Fondamenti di meccanica teorica e applicata - appunti

1. INTRODUZIONE

• Introduzione al corso e richiami di calcolo vettoriale
• Richiami di cinematica
• Cinematica relativa: i 2 teoremi di Rivals
• Coppie vincolari e gradi di libertà: Grübler

1. GEOMETRIA DELLE MASSE

• Centro di massa (sistema discreto e continuo)
• Proprietà del baricentro
• Poligoni Funicolare
• Momenti di Inerzia del I ordine (statica)
• Momenti di Inerzia del II ordine (assoluti) (corpo 3D/2D)
• Momenti di Inerzia Misti
• Momenti di Inerzia Polare
• Teorema degli assi paralleli
• Teorema degli assi concorrenti
• Tensore di Inerzia
• Ellissoide di Inerzia
• Massa di Sostituzione

2. CINEMATICA DEI MECCANISMI PIANI

• Catene cinematiche
• Il centro di istantanea rotazione
• Il teorema di Chasles e i teoremi di Aronhold-Kennedy
• Le curve polari
• La formula di Eulero-Savory per profili coniugati
• I cerchi di Burster
• Circonferenze di Feuer
• Circonferenze di stazionarietà

• Analisi cinematica grafica
• Quadrilatero articolato
• Manovellismo di spinta
• Glifo rotante
• Glifo oscillante
• Altri meccanismi
• Cerchi di Bresse applicati al manovellismo
• Cerchi di Bresse applicati al quadrilatero
• Equazioni di chiusura quadrilatero
• Equazioni di chiusura manovellismo

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DINAMICA DEI MECCANISMI PIANI

• Richiami di dinamica newtoniana;
• Analisi statica - leggi grafiche (Quadrilatero + manovellismo)
• Equazioni cardinali
• Principio dei lavori virtuali statico
• Sliding vectors - Reduction of Forces
• Metodi delle Potenze
• Equazioni di lamoria
• RLF - caso dinamico
• Cenni di meccanica delle vibrazioni

Cinematica Relativa: I 2 Teoremi di Rivais

Sono due teoremi che consentono di ricavare le leggi della cinematica che si mantengono al punto di vista di un sistema di riferimento non fisso.

Il primo teorema di Rivais (teorema di traslazione) si usa per moti (solido rigido)in moto con velocità di traslazione rispetto a un altro sistema mobile avente moto di traslazione interna.

Entrambi i teoremi di Rivais partono da un'equazione di chiusura

di un punto A rispetto a un altro sistema

Se sono Orr OB vettori posizione di A e B rispettivamente all'inizio e alla fine della sua traiettoria (considerando

Sia

un vettore spostamento che in coordinate polari, e

Equazione di chiusura per teoremi di Rivais (somma grafica di vettori)

ossia: una semplice equazione sul moto (spazio)

Deriva questa uguaglianza rispetto al tempo.

(è costante) (non dovrebbe )

da notare: è infatti un arco di circonferenza di raggio infinito.

E questo era il primo teorema di Rivais

Osservazione: se ottenuta .

con velocità di riferimento

di un riflesso di un solido rigido, posto da come punto di riferimento

Esempio 1: Determinare le coordinate del baricentro di un rettangolo con le

proprietà

con le formule analitiche

Sfruttando i due assi di simmetria, G è

C = (b/2 ; h/2) (coordinata G nulla perché il corpo è piano)

Con i integrali: bisogna fare l'integrali di pi (p) esteso all'area (A) dove la

densità p della massa è uniform. Si elabora in ogni piano la

p

formato da minim momento statico, esempio

del calcolo delle coordinate per trovare altre proprietà del corpo, sono r =

pari

Rilevo:

G = ∑ x dm / ∑ A; p/A x dm / A

= ∫/XY / A

dove St = mx

m = (o

Ricorda: il momento statico Si torna contro dell' coordinata ortogonale

Per esempio Y_G = ∑ sx_daA = ρy dxdy

Esendo il corpo piano Sz = 0

Per tanto OG = b/2 + H/2 j; (Verificato con formula integrali)

Esempio 2: (circhio disco) - sfruttando il coordinate polari con il baricentro ù p

baricentro in caso di movimento simila col centro del cerchio

Xg = A (dm xy

x_G = A ∫ x dxdy = ρ

x_G = 2/3 . (rxm)<<x_G>>

Per esempio Y_G -=> 0

Ripeto πR³ = 3; Ø(∫/0)

(u stress altro momenti confusioni

Sistema discreto

1. I_xy = Σ_i m_i x_i y_i = I_yx
2. I_yz = Σ_i m_i y_i z_i = I_zy
3. I_zx = Σ_i m_i z_i x_i = I_xz

Sistema continuo

1. I_xy = Σ m_x y dm = I_yx
2. I_yz = Σ m_y z dm = I_zy
3. I_zx = Σ m_z dm = I_xz

Nota: l'integrale è esteso alla massa per essa considerata. Del momento. Scrive del volume

Sistema piano

Sistema 3D

I_zz = I_xx + I_yy = ( ²⁵/₂₁ + ⁸⁴/₈₄ ) Mo² dunque il tensore è

[ ^θ/₁ ] = M₂^•

[2521 0 00 911840 0 198194]

Esercizio: Tensore di Inerzia

Data la seguente lamina piana (μ uniformi) determinare:

1. Coordinate del baricentro (x̅G, y̅G)
2. Tensore centrato di inerzia

2) x̅_G = 7 cm sulla simmetria della sezione y̅_G = Σ xi / A_tot = (14∙0,5 + 6∙6,5 + 3,5) / (14 + 6 + 10) cm² = 2,1 cm

b) Momenti misti assenti in questo tensore centrato di inerzia

I_zz = I_xx + I_yy

I_xx (baricentri) I_xx1 = μ bh³ / 12 = μ 1,16 cm⁴ I_xx2 = μ bh³ / 12 = μ 0,15 cm⁴ I_xx3ca = bh³ / 12 = μ 101,62 cm⁴

Sommandoli tutti: I_xxΣ = μ 183,31 cm⁴

I_yy (baricentri) I_yy1 = μ h b³ / 12 = μ 228,67 cm⁴ I_yy2 = μ h b³ / 12 = μ 18 cm⁴ I_yy3ca = μ b h³ / 12 = μ 101,2 cm⁴ (x̅ 1)

Sommandoli tutti: I_yyΣ = μ 310,01 (cm⁴)

Termini di Trasporto k_zx1 = μ bh (2,1 cm)² = 4,63,76 cm² k_zy2 = μ bh (3,8 cm)² = μ 8,06 cm² k_zy = μ bh (0,15 cm)² = μ 3,12 cm²

I_zz = 6,3,32 cm⁴

Esercizio: Dato lo schema L rappresentato in figura, determinare la posizione del baricentro e calcolare due momenti I_x0 e I_y0 (l'ausonio non in scala)

Il pezzo 1 e il pezzo 3 sono uguali (anche se dal disegno non sembra)

• I_x0 = b h³/12 = 40 mm³
• I_y0 = h b³/12 = 30 mm³