Appunti di Fisica - modulo 2

Fisica generale II - Formulario di elettromagnetismo

Elettrostatica

ε = costante dielettrica assoluta; ε_r = costante dielettrica relativa.

Nel vuoto (e nella maggior parte dei gas, condizioni STP):

• Legge di Coulomb nel vuoto: F = q₁q₂/(4πε₀r²)&hat;r
• Campo elettrostatico: E = q/(4πε₀r²)&hat;r
• Potenziale forma integrale: V(P) = -∫_P1^P₂ E·dl
• Forma differenziale: E = -∇V

Conservatività del campo elettrostatico:

• Forma integrale: ∮ E·dl = 0
• Forma differenziale: ∇×E = 0

Campo elettrostatico e potenziale generati da

• Carica isolata puntiforme:
  • E = q/(4πε₀r²)&hat;r
  • V = q/(4πε₀r)
• Distribuzione discreta di carica:
  • E = Σ(q_i/(4πε₀r_i²))&hat{r_i}
  • V = Σ(q_i/(4πε₀r_i))
• Distribuzione continua di carica:
  • E = ∫(ρ/r²)dτ
  • V = ∫(ρ/r)dτ

Dipolo elettrico

Potenziale: V = (1/(4πε₀r²))p·∇(1/r)

Campo: E = (1/(4πε₀r³))[(3(p·&hat{r})&hat{r} - p)]

Energia del dipolo in un campo esterno: U = -p·E

Forza agente su un dipolo costante: F = ∇(p·E)

Momento meccanico agente: τ = p×E

Multipoli

Il potenziale generato da una distribuzione di carica, a grande distanza dalle cariche, può venir espresso tramite uno sviluppo in serie i cui primi termini sono:

V = (1/(4πε₀r)) (Q + (p·&hat{r})/r + ...)

(Q carica totale e p momento di dipolo della distribuzione)

Distribuzione discreta e continua

• Distribuzione discreta: p = Σ(q_i r_i)
• Distribuzione continua: p = ∫((ρr)dτ)

Legge di Gauss

• Forma integrale: ∮(E·&hat{n})dS = Q_int/ε₀
• Forma differenziale: ∇·E = ρ/ε₀

Conduttori

• E_int = 0 (Un conduttore è sempre equipotenziale)
• Campo in vicinanza di un conduttore (Teorema di Coulomb): E = σ/&hat{n}(ε₀2)
• Forza per unità di superficie su un conduttore: F_dS = σ²/(2ε₀)

Equazione del potenziale elettrostatico

• Equazione di Poisson: ∇²V = -ρ/ε₀
• Equazione di Laplace: ∇²V = 0 (dove ρ = 0)

Condensatori

• Definizione di capacità: C = Q/ΔV
• Capacità conduttore piano: C = ε₀S/d
• Capacità conduttore cilindrico: C = 2πε₀L/log(r_est/r_int)
• Capacità conduttore sferico: C = 4πε₀r_intr_est/(r_est - r_int)
• Condensatori in parallelo: C = C₁ + C₂ + ... + C_N
• Condensatori in serie: 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + ... + 1/C_N

Energia del condensatore: U = 1/2 (C(ΔV)²)

Forza tra armature: F = (1/2 ε₀S)(σ²)

Dielettrici

• Vettore polarizzazione: P = lim(Δp/Δτ) con Δτ → 0 (momento dipolare per unità di volume)
• Mezzo isotropo e lineare: P = χ_eε₀E
• Suscettività dielettrica: χ_e = N[α_e + α_def + α_orient]/(3kT)
• Costante dielettrica relativa: ε_r = χ_e + 1
• Vettore spostamento elettrico: D = ε₀E + P = ε₀ε_rE

Cariche di polarizzazione: σ_pol = P·&hat{n}; ρ_pol = -∇·P

Equazioni dell'elettrostatica in presenza di dielettrici

• ∇×E = 0; ∮E·dl = 0
• ∇·D = ρ_lib
• Σ(D_n)dS = Q_D
• Condizioni di continuità all’interfaccia fra due mezzi: E_t1 = E_t2; D_n1 = D_n2

Dielettrici densi

Campo di Lorentz: E_m = E + Nα/3ε₀

Formula Clausius-Mossotti: (ε_r - 1)/(ε_r + 2) = Nα/3ε₀

Energia elettrostatica

• Energia distribuzione discreta: U = 1/2 Σ(q_iV_i)
• Energia distribuzione continua: U = 1/2 ∫(ρV)dτ
• Energia sistema conduttori: U = 1/2 Σ(Q_iV_i)

Densità energia del campo: u = 1/2 ε₀ε_rE·E

Densità energia interazione di un dielettrico in un campo esterno: u = 1/2 ε₀ε_rE·E

Correnti stazionarie

• Densità di corrente: j = nqv = ρv
• Equazione di continuità: ∇·j + ∂ρ/∂t = 0
• Intensità di corrente: i = ∫j·&hat{n}dS
• Legge di Ohm (forma locale): j = σE
• Per elemento finito: V = Ri
• Resistenza: R = ρ(l/A)