Appunti di Fisica - modulo 2

Formule e equazioni sui condensatori

Capacità condensatore piano: C = dL

Capacità condensatore cilindrico: C = 2π log(r / r_est / r_int)

Capacità condensatore sferico: C = 4π (r_est - r_int) / (r_est * r_int)

Condensatori in parallelo: C = C₁ + C₂ + ... + C_N

Condensatori in serie: 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + ... + 1/C_N

Energia del condensatore: U = (1/2) C V²

Forza tra armature: F = (1/2) S (condensatore piano)

Vettore polarizzazione: P = lim (∆τ → 0) (∆τ / V) (momento dipolare per unità di volume)

Suscettività dielettrica: χ = N(α + α') / (4πR + ε_def orien at 3 kTo) (N = numero di molecole per unità di volume)

Costante dielettrica relativa: ε = χ + 1

Vettore spostamento elettrico: D = εε₀ E

Cariche di polarizzazione: σ = P · n̂ (n̂: versore normale alla superficie)

Equazioni:

dell'elettrostatica in presenza di dielettrici −→−→ −→ −→∇ × ·E =0 ; E dl = 0 −→−→ −→ ·∇· D n̂dS = QD = ρ ; libΣCondizioni di continuitá all'interfaccia fra due mezzi= E ; D = DEt1 t2 n1 n2Dielettrici densi −→−→ −→ PCampo di Lorentz : E = E +m 3o− Nα1r =Formula Clausius-Mossotti : + 2 3r oEnergia elettrostatica 1 q q 11 i j = q VEnergia distribuzione discreta : U = i i2 4π r 2ij= ii,ji j (V potenziale di tutte le cariche = i)i 1Energia distribuzione continua : U = ρV dτ2 1 Q VEnergia sistema conduttori : U = i i2 i(V potenziale conduttore i con carica Q )i i−→ −→ 11 2·E D = EDensitá energia del campo : u = o r2 2Densitá energia interazione di un dielettrico in un campo esterno:−→ −→ 11 2·E D = Eu = o r2 22) Correnti

stazionarie→ → →Densità di corrente : j = nq v = ρ v→ → ∂ρ∇ · (-ρ=densità di carica)Equazione di continuità : j = ∂t-rarr;dq ·=Intensità di corrente : i = j n̂ dSdt Σ →→Legge di Ohm (forma locale) : j = σ E (σ=conduttività)per elemento finito : V = R i l l1 = ρResistenza conduttore di sezione costante : R = sσ S SN resistenze in serie : R = R + R + ... + R1 2 N11 1 1=N resistenze in parallelo : + + ... +R R R R1 2 NLeggi di Kirchhoff - legge dei nodi : i = 0 kk i R = Vlegge delle maglie : k k kk kEffetto Joule(potenza P = dW/dt,W =energia): →→ ·in forma locale : dP = j E dτ2conduttore finito : P = V i = i R33) MagnetismoMagnetostatica nel vuoto → ×-→→ v rμ o qCampo generato da una carica in moto : B = 34π r

Potenziale Vettore : A = 34π r −→−→ ·−→−→ m³( m r )µ −→o −r

Campo : B = ]5 34π r r −→−−→ ·

Energia dipolo in campo esterno : U = m B−→ −→−→ ×

Momento agente su dipolo in campo esterno : M = m B

Momento magnetico e momento angolare di una −→q−→ Lcarica q, massa m, in moto circolare uniforme: m = 2m

Precessione (di Larmor) in campo esterno:qBω =L m

Potenziale vettore −→ −→ −→∇ ×Definizione : B = A −→ −→2 −µ∇ jA =

Equazione del potenziale : o −→ ×−→−→ µ m ro

Potenziale generato da un dipolo : A = 34π r

Proprietá magnetiche della materia −→−→ ∆ m

Vettore magnetizzazione : M = lim∆τ →0 ∆τ(momento

dipolo per unità di volume) −→ −→−→ 1 χ B = χ Hmezzo isotropo e lineare : M = µ 1 + χo4 2 2 2mNZe < r > N −µ oSuscettività magnetica: χ = χ + χ + µm dia par o o6m 3 kTe−→−→ −→ 1 MVettore campo magnetico H : H = χ−→ −→ −→−→ −→ −→ H + µ M = µ HRelazione fra B e H : B = µ µo o o r: µ = χ + 1 −→r ×= M n̂Correnti di magnetizzazione : jsup −→ −→∇ ×= M: jvolEquazioni della magnetostatica nei mezzi materiali −→−→ −→ −→−→∇ × ·H = j ; H dl = ilibere conc−→ −→ −→∇· ·B =0 ; B n̂dS = 0ΣchiusaCondizioni di continuitá all’interfaccia fra due mezzi= H ; B = BH t1 t2 n1 n2Circuiti

magnetici

Legge di Hopkinson : F = RΦ

F = Ni (forza magnetomotrice)

l1 (Riluttanza)

R = µ S

Riluttanze in serie : R = R + R + ... + R1 2 N1 1 11

Riluttanze in parallelo : + + ... +=R R R R1 2 N4

4) Campi variabili

Campi quasi-statici

Legge di Faraday-Neumann −→ −→−→ ddΦ − ·· − = B n̂dS

Forma integrale : E dl = dt dt Σ−→−→ −→ ∂ B∇ × −

Forma locale : E = ∂t

Coefficiente di mutua induzione fra due circuiti :Φ = M i ; Φ = M i ; M = M2 12 1 1 21 2 12 21

Coefficiente di autoinduzione :Φ = Li 2n l S

Induttanza solenoide : L = µ o

Energia magnetica 1 Φ i

Energia sistema circuiti : U = k k2 k 2−→ −→ 11 1 B2·H B = µDensitá energia del campo : u = µ H =o r2 2 2 µ µo r1 2Li

Energia induttore : U = 2 55

5) Circuiti elettrici

Grandezze variabili sinusoidalmente e fasori :≡ [i [I]i = i cos(ωt

+ φ) exp (iφ) exp (iωt)] =o o(iωt) ˜˜ iφe ; I = i eI = Io o odq q

Circuito RC : R + = Vdt C−Carica C : q = CV (1 exp (−t/τ ) ; τ = RCexp (−t/τ )Scarica C : q = qodiCircuito RL : L + R i = Vdt V −Extracorrente chiusura : i = (1 exp (−t/τ ) ; τ = L/RRV exp (−t/τ )Extracorrente apertura : i = R2d 1i diCircuito RLC serie : L + i = V+ R2dt dt C 1√Frequenza di risonanza : ω = 2πν =r r LCImpedenze complesse :resistenza : Z = R1capacitá : Z = iωCinduttanza : Z = iωL6) Onde elettromagneticheEquazioni di MaxwellForma differenziale Forma integrale−→ −→ −→∇· ·D = ρ D n̂dS = Q nt iΣ −→−→ −→ ·∇· B n̂dS = 0B =0 Σ −→ −→ −→ −→ −→∂ B ∂ˆ∇ × − · − ·E

E dl = B ̂ dSΓ ∂t ∂t Σ → → →→ → →→ ∂∂ D ⋅ ⋅∇× H dl = D ̂ dSj ̂ dS + H = j + Γ Σ∂t