Appunti completi del corso di Algebra lineare e geometria

MATRICI A COEFFICENTI IN R

DEFINIZIONE:

m, n ∈ N numeri interi positivi

Una matrice m × n a coefficienti in R è un insieme di m×n numeri reali disposti su m righe e n colonne e circondata da parentesi tonde. Tali numeri sono detti elementi, o componenti della matrice. L'insieme di tutte le matrici m × n a coefficienti in R si indica con R^m×n.

m = 2

=> 2 × 3   (  2   0   π )   => R^2×3

   5   1   3

n = 3

m = 3

=> (  3   -3  )   => R^3×2

   4   1

   0   2

CASI PARTICOLARI:

• matrice O_m,n = matrice nulla

esempio:   O_3,2   => (  0   0  )

   0   0

   0   0

● se m = n => matrice quadrata

es.

• \(\begin{pmatrix} -2 & 7 & \frac{\pi}{2} \\ \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3,3}\)

● se m = 1 => matrice riga

es.

• \((2\quad 7\quad .7) \in \mathbb{R}^{1,3}\)

● se n = 1 => matrice colonna

es.

• \(\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^{3,1}\)

● se m = n = 1 => insieme numeri reali => \(\mathbb{R}^{1,1} = \mathbb{R}\)

Dato una matrice:

• \(\begin{pmatrix} -2 & 7 & \frac{\pi}{2} \\ \sqrt{5} & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \end{pmatrix} = A = (a_{i,j})\)

se voglio prendere il numero \(\frac{\pi}{2}\) devo specificare la riga e la colonna

=> \(\frac{\pi}{2} = a_{1,3} , 0 = a_{2,2} , -2 = a_{3,2}\)

MATRICI DIAGONALI:

Sia A = (a_i,j)₁ ≤ i,j ≤ n e R^n,n una matrice quadrata. A si dice diagonale se tutte le entrate al di fuori della diagonale sono nulle.

CASI PARTICOLARI:

• La matrice nulla O_n,n è diagonale.
• La matrice diagonale non avente tutte le entrate diagonali uguali a 1 è detta matrice identità di ordine n e si indica con I_n. L'entrata in posizione (i,j) della matrice I_n coincide con δ_i,j, il cosiddetto Delta di Kronecker.

• δ_i,j = {1, i = j 0, i ≠ j}

MATRICI TRIANGOLARI:

• Una matrice quadrata A = (a_i,j)₁ ≤ i,j ≤ n si dice triangolare superiore se tutte le entrate al di sotto della diagonale sono nulle, cioè se a_i,j = 0 quando i > j.
• Si dice triangolare inferiore se sono nulle tutte le entrate al di sopra della diagonale, ossia se a_i,j = 0 se i < j.

Il prodotto R • C è una matrice di ℝ^1x1,

ossia un numero reale.

=> R • C = (r₁,c₁) + (r₁,c₂) • C₂ + ... + (r_x,c_t•c_t ) =

numero ∈ ℝ

Esempio:

A = (^{1 2 -1})

B = (^{3 2 -5})

A • B = 1 • 3 + 2 • 2 + (-1)(-5) = 3 + 4 + 5 = 12

Il prodotto tra matrici: viene chiamato anche "prodotto righe per colonne”.

Consideriamo:

A = (^{1 0 2})

R_1^A = (^{1 0 2})

=> R_2^A = (^{0 -1 0})

=> R_3^A = (^{3 1 1})

C_1^B = (^{1 0 3})

C_2^B = (^{2 0 4})

C_3^B = (^{2 0 1})

PRODOTTO TRA MATRICI:

A ∈ ℝ^n,m, B ∈ ℝ^n,m

=> R_i = i-esima riga di A

=> C_j = j-esima colonna di B

Se C fosse invertibile C·B = I₂, verifichiamolo:

Verificato! C non è invertibile in questo caso!

PROPRIETÀ MATRICI INVERTIBILI:

• A ∈ R^n,n s. t. ho che A·B = I_n ⇔ B·A = I_n
• Se B, C ∈ R^n,n ⇒ A·C = I_n, A·B = I_n
  • ⇒ C = B
• A ∈ R^n,n ⇒ (tA)^-1 = t(A^-1)
• A, B ∈ R^n,n ⇒ (A·B)^-1 = B^-1 · A^-1
• A·B = I_n ⇒ B = A^-1

Esercizio: Trovare A, B, C ∈ R^2,2

2.

- x₁ + 2x₂ + 4x₃ + x₄ = 3x₁ - √2x₂ + x₃ - x₄ = 7x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 0

A = ( 0 2 0 0 4-1 √2 1 -1 00 1 1 1 1) _3x5e B = ( 3 7 0 )_3x1

=> Posso unire le due matrici:

(A | B) = ( -1 2 0 0 4 | 31 -√2 1 -1 0 | 70 1 1 1 1 | 0) = R_3,6

esempio: A = ( 3 1 -11 1 -71 4 0), B = ( -5 5 4 )

=> { 3x₁ + x₂ - x₃ = 0x₁ + x₂ - 3x₃ = -5x₁ + x₂ = 1

--

X = ( x₁ x₂ x₃ )Vogliamo trovare AX

R₃ → R₃ + (-3)R₁

Oops avevamo sistemato la prima riga, non bisognava più usarla per fare operazioni tra righe

R₂ → R₂ + (-3)R₂

Vogliamo portarla ad essere una fortemente ridotta per righe

R₂ → 1/3 R₂

R₃ → 1/2 R₃

vanno bene tutti e due

R₁ → R₁ - R₃

R₁ → R₁ - 1/2 R₂

fortemente ridotta!

incognite Ax = B, con matrice completa associata (A|B). Allora:

• il sistema è compatibile <=> rk(A) = rk(A|B)
• se il sistema è compatibile, le sue soluzioni dipendono da n - rk(A) parametri liberi.
• Se il sistema è compatibile e X_o è una sua soluzione fissata, allora ogni altra sua soluzione X è della forma X = X_o + Y, dove Y appartiene al minimo insieme dell'eq. matriciale omogenea associata AX = 0_m,1

SIGNIFICATO DEL TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI:

(A|B) osservarioni di riga -> (A'|B')

Se rk(A) = numero di righe di A

• rk(A) = rk(A|B) = sistema compatibile

=> se si annulla un'equazione del sistema:

• * = 0 => l'equazione era inutile
• * ≠ 0 => il sistema è incompatibile

EQUAZIONI MATRICIALI

EQUAZIONI MATRICIALI E LORO SOLUZIONI:

Siano \( A \in K^{m \times n} \) e \( B \in K^{m \times p} \) :

Un'equazione matriciale lineare con matrice incompleta \( A \) e matrice dei termini noti \( B \) è un'equazione della forma:

\( AX = B \) ⇒ \( X \) matrice incognita \( n \times p \)

CALCOLO DELL'INVERSA DI UNA MATRICE

\( A \in K^{n \times n} \) è invertibile ⇔ \( \exists B \in K^{n \times n} , AB = I_n \)

L'equazione matriciale \( AX = I_n \) ha soluzione

Il rango della matrice completa \( A|B \) con \( B = I_m \) ha sempre rango = m

PROP Una matrice quadrata è invertibile se e solo se rk\( (A) = n \)

Questo ci fornisce un modo per trovare l'inverso:

Supponiamo che \( A \in K^{m \times m} \) sia invertibile