Appunti di fondamenti di meccanica teorica e applicata (FMTA)

Fondamenti di Meccanica

Teoria e Applicata

Cinematica del punto materiale (descrivere il movimento nello spazio)

• Un punto materiale è un ente geometrico privo di dimensioni, ingentilmente di dimensioni trascurabili rispetto alla situazione posta.
• Possiede:
  • 3 gradi di libertà nel piano
  • 6 gradi di libertà nello spazio
• Dato un sistema di riferimento, la posizione di un punto viene descritta dal vettore posizione:

(P - O)(t) = (x(t) + y(t))

Coordinate cartesiane (coordinate complesse)

(P - O) = ρe^iθ

NB: Con la notazione complessa, si fa coincidere l'asse reale con l'asse x e l'asse immaginario con l'asse y. In questo modo il vettore è descrivibile come un numero complesso.

Def. legge oraria: successione delle posizioni occupate dalla punto P nel tempo

(P - O)(t) = (x_ρ(t), y_ρ(t))

Def. traiettoria: curva percorsa dal punto P nel piano/spazio durante il suo moto

Def. velocità:

V_p = d(P - O)/dt

Coordinate cartesiane:

v_p² = x + y

N_p = d/dt(e^iθ)

= e^iθ(iθ') = iθ⁰e^iθ

Proprietà 1: velocità di un punto è sempre tangente alla traiettoria (V^p\)

Proprietà 2: modulo della velocità = la derivata della ascissa curvilinea (|v_p| = s')

moto rettilineo

(P - O) = x i₀

v_P = ẋ i₀

(P - O) = e^iθ

v_P = e^iθ

θ = costante

coordinata cartesiana

• traiettoria: y = 0
• ascissa curvilinea: s = x = e
• proprietà 1: 1/p v/t = ẋ = e^iθ
• proprietà 2: 1/p = 1/s ⇔ |v̂_τ| = ẋ
• s = x = e

moto circolare

(P - O) = xρ i + yρ j

P - O = R e^iθ con R = costante

v_P = R θ̇ e^{(iθ + π/2)}

• traiettoria: x² + y² = R²
• ascissa curvilinea: s = R θ
• proprietà 1: 1/p v/t = θ̇ e^{(iθ + π/2)} ⊥ R e^iθ
• proprietà 2: 1/p = 1/s ⇔ |v̂_τ| = R θ̇
• s = R θ

Accellerazione

a_P = d v_P / dt (dato v_P = V e^iθ)

a_P = ẍ i + ÿ j (coordinate cartesiane)

- a_P = d / dt (v_P) = (∂v_ρ / ∂r) v + (∂v_θ / ∂x) (v̂ α̂)

= v e^iθ + v̂ â e^{(iθ + π)}

• a_τ
• a_n

a_τ: accellerazione tangenziale

è legata alla variazione di modulo della velocità

a_n: accellerazione normale

è legata alla variazione di direzione della velocità

prop a_n = v² / ρ dove ρ raggio del cerchio osculatore

dim Voglio dimostrare a_n = v² / ρ ⇒ v² = ρ a_n ⇒ ρ = v² / a_n

⇒ per Δt → 0, r_BA → Δs

⇒ lim r_BC / Δt = lim Δs / Δt = ṡ

NB: cerchio osculatore:

• passa per il punto
• tangente alla curva
• una stress derivata prima
• stessa curvatura
• una stress derivata seconda

c.v.d

NB:

• Se piano di moto e traslatorio :
• Se piano di moto rotolatore:

Trauolo delle velocitàTeorema delle accelerazioni

Siano date la posizione e l'accelerazione di un punto A e centro appartenete ad un corpo rigido [λA, αA; iλ] e la velocità [ωA e Ω] è possibile trovare l'accelerazione di un generico punto B [Ω+ punto(i, tutti)] con la seguente relazione :

a_B = a_A + ω^2Λ

Dimostrazione

Da il teorema diriversi per le velocità, si applica la derivata ad entrambi i membri :

dv_A/dt = dv_A/dt + d/dt [ω (B-A)]a_A = a_A+dω(B-A)]/dt + [d(B-A)/dt]

=> S. [d(B-A)]/k => c.v.d.

*Esiste sempre quindi un centro di istantanea accelerazione (poco rilevante)

Es. puro rotolamento

Dati: Θ, R calcolare ⩓ HP (puro rotolamento) =>V_B o=> B=B

Rivols in AV_A => Rivols in C V_C = V_B + ω Λ(C-B)=Θ

*HP (puro rotolamento) => a_C=>Θ(posilie traiera dellinca)

Rivols in Aa_A =Rivols in Ba_C =

Condizione necessaria e sufficiente perchè un corpo rigido sia in equilibrio è che:

• F= 0
• M_O = 0

(esempio lungo x h )

kopruri di forza (modulo uguale, direzione parallela, verso opposto)

N₁ : nel caso piano il momento può anche essere scritto come M_O = b F dove b è il braccio della forza e il segno è positivo se suggerisce una rotazione autoraria (pollice uoma destra)

I tipi di forze agenti su un sistema di corpi rigidi:

• attive vero carico (es. forza elastica, disegno)
• passive autonomo (es. forza peso disegno)

reazioni (tipo vincoli relattivi)

• vincolati esterne (es. vincoli e terra)

N₂: principio di azione e reazione

Condizione di equilibrio per un sistema di corpi rigidi:

• n_e = numero equazioni di equilibrio
• n_c = numero corpi rigidi

NB: le equazioni di equilibrio globale in tutto il sistema se incrementate o parziali dello altro quindi possono essere utilizzate in alternative a 3 equazioni.

Spesa in base dell'incognita che ci ha può aiutare prendere di riferimento alcune o tutte le equazioni di equilibrio. Globali per diminuire il numero di incognite ed equazioni.

Principio dei lavori virtuali (PLV) per la dinamica

Anche equivalente al caso statico vale il principio dei lavori virtuali che andrà integrato con l'equazione di direzione:

Σ_i=1ⁿ δL_i = δT_in

dove δT_in = F_in · δs_j + C_in · δθ

L'equazione dei lavori virtuali corrisponde a n equazioni indipendenti per il sistema:

• Q_i: componente lungo q_i di tutte le forze attive e reattive relative al gdl i-esimo
• Fin_i-q: componente lungo q_i della F_in e C_in relative al gdl i-esimo

Nota: Sotto l'ipotesi di vincoli fissi e lisci, il PLV restituisce n equazioni pure di moto, ovvero equazioni in cui non compaiono tra le incognite le reazioni vincolari.

Dimostrazione

Σ_u=1ⁿ F_i · δx_Fj + Σ_v=1ⁿ C_m · δθ = Σ_i=1ⁿ Q_i · δq_i = 0

L del PLV della statica = Σ_i=1ⁿ Q_i · δq_i

• ΣδL_in = F_in · δx + F_in · δy + C_in · δθ
• δx_i = Σ_i=1ᵐ ∂x_i/∂q_i · δq_i; δy_i = Σ_i=1ⁿ ∂y_i/∂q_i · δq_i; δθ = Σ_i=1ⁿ ∂θ/∂q_i · δq_i

⇒ Σ(∂Z) = Σ_r=1ⁿ (F_inx · ∂x_C/∂q_i + F_iny · ∂y_i/∂q_i + C_m · ∂θ/∂q_i) · δq_i

(componente longitudinale i-esima rispetto al gdl i-esimo)

Bilancio di potenze

• La potenza di una forza è definita come P = F · V

dove V è la velocità del punto di applicazione delle forze.