(W )

− ≥ −

1. Possiamo dire: dim(Ker(f )) = dim(V ) dim(Im(f )) dim(V ) dim(W ) > 0

Teorema 6.2.3: dim(V ) < dim(W )

Il secondo corollario riguarda il caso opposto ovvero dove la dimensione del dominio è minore

della dimensione dell’insieme di arrivo.

dim(V ) < dim(W ) =⇒ l’applicazione non può essere suriettiva (37)

Proof: Effettuiamo la dimostriamo analogamanete a quanto fatto precedentemente.

− ≤

1. dim(Im(f )) = dim(V ) dim(Ker(f )) dim(V ) < dim(W )

̸

2. Dunque dim(Im(f )) = dim(Im(f )) =⇒ non è suriettiva

⇐⇒

Teorema 6.2.4: Suriettiva Iniettiva

lin

−−→ ∈

Pertanto diremo che sia f : V W tali che dim(V ) = dim(W ) = n N

allora: ⇐⇒

f è suriettiva è iniettiva 45

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Note:-

Si noti come questo è un caso particolare dove la dimensione di V e di W sono finite, questo non

vale per spazi infiniti. Si pensi applicazione lineare che deriva, in quel caso avremo che l’applicazione

è suriettiva ma non iniettiva.

Proof: La dimostrazione può essere effettuata dimostrando i due lati dell’implicazione contemporanea-

mente. ⇐⇒ ⇐⇒ −

1. f è iniettiva dim(Ker(f )) = 0 dim(Im(f )) = dim(V ) dim(Ker(f )) = dim(V ) =

⇐⇒

dim(W ) f è suriettiva

6.3 Endomorfismi e Isomorfismi

Definiremo di seguito due tipi di applicazioni lineari.

6.3.1 Endomorfismo

Definizione 6.3.1: Endomorfismo

lin

−−→

Sia f : V V si dice che f è un endomorfismo

Pertanto un endomorfismo è una applicazione lineare che va da un s.v. in se stesso.

6.3.2 Isomorfismo

Definizione 6.3.2: Isomorfismo

lin

−−→

Se f : V W è invertibile (iniett. + suriett.)

si dice che f è un isomorfismo e che V e W sono tra loro isomorfi

Per dimostrare che due s.v. so isormorfi tra di loro dovremo dimostrare che l’applicazione lineare è

biunivoca (iniettiva + suriettiva), ed è lineare.

n

6.3.2.1 Isomorfismi a R n

Teorema 6.3.1: Isomorfismi a R n

∈

Sia V uno s.v. di dimensione finita n allora V è isomorfo a

N, R

Proof: Per dimostrare il teorema dimostro che l’applicazione lineare che da uno spazio vettoriale va

n

nello spazio è biunivoca.

R

1. Sia B = (v , v . . . v ) una base di V definisco:

V 1 2 n

n

→

P : V R

→

v v Dire che P è la ”mappa delle coordinate”

B

2. Voglio di conseguenza dimostrare che P è lineare ed è biunivoca.

Si noti come in caso questa fosse lineare, potrei dire che in quanto i due s.v. hanno la stessa

7

dimensione se l’applicazione è suriettiva allora sarà iniettiva e viceversa.

′ ′

∈ ∈

3. Siano v, v V, a, a R ′

  



x x

1 1

..

.. ′

e siano v = v =

   

. .

B B

   

′

x x

n n

7 Teorema: 6.2.4 46

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′ ′

′ ′

4. Allora P (av + a v ) = (av + a v ) B ′

′ ′ 



 



 x

x

ax + a x 1

1 1

1 ..

..

. ′

′ ′

. = aP (v)

+ a

= a + a P (v )

= 



 



 .

.

. 



 



 ′

′ ′ x

x

ax + a x n

n n

n

che dimostra che la mappa nei reali di uno s.v. è lineare.

5. Adesso voglio dimostrare che l’applicazione lineare è biettiva, usando l’osservazione di sopra mi

basta dimostrare che è iniettiva o suriettiva.

{v ∈ {0 }

6. Noto come: Ker(P ) = V : v = 0} =

B V

Questo è vero per definizione di coordinate di uno spazio vettoriale (Definizione: 5.4.1)

6.3.3 Inversa di un’applicazione lineare

Teorema 6.3.2: Inversa di un’applicazione lineare

iso

−−→

Sia f : V W , allora

−1 →

f : W V è un isomorfismo. −1

Proof: Sappiamo gia che se f è invertibile allora esiste f e che quest’ultima è invertibile. (dalla

definizione di applicazione lineare isomorfa)

−1

Devo solo dimostrare che f è lineare.

′ ′

∈ ∈

w, w W, a, a

1. Siano R

′ ′ ′

∈

sappiamo che esistono v, v V : f (v) = w, f (v ) = w

′ ′

−1

−1 = v, f (w ) = v

2. Dunque f (w) ′ ′ ′

′ −1 ′ −1 ′

8

1 + a w ) = f (af (v) + a f (v ) = = f (f (av) + f (a v )

3. Allora f (aw ′ ′

−1 ′ −1 ′ −1

◦

4. Ricordandoci che f f = id =⇒ = av + a v = af (w) + a f (w )

Note:-

Si noti come abbiamo anche dimostrato che la composizione di isomorfismi è a sua volta un isomor-

fismo.

Si inoltre come: se U, V, W sono s.v. si ha:

1. U è isomorfo a U

identità su U è un isomorfismo

2. Se U è isomorfo a V allora V è isomorfo a U (dimostrato sopra)

3. Se U è isomorfo a V e V a W allora U è isomorfo a W

composizione di isomorfismi è evidentemente un isomorfismo, transitivamente.

6.4 Teorema di Rappresentazione

Questa sezione ha lo scopo di definire un teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari in base

alle basi del dominio e del codominio. Iniziermo con diverse osservazioni e proposizioni per poi sviluppare

infine il teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari.

v e f (v)

6.4.1 Legame tra B B

V W

Il quesito principale è quello di definire un legame tra le coordinate del vettore di partenze (rispetto alla

base dello s.v. di partenza) e quelle dell’applicazione lineare (rispetto alle coordiante dello s.v. di arrivo)

Siano V e W s.v. di dimensione finita, dim(V ) = n, dim(W ) = m

e siano:

{v }

B = , v . . . v una base di V

V 1 2 n

8 f è lineare per ipotesi 47

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{w }

B = , . . . , w una base di W e

W 1 m

lin

−−→

sia f : V W un’applicazione lineare, voglio essere in grado di capire qual’è il legame tra un generico

∈

v V e f (v)

Per descrivere tale legame inizio con decifrare l’insieme immagine cosi da avere una precisa descrizione e

9

, . . . , f (v ))) è un sdg di Im(f )

possibilmente generale degli elementi che lo compongono. Poichè (f (v 1 n

allora cercherò di descrivere f (v) rispetto a f (v ), . . . f (v ) nelle coordiante dello spazio vettoriale W

B 1 n

W

(di arrivo)

Supponiamo che: ) = a w + a w + . . . + a w

f (v 1 11 1 21 2 m1 m

f (v ) = a w + a w + . . . + a w

2 12 1 22 2 m2 m (38)

..

.

f (v ) = a w + a w + . . . + a w

n 1n 1 2n 2 mn m

Ovvero ho descritto gli elementi dell’insieme immagine come combinazioni lineari dei vettori di una

base di W ∈

v V sarà descritto come:

Sia ora un generico v = b v + . . . b v

1 1 n n

 

b

1

..

v v in V rispetto alla base B (una base possibile di

cioè = che rappresentano le coordinate di

 

.

B V

V  

b

n

V )

Provo adesso a calcolare f (v) : f (v) = f (b v + . . . + b v )

1 1 n n (39)

10

= f (v )b + . . . + f (v )b

1 1 n n

Adesso posso pensare di esplicitare la definizione nelle coordinate B delle singole applicazioni lineari.

W

·

(a w + a w + . . . + a w ) b +

11 1 21 2 m1 m 1

·

(a w + a w + . . . + a w ) b +

12 1 22 2 m2 m 2 (40)

..

.

·

(a w + a w + . . . + a w ) b +

1n 1 2n 2 mn m n

Se adesso metto in evidenza i vettori della base di B avrò le coordiante di f (v) rispetto a B

W W

che è quello che volevo ottenere, ovvero una corrispondenza lineare tra un generico vettore di V e la sua

applicazione lineare in W w per colonna, ottenendo:

Noto come posso mettere in evidenza un ·

(