Appunti Fisica del nucleo - Interazione nucleare

SCATTERING E REAZIONI NUCLEARI

Lo scattering (o diffusione in italiano) è un caso particolare di interazione tra due particelle e, in

particolare, è un urto di tipo elastico tra le due. In fisica nucleare una qualsiasi reazione tra particelle è

detta reazione nucleare. Una generica reazione nucleare è indicata con le seguenti notazioni equivalenti:

+ ⟶ + ⟺ (, ) ⟺ (, )

dove, generalmente:

- X, Y sono dei nuclei

- a, b sono le particelle che interagiscono con i nuclei

La combinazione + è detta canale d’ingresso mentre + è detto canale d’uscita della reazione.

Dato un canale d’ingresso il canale d’uscita non è univoco e segue leggi probabilistiche ricavate dalle

leggi di conservazione.

Leggi di conservazione

Le leggi di conservazione da tenere in considerazione sono, ovviamente, le solite tre:

- Energia

- Quantità di moto

- Momento angolare totale

Conservazione dell’energia

Partiamo dall’energia. Il modo in cui formalmente scriveremo l’energia (cinetica) dipenderà

dall’approssimazione adottata (R, UR, NR) ma in generale possiamo uguagliare l’energia totale di canale

d’ingresso e canale d’uscita come segue: + = +

2

dove: = + . Si ha dunque:

2 2 2 2

+ + + = + + +

, , , ,

si definisce ora il Q-valore (o tonalità termica) della reazione la differenza tra le masse a riposo del

canale d’ingresso e del canale d’uscita: 2 2

( ) ( )

≡ + − +

che sostituito nell’equazione della conservazione dell’energia fornisce:

= + − + = −

( )

, , , , , ,

cioè, in generale, il Q-value della reazione è uguale alla differenza tra le energie di riposo di canale

d’ingresso e canale d’uscita o, in maniera equivalente, è uguale alla differenza tra le energie cinetiche tra

canale d’uscita e canale d’ingresso. 8

In generale, un cosa molto importante da fare prima di calcolare le energie è scegliere il sistema di

riferimento che si vuole adottare. Per le reazioni nucleari i sistemi di riferimento “naturali” da utilizzare

sono due: il sistema di riferimento del “laboratorio”, ovvero quello in cui il nucleo è fermo e

bombardato con un fascio di particelle , e il sistema di riferimento del centro di massa, nel quale il

centro di massa del sistema + è fermo e sia che si muovono verso il centro di massa (fasci contro-

propaganti).

Definito il sistema di riferimento il Q-value ci aiuta a definire, in base al suo segno, il tipo di reazione

nucleare:

1) = 0 ⟹ = : scattering elastico.

, ,

2 2

>

2) > 0 ⟹ : reazione esotermica.

{ >

, ,

In questo caso una parte dell’energia a riposo è convertita in energia cinetica (conversione

massa-energia) e i prodotti della reazione avranno massa minore e velocità maggiore.

2 2

<

3) < 0 ⟹ : reazione endotermica.

{ <

, ,

La situazione è esattamente opposta al caso precedente, ma con una importante differenza;

poiché vale: 2 2

= + −

⏟

, ,

<0

e poiché l’energia cinetica deve essere per forza positiva ( > 0) allora sicuramente dovrà

,

esserci un valore minimo di energia cinetica iniziale tale per cui la reazione possa avvenire.

,

Conservazione della quantità di moto

Consideriamo la quantità di moto (SI CONSERVA LA QUANTITA’ DI MOTOOOOOOOO!). Le leggi di

conservazione della quantità di moto vanno scritte lungo le due direzioni nelle quali avviene l’urto e,

soprattutto, dovranno essere coerenti con il sistema di riferimento scelto. Consideriamo il sistema di

riferimento del laboratorio (cioè quello del bersaglio fisso), le leggi di conservazione sono:

= +

0 = −

Risulta utile definire il piano di reazione che è il piano individuato dalla direzione di e dalla direzione

di indifferentemente (scelta una delle due, la direzione dell’altra giace sullo stesso piano per

conservazione della quantità di moto). La fisica del problema è invariante per rotazioni attorno al piano

di reazione se non ci sono direzioni preferenziali (come, per esempio, la direzione di polarizzazione di

un fascio polarizzato).

Conservazione di momento angolare totale, parità, carica e numero barionico

⃗ ⃗

⃗

Detto = + il momento angolare totale vale che:

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

+ = +

Anche la parità (cioè l’invarianza rispetto all’inversione di coordinate) ha una sua legge di

conservazione e nel caso in cui il processo coinvolga l’interazione nucleare forte o l’interazione

elettromagnetica la parità è conservata e vale:

(−1)

=

9

Vale anche la conservazione della carica elettrica e un’altra legge, non giustificabile tramite relazioni di

simmetria, nota come legge di conservazione del numero barionico. Questa legge ci impone di assegnare

il numero +1 alle particelle che sono dei barioni e che sono coinvolte nel processo (per esempio protoni

o neutroni), −1 agli anti-barioni (come anti-protoni o anti-elettroni) e 0 alle particelle che non sono

barioni (come gli elettroni). La somma dei numeri barionici nel canale di ingresso deve essere uguale

alla somma dei numeri barionici nel canale d’uscita.

Sezione d’urto

In parole molto povere la sezione d’urto (o cross section) di una reazione è una misura della probabilità

che tale reazione avvenga. Consideriamo un generico fascio di particella , con un flusso , che incide su

un materiale contenente nuclei X con numero di nuclei per unità di area pari a . Poniamo un rilevatore

di particelle per registrare le particelle b e, detto il numero di particelle al secondo rivelate (rate) si

può introdurre la sezione d’urto definita come:

= =

Il nostro detector, però, non misura tutte la particelle emesse dal

campione ma solo una piccola parte cioè quelle emesse in direzione

, nell’angolo solido Ω. Allora detto il numero di particelle al

secondo rivelate nell’angolo solido Ω, posso introdurre la sezione

d’urto differenziale:

⁄

Ω

= ⟹ =

Ω

Poiché l’emissione delle particelle non è isotropa bisognerà tenere conto che = (, ) e integrare

su tutti gli angoli per ottenere la sezione d’urto totale. Si ha Ω = e dunque:

=∫ Ω =

Ω Ω

In molte applicazioni di fisica nucleare, però, non ci interessa trovare solo le particelle emesse ad un

certo angolo ma, magari, anche quelle emesse ad una certa energia. A tal fine si può introdurre la sezione

d’urto due volte differenziale, cioè: 2

Ω

che tiene conto delle particelle emesse nell’angolo solido (Ω; Ω + Ω) e con energia compresa tra

( ).

; + Anche in questo caso si potrà integrare per ottenere la sezione d’urto totale:

2

= 2 ∫ ∫

Ω

Ci sono due approcci possibili per il calcolo teorico della sezione d’urto: un approccio perturbativo e uno

tramite sviluppo in onde parziali. Il primo è efficacie nel caso in cui l’interazione in gioco nel processo

sia debole (per esempio em) e, perciò, non si presta bene al caso di interazione NF. 10

Approccio perturbativo (cenni)

Si parte, come sempre in questi casi, dalla Regola d’Oro di Fermi. Supponendo che il nostro processo sia

̂=

̂ ̂

descritto da un’hamiltoniana del tipo: + , la probabilità di transizione per unità di tempo dallo

0

stato iniziale allo stato finale (che è equivalente a quello che prima avevamo chiamato rate ) vale:

→ 2 2

= (

| | )

→

ℏ

̂

dove: = ⟨| è l’elemento di matrice mentre ( è la densità degli stati . Poiché per definizione

|⟩ )

( = siamo interessati dapprima a calcolare che è il numero infinitesimo di stati che

)

corrispondono ad un valore infinitesimo di quantità di moto:

3 3

= (2 + 1)

3

(2ℏ)

(2

dove + 1) sono i gradi di libertà di spin. La densità degli stati finali si calcola quindi considerando

per ogni particella un’espressione come quella sopra e moltiplicando quest’ultima per il numero di

3 3

particelle presenti. Il termine che compare in è l’elemento differenziale di volume in

coordinate sferiche applicato al vettore , che risulta:

3 2

= Ω

scrivendo l’espressione relativistica dell’energia e facendone il differenziale:

2 2 4 2 2 2

= + ⟹ 2 = 2

3

si può ricavare l’espressione per da sostituire in . Si ottiene:

3 3

∝ Ω () ⟹ ∝

Per definizione è poi possibile calcolare ( = .

)

Sviluppo in onde parziali

Cominciamo col ricordare che lo sviluppo in onde parziali di un’onda piana viaggiante lungo z è:

∞

(2 ()

= ∑ + 1) ()