Appunti di Fisica del nucleo

FENOMENI DI SCATTERING

Per indagare in maniera appropriata le caratteristiche del nucleo grazie a fenomeni di scattering occorre

scegliere in maniera adatta la “sonda” con la quale effettuare l’esperimento: a seconda del tipo di

particelle scelto come sonda saranno diversi i tipi di interazioni coinvolte, le approssimazioni adottabili

e le dimensioni osservabili. In particolare, scegliendo come sonda un adrone (particella che avverte

l’interazione nucleare forte NF) occorrerà tenere conto della NF nel modello teorico, viceversa,

scegliendo come sonda un leptone, come un elettrone per esempio, l’unica interazione da considerare

sarà quella elettromagnetica. Riguardo le ipotesi e le approssimazioni che possono essere fatte per

descrivere un fenomeno di scattering ce ne sono varie che dipendono da sonda e bersaglio: se la massa

del bersaglio è molto più grande della massa della sonda (per esempio il caso di scattering elettrone-

nucleo) allora si può trascurare il fenomeno del rinculo del bersaglio e considerare quest’ultimo come

fermo; ancora, se la velocità della particella è molto minore della velocità della luce un’approssimazione

non relativistica potrà essere adottata e così via. Riguardo le dimensioni osservabili queste dipendono

dalla sonda; come sappiamo, infatti, ad ogni particella è associata una sua lunghezza d’onda di De

Broglie: ℎ

λ =

essa dovrà essere minore delle dimensioni che si vogliono risolvere poiché, altrimenti, gli effetti di

diffrazione andrebbero a offuscare tutte le informazioni provenienti dal fenomeno di scattering. Una

sonda piuttosto utile ai fini dell’indagine nella fisica nucleare è data da fasci di elettroni molto energetici

(~100MeV) poiché questi non avvertono l’interazione NF e hanno lunghezza d’onda di De Broglie

associate molto piccole (~10fm).

Scattering di Rutherford e proprietà classiche

Consideriamo ora un lo scattering di Rutherford ossia un fenomeno di scattering dovuto alla repulsione

elettrostatica tra due particelle cariche, nel quale non ci sono perdite di energia ma solo cambiamenti

nella direzione del moto. Supponiamo, per fissare le idee, di considerare un urto elastico in cui la sonda

è una particella alfa ed il bersaglio un nucleo. Si adottano le seguenti approssimazioni:

• Trascuro il rinculo (ipotesi vera quando la massa del bersaglio è molto maggiore della massa

|⃗ |

della sonda) ⇒ ε = ε ⇒ = |⃗ |

, ,

• Descrizione senza lo spin (ai tempi di Rutherford non si era ancora scoperto). 2

• Si considera solo l’interazione coulombiana (ipotesi non valida a priori in quanto la particella

alfa è un adrone).

• Si considera il nucleo come puntiforme.

A proposito dell’ultima ipotesi sulle dimensioni nucleari, tale fenomeno di scattering, e la teoria alla sua

base, verte proprio a verificare che le dimensioni del nucleo sono quasi puntiformi. Per trattare tale

problema si ricorre alla Teoria delle Perturbazioni; in quest’ottica la probabilità (nell’unità di tempo)

che il fenomeno di scattering tra nucleo e particella avvenga è data dalla Regola d’Oro di Fermi:

2 2

= = (

| | )

→

ℏ ̂

dove, come sempre, ( è la densità degli stati finali, =< > è l’elemento di matrice che

) | |

̂

contiene al suo interne l’operatore di perturbazione che altro non è che il potenziale () di

interazione tra sonda e bersaglio. Nel nostro caso, detta = la carica della particella alfa e =

la carica del nucleo puntiforme, si ha, nel sistema di Gauss:

̂

() = =

Le funzioni d’onda che descrivono la particella alfa nello stato iniziale e nello stato finale possono essere

approssimate a funzioni d’onda di particella libera, cioè:

1 ⃗

∙⃗

−

= | > = ℏ

√ ⃗

1 ⃗

− ∙

= | > = ℏ

√

|⃗ |

dove ⃗ = − ⃗ = = in quanto è legittimo scegliere un sistema di rifermento centrato sul nucleo

e, cioè, ⃗ = 0. Si ha dunque che l’elemento di matrice per lo scattering di Rutherford risulta:

2

(⃗ −⃗ )

1 1 ⃗⃗

∙⃗ ℏ∙⃗

̂

= ∫ = ∫

ℏ

dove per definizione ⃗ ≡ ⃗ − ⃗ è detto momento trasferito. Poiché abbiamo trascurato il fenomeno del

|⃗ |

rinculo si ha: = |⃗ = da cui si ricava:

|

ϑ

|⃗| = = 2|⃗| 2

1

Si vede che è la trasformata di Fourier della funzione . Vale, in generale, che:

−

4π

⃗⃗∙⃗

∫ = 2 2

+ μ

poiché nel nostro caso = 0 si ottiene: 2 2

4ℏ

= ∙ 2

|⃗|

da cui, inserendo tutto nella Regola d’Oro di Fermi, si ottiene:

2

2

σ 1 1

( ) = ( ) ϑ

Ω 4 ε 4

2 3

espressione nota come formula di Rutherford. C’è da specificare che il percorso da noi seguito per

giungere a questa espressione non è quello che seguì Rutherford nel 1912 quando non erano note le

leggi della meccanica quantistica, le funzioni d’onda, la Regola d’Oro e tanto altro.

Per migliorare il modello e renderlo più realistico è possibile rimuovere l’ipotesi di nucleo puntiforme;

così facendo avremo una distribuzione di carica invece che una carica puntiforme, la cui distribuzione

̂

spaziale non è nota a priori. L’operatore in questo caso diventa:

′

( )

ρ

̂

=∫

′

|⃗ |

− ⃗

si può scrivere la distribuzione di carica come:

′

( )

ρ ≡ (⃗′) = (⃗′)

dove (⃗) è un’opportuna funzione normalizzata nello spazio, cioè: (⃗′) = 1. Con questa

∫

sostituzione l’elemento di matrice diventa:

2 2

(⃗′) (⃗′)

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

′

∙⃗ ∙(⃗−⃗ ∙⃗′

)

3 3 ′ 3 3 ′

= ∫ = ∫ = ()

ℏ ℏ ℏ

′ ′

|⃗ | |⃗ |

− ⃗ − ⃗

⃗

⃗

∙⃗′

3 ′

dove, per definizione, si è posto: () = (⃗′) ed è detto fattore di forma. Poiché (⃗′) è

∫ ℏ

normalizzata vale: 2

|()|

( )=( )

Ω Ω

sperimentalmente è possibile supporre una forma ragionevole per (⃗′) e cercare un accordo con i dati

sperimentali per verificare, o eventualmente scartare, il modello scelto.

Per esempio, il caso più notevole e semplice potrebbe essere quello di immaginare che la distribuzione

di carica sia sferica; in questo caso si vede che la funzione (⃗′) e di conseguenza il fattore di forma

() risulta essere una funzione oscillante, andamento che origina dalla dipendenza angolare della

quantità di moto. La distribuzione sferica che si ottiene è:

(0)

()

=

−

1+

dove il parametro è definito dalla relazione:

− ≡ = 2 ln(9) ≅ 4,4

1 2

Guardando il grafico si evince che il parametro è

come se indicasse lo spessore della distribuzione di

carica, cioè lo spessore della crosta superficiale nel

quale la distribuzione di carica passa da circa il suo

valore massimo a circa il suo valore minimo. è circa

costante e si può stimare sperimentalmente

~0,5.

La quantità (0) introdotta decresce al crescere del numero di massa perché diminuisce il peso relativo

tra neutroni e protoni (che sono quelli che contribuiscono alla distribuzione di carica). A tal fine è

opportuno introdurre la grandezza:

(0) (0)

= ⟹ (0) = =

4

così (0) acquista un chiaro significato: essa è la densità di nucleoni nel nucleo; si verifica che la densità

di nucleoni nel nucleo () è circa costante per tutti i nuclei con ≥ 20. Tale proprietà è detta proprietà

di saturazione della materia nucleare:

(0) = ≅

essa è costante e vale circa (0) = ~0,17 che, sostituendo la massa media di un nucleone

3

14

(~1Gev) fornisce una densità di massa ~10 che è un numero mostruosamente grande.

3

Tale modello, inoltre, ci fornisce anche una definizione piuttosto naturale per il raggio atomico che

risulta essere il valore che compare sopra nell’espressione per () ovvero sia, quel valore di tale

per cui la densità di nucleoni nel nucleo dimezza. Dalla relazione sopra, poiché ∝ e, nell’ipotesi di

3

nucleo sferico, ∝ si può scrivere che: 1

= 3

0

dove la costante può essere stimata sperimentalmente e vale ≅ 1,2 .

0 0

L’ipotesi di forma sferica dei nuclei non è, ovviamente, sempre verificata. In particolare, nuclei

particolarmente pesanti possono avere delle deviazioni dalla forma sferica considerevoli. In generale,

una buona geometria con cui approssimare la forma dei nuclei è un ellissoide di rotazione. In particolare,

si dice che la forma è prolata se l’ellissoide &e