Appunti Fondamenti di meccanica teorica e applicata

Formule Cinematica

_{velocità al punto}: vp = dp/dt

• sotto forma di vettore

vp = x'i + y'j + z'k

modulo vp = √(x'^2 + y'^2 + z'^2)

Accelerazione del punto

ap = dv/dt = d²p/dt²

= [ x''y''z'' ]

(sotto forma di vettore)

modulo ap = √(x''² + y''² + z''²) = (x'i + y'j + z'k )

Integrare: vp = ∫₀ᵗ ap dt + v₀

p = ∫₀ᵗ vp dt + p₀

Curvlinea: la traiettoria è p = [ x(s(s(t))

• y(s(s(t))
• z(s(s(t))

La velocità è vp = dp/dt = [ x'₁

y'₁ ] s'

Moto Rettilineo

(lungo una traiettoria rettilinea)

moto rettilineo uniforme

a = x'' = 0

V = x' = cost

X = x₀ + ∫₀ᵗ v dt = x₀ + vt

= [ x = x₀ + V_{4 ]}

moto uniformemente accelerato

a = x'' = cost

V = x₀ + ∫₀ᵗ a dt

= [ V = v₀ + at ]

x = x₀ + ∫₀ᵗ v dt = x₀ + V₀t + (1/2) at²

Moto Parabolico

ap = [0] vp = [v₀cosα] [v₀senα - gt]

P = [x₀ + v₀cosαt] [y₀ + v₀senαt - (1/2) gt²]

G = (x - x₀) = v₀cosαt (la rincorsa portando G = 0 nella distanza y)

Moto Circolare

^n = versore normale ^t = versore tangente ω = velocità angolare

vp = (dρ/ds) (ds/dt) = (dρ/dθ) (dθ/dt) = r [ -senθ cosθ ] [ θ_.]

ap = dv/ds = d²ρ/ds² ds/dt = d²ρ/dθ² dθ^. = r [ -sinθ cosθ ] [ cosθ sinθ ] ω²

dividendo il sogg prodotto: a_P = d²ρ/dθ² + dp/dθ θ_.² = (wrt) wr w

accelerazione tangenziale sempre tangente alla traiettoria

accelerazione centrifuga (sempre +0)

(se rotaia/corda uniforme w costante e θ_..=0)

Grado di libertà: rappresenta il moto elementare che un corpo è in grado di compiere relativamente a vincoli imposti

quando n.u., assi sono disassando e p.u., si creano dei legami tra i membri che formano i vincoli:

• nello spazio e vuoto ha 6 g.d.l
• nei piani ha 3 g.d.l
• vincolo: dipersivo in 9 che limita la posizione o velocità dei punti del sistema meccanico

Possono essere:

• bilaterali (le restrizioni legano lo spazio e g.d.l.)
• unilaterali (le restrizioni legano nuovo se impartito una direzione)
• (contatto di superfici)

Coppie cinematiche inferiori (g.d.l.)

1. Coppia rotolante _(r): concede solo rotazione intorno all'asse della coppia ^g.d.l.=1esempio - cono sopra cono (cono - fluido - giunto)fermo - fluido - giroscopi <
2. Prismatica _(p): lascia la traslazione ^g.d.l.=1
3. Elicoidale _(s): lascia traslazione e rotazione nello stesso tempo piuttosto delle pendenze ^g.d.l.=1ex: molonete
4. Cilindrica _(c): lascia traslazione e rotazione nello stesso tempo e no oscillazione ^g.d.l.=2 indipendentiex: panzo in torso cilindrico
5. Sferica _(g): lascia la rotazione in tutte e tre le direzioniex: snodo sferico, affaccendari occhio e spalla ^g.d.l.=3
6. Piana _(f): lascia 2 traslazioni e una rotazioneex: libro su un tavolo ^g.d.l.=3

Superiore (piuttosto)

• Camma piana ^g.d.l.=1 sia rotazione sia traslazione
• Accomato tra profili senza slittamento: ^g.d.l.=1 solo la rotazione senza rotazione
• Universale: ^g.d.l.=2 2 rotazioni e 2 assi ortogonali

ex: polso

GRADI DI LIBERTÀ e VINCOLI

Un sistema meccanico è costituito da un insieme di corpi rigidi,

che possono essere opportunamente accoppiati per garantire il corretto

funzionamento del sistema.

I GDL sono i moti elementari che il corpo può compiere in relazione

al vincolo imposto.

Il vincolo è un limite imposto al corpo che impedisce

il moto solo su certi più di direzioni.

NELLO SPAZIO ABBIAMO 6 GDL:

1. 3 dati dalla terna cartesiana x (3 traslazioni)
2. 1 mantenere la posizione
3. 3 dati dagli angoli x l'orientamento (3 rotazioni)

Nel piano abbiamo 3 GDL:

1. 2, dati dalla terna cartesiana (x e y) (2 traslazioni)
2. 1, dato dalla rotazione intorno l'angolo (1 rotazione)

Il vincolo è un dispositivo che limita le posizioni e le velocità dei

punti del sistema meccanico, quindi alcune lambrutta di GDL.

Sono basati sull'accoppiamento tra elementi geometrici (punti, linee e superficie).

I vincoli possono essere:

• MONOLATERALI (vincoli imposti in una direzione)
• BILATERALI
• IN - INTERNO
• ESTERNO

Coppia cinematica = insieme di elementi contigui collegati, che hanno almeno

1 GDL tramite vincoli in moto relativo.

Es: articolazioni sono i giunti di collegano gli arti

imponendo dei vincoli.

6 COPPIE CINEMATICHE INTERIORS: contatto superficiale

• ROTONDA
• PRISMATICA = lascia 1 solo GDL
• ELOCICIDA — lascia 2 GDL = contrariamente alla elocicidade già rotazione e
• CILINDRICA
• SPERICA 1 lascia 3 GDL
• PIANA

Quelle con 1 GDL sono definite ELEMENTARI

Teorema di Chasles

Il teorema di Chasles serve x andare ad individuare il

centro d'istantanea rotazione note almeno due velocità appartenenti al corpo

Qualunque sia il punto P₁ solidale al corpo, il centro

d'istantanea rotazione è la retta sua normale alla traiettoria nella posizione

occupata da P nel sistema considerato.

• C = centro d’istantanea rotazione
• P_F = parte fissa
• P_M = parte mobile
• Traiettoria = linee delle velocità
• Almeno 2 punti del corpo

Loco Fisso ⇒ Luogo dei punti

d’istantanea rotazione

di un membro cinematico

rispetto al sistema fisso

ROTAZIONI DI COORDINATE

• Verso 3 cosi profili:
  • Verso Y fisso
  • Verso Y', che si muovono con l'antecedente
• Tenere costante (non devono essere orientati)
  • Y fisso
  • Y', che si muove con l'antecedente

AP = R_Bt + PO→0

ROTAZIONI ELEMENTARI

AP = B_PR_P

R_Z({})

• PROIEZIONE DI COORDINATE

t = O arbitrario x_A

• se O ≠ B

t = x_B

AP = B_PR_P

È usata anche la variante 2942 (utilizzando due poli) RRR fai più di

ANGOLI DI STERZANO

altrimenti segnalato in quanto automaticistico

oggetti f non utilizzati rotazione 24X intorno ai ASSI FISSI

Rotazione intorno agli Assi (da DX a SX)

BR 24X (Γβ Βγ) = Rx (ω) R4 (β) Rc (δ)

Possiamo ottenere la matrice di inerzia anche in altro modo:

Ho un corpo rigido rigido già

Din definuto un sistema

di riferimento O_xiy_iz_i:

Matrice di inerzia:

I_S^˜ = [x_i y_i z_i] x²

Vettore che identifica direzione

degli assi

iI = - ∫_mS_i^NS_iⁱ dm

I^o = ∫_mS_oS_A^o dm = ∫_m[^iRS_A^oi^iRS_A^oR^o dm]

= ∫_m^iRS_A^oS_iⁱRⁱ dm = -^iR (∫_mS_A^ou si_i médie ^iR)

I^o = ^ºRI^riºR^T

I_o = (Iu)_u

dove u = αi+βj+ĝ

I_r = ∫_v p I (P_o) (x α) 1² dv

sostituisco

I_r=∫∫_uvw p ^[x/y