Appunti di fondamenti di meccanica teorica e applicata (FMTA)

Fondamenti di tecnicateorica e applicata

Cinematica del punto materiale

Descrivere il movimento nello spazio. Un punto materiale è un ente geometrico privo di dimensioni, rappresentativamente di dimensioni trascurabili rispetto all’ambiente. Possiede:

• 3 gradi di libertà nel piano
• 3 gradi di libertà nello spazio

Dato un sistema di riferimento, la posizione di un punto viene descritta dal vettore posizione:

• Coordinate cartesiane
• Coordinate polari (notazione complessa)

Nota bene: con la notazione complessa si fa coincidere l'asse reale con l'asse x e l'asse immaginario con l'asse y. In questo modo il vettore è descrivibile come un numero complesso.

Definizioni

Legge oraria: successione delle posizioni occupate dal punto P nel tempo

P-O(t) = (x_p(t), y_p(t))

Traiettoria: curva percorsa dal punto P nel piano/spazio durante il suo moto γ(y(x)) (s; elimina il parametro t)

S asse curvilineo: spazio percorso da P lungo la traiettoria (s)

Velocità: V_p = d(P-O)/dt (coordinate cartesiane)

Proprietà: la velocità di un punto è sempre tangente alla traiettoria (V_p)/t_c

Proprietà: l’ascissa della velocità è la derivata dell’ascissa curvilinea (V_t)

Fondamenti di meccanicateorica e applicata

Cinematica del punto materiale

Descrivere il movimento nello spazio. Un punto materiale è un ente geometrico privo di dimensioni (rappresentazioni di dimensioni trascurabili rispetto all'ambiente). Possiede:

• 3 gradi di libertà nel piano
• 6 gradi di libertà nello spazio

Dato un sistema di riferimento, la posizione di un punto viene descritta dal vettore posizione:

• Coordinate cartesiane: (P-O) = x(t) + y(t)
• Coordinate polari (notazione complessa): (P-O) = ρe^iθ

Nota bene: con la notazione complessa si fa coincidere l'asse reale con l'asse x e l'asse immaginario con l'asse y. In questo modo il vettore è descrivibile come un numero complesso.

Definizioni

Luogo ordinato successivo delle posizioni: occupate dal punto P nel tempo

(P-O)(t) = {x_p(t), y_p(t)}

Traiettoria: curva percorsa dal punto P nel piano/spazio durante il suo moto = y(x) (si è eliminato il parametro t)

Ascissa curvilinea: spazio percorso da P lungo la traiettoria (s)

Velocità: V_p = d(P-O) / dt (coordinate cartesiane)

N_p = d/dt(e^iθ) = (coordinate polari)

Proprietà 1: velocità in un punto è sempre tangente alla traiettoria (v_p ‖ τ )

DIM V_p = ẋ_i + ẏ_j ⇒ tanα = ẏ/ẋ ⇒ (dy/dx) = ẏ/ẋ ⇒ sempre tangente alla traiettoria c.v.d.

Proprietà 2: l'intensità della velocità è la derivata dell'ascissa curvilinea (|v_p| = ṡ)

DIM V_p = lim (P_est - O) / (P_e0 - O) = lim Δs/Δt = ṡt = t₀ Δt→0 Δs →0

Moti particolari

Moto rettilineo

p(t)₀ = x iv_P = v̇ ip(t)₀ = e^iθv_P = ρ e^iθΘ = costante

Traiettoria: y = 0

Ascissa curvilinea: s = x = ρ e^iθ

Proprietà 1: v_P/|t| → e^iθ = e^iθ

Proprietà 2: |v_P| = v̇ =

Moto circolare

p(t) = x i̇ + φ i̇p - p₀ = R e^iθ con R = costante

v_P = R e^{i(θ + π/2)}

Traiettoria: x² + y² = R²

Ascissa curvilinea: s = Rθ

Proprietà 1: v_P/|t| → R e^{i(θ + π/2)} ⊥ R e^iθ

Proprietà 2: |v_P| = s = Rθ

Accelerazione

a_P = v̇ i̇ + φ̈ i̇ (coordinate cartesiane)

-q = d/dt (v_P) = (∂v/∂v, ∂v_e/∂x) (v̇ α) = N e^iθ + V n e^(x/π)T a_Tg a_N

a_n = v²/r = v² = v²/r = α̇ = γ/rv_P = v e^iαd1/r = v²/r

Accelerazione tangenziale: è legata alla variazione di modulo della velocità

Accelerazione normale: è legata alla variazione di direzione della velocità

Prop a_n = v²/r dove r = raggio del circlo osculatore

Nota bene: cerchio osculatore: passa per il punto tangente all