Appunti Fondamenti di algebra lineare e geometria

Università degli Studi di Padova – Scuola di Ingegneria

Lauree triennali in: Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto,

Meccatronica – proff. V. Casarino, G. Longobardi, C. Zanella

Tutorato FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE

E GEOMETRIA

4 settembre 2023

Prova in modalità telematica – 18 gennaio 2021- Tema 5

Esercizio 1

Discutere il seguente sistema lineare dipendente dal parametro reale

m e trovarne le soluzioni nei casi in cui esse sono infinite (se tali casi si

presentano):  x + 2y + 3z = m

 x + y + (m + 1)z = 2

2x + y + mz = 6.



Soluzione. Trasformiamo la matrice completa del sistema lineare:

   

1 2 3 m 1 2 3 m

H (−1)

21 −1 − −m

−→

1 1 m + 1 2 0 m 2 + 2

   

H (−2)

31 −3 − −2m

2 1 m 6 0 m 6 + 6

 

1 2 3 m

H (−3)

32 −1 − −m

−→ 0 m 2 + 2 .

 

−2m

0 0 m

 

1 2 3 m

−1 − −m

0 m 2 + 2

 

−2m

0 0 m

Il termine in posizione 33 si annulla per m = 0. Sostituendo m = 0 si

1

∞

annulla la terza riga, quindi in tal caso il sistema ha soluzioni.

̸

Invece per m = 0 la matrice ottenuta è a scala di rango tre senza pivot

in ultima colonna, quindi il sistema ha soluzione unica.

Risolviamo dunque il sistema lineare per m = 0 sostituendo tale valore

nell’ultima matrice ottenuta, da cui

 

1 2 3 0

−1 −2

0 2 ,

 

0 0 0 0

e passando al sistema associato:

x + 2y + 3z = 0

−y − 2z = 2

da cui, con semplici calcoli,

−2 − −2y −

y = 2z, x = 3z = 4 + z.

L’insieme delle soluzioni è la varietà lineare

{(4 −2 − ∈ {(4, −2, −2z, ∈

+ z, 2z, z) : z = 0) + (z, z) : z

R} R}

−2, ⟨(1, −2,

= (4, 0) + 1)⟩.

Osservazione. Durante il tutorato è stato chiesto come si può scrivere

una varietà lineare di dimensione 2. Rispondiamo attraverso un esempio.

−2+3y −2z,

Supponiamo di dover riscrivere l’insieme di punti (4+z, z +5y),

al variare di z e y in Si può procedere cosı̀:

R.

{(4 −2 − ∈ {(4, −2, −2z, ∈

+ z, + 3y 2z, z + 5y) : z = 0) + (0, 3y, 5y) + (z, z) : z, w

R} R}

{(4, −2, −2, ∈

= 0) + y(0, 3, 5) + z(1, 1) : z, w R}

−2, ⟨(1, −2,

= (4, 0) + 1), (0, 3, 5)⟩.

Esercizio 2. (Tutorato 11)

Si consideri la matrice  

16 0 4

0 2 0

A = .

 

4 0 1

1. Stabilire se A la matrice è ortogonalmente diagonalizzabile.

2. Determinare una base ortogonale di autovettori di A.

Svolgimento.

1. Una matrice quadrata a coefficienti reali è ortogonalmente diagona-

lizzabile se e solo se essa è simmetrica. A è simmetrica, pertanto

ortogonalmente diagonalizzabile.

2. Sviluppando rispetto alla seconda riga si ottiene

 

−

16 λ 0 4

−

− 0 2 λ 0

p (λ) = det(A λI) =

A  

−

4 0 1 λ

− − − −

= (2 λ)[(16 λ)(1 λ) 16] =

2

− −

= (2 λ)[λ 17λ]

− −

= λ(2 λ)(λ 17).

Esistono quindi tre autovalori distinti, 0, 2, 17.

Calcoliamo l’autospazio associato a λ = 0. Si ha

3

{X ∈ }

E (0) = = (x, y, z) : AX = 0

R 3×1

A  

16 0 4

3 }.

{X ∈ 0 2 0 X = 0

= = (x, y, z) :

R 3×1

 

4 0 1

 

16 0 4

0 2 0

Riscriviamo X = 0 nella forma

3×1

 

4 0 1  16x + 4z = 0

 2y = 0

4x + z = 0.



Risulta quindi {X −4x) ∈ ⟨(1, −4)⟩.

E (0) = = (x, 0, : x = 0,

R}

A

Calcoliamo poi l’autospazio associato a λ = 2. Si ha

3

{X ∈ − }

E (2) = = (x, y, z) : (A 2I )X = 0

R 3 3×1

A  

14 0 4

3

{X ∈ }.

0 0 0

= = (x, y, z) : X = 0

R 3×1

 

−1

4 0

 

14 0 4

0 0 0

Riscriviamo X = 0 nella forma

3×1

 

−1

4 0  14x + 4z = 0

 0 = 0

−

4x z = 0,



o equivalentemente nella forma

x = 0

z = 0.

Risulta quindi {X ∈ ⟨(0,

E (2) = = (0, y, 0) : y = 1, 0)⟩.

R}

A

Calcoliamo infine l’autospazio associato a λ = 17. Si ha

3

{X ∈ − }

E (17) = = (x, y, z) : (A 17I )X = 0

R 3 3×1

A  

−1 0 4

3 −15

{X ∈ }.

0 0

= = (x, y, z) : X = 0

R 3×1

 

−16

4 0

 

−1 0 4

−15

0 0

Riscriviamo X = 0 nella forma

3×1

 

−16

4 0  −x + 4z = 0

 −15y = 0

−

4x 16z = 0,



o equivalentemente nella forma

x = 4z

y = 0.

−4),

Otteniamo quindi gli autovettori (1, 0, (0, 1, 0), (4, 0, 1) che for-

mano già una base ortogonale.

Osservazione. Se la base di autovettori non fosse stata ortogonale,

avremmo dovuto applicare il procedimento di Gram-Schmidt.