Appunti fisica del nucleo - Reazioni nucleari

INTRODUZIONE

Avevamo visto che per indicare una generica reazione si potevano usare le notazioni equivalenti:

+ → + ⟺ (, ) ⟺ (, )

dove si parla di canale di ingresso e canale d’uscita e, in particolare, dato un canale di ingresso possono

esistere più canali di uscita. La scrittura della legge di conservazione dell’energia ci permette di

introdurre la quantità Q definita come la differenza tra le masse a riposo in ingresso e in uscita che,

appunto per la conservazione dell’energia, risulta uguale alla differenze delle energie cinetiche:

2

( )

= + − − = + − +

( )

, , , ,

dove, in particolare, l’energia cinetica (tramite la velocità) dipenderà dalla scelta del sistema di

riferimento che potrà essere il sistema di riferimento del laboratorio o il sistema di riferimento del

centro di massa. Se parliamo di reazioni nucleari uno degli obbiettivi fondamentali è quello di conoscere

la sezione d’urto del processo:

(, ) =

determinata dal rapporto tra il numero di eventi nell’unità di tempo associati al canale d’uscita () e il

flusso delle particelle incidenti ( ). Abbiamo introdotto diversi esempi di sezioni d’urto: , , ,

2

, cioè sezione d’urto totale, quella riferita ai processi di scattering elastico e quella riferita ai

Ω Ω

processi di reazione, la sezione d’urto differenziale e doppio differenziale (quando consideriamo anche

la distribuzione di energia). Anche le leggi di conservazione sono ovviamente fondamentali; abbiamo

già scritto qualcosa relativo alla conservazione dell’energia quando abbiamo espresso Q:

> 0 ℎ

{ = 0 .

< 0 ℎ

Nel caso di reazioni nucleari non ci limiteremo più al solo caso in cui Q>0. Quando Q>0 sappiamo che

parte della massa è convertita in energia cinetica viceversa quando Q<0 sappiamo che parte dell’energia

cinetica è convertita in massa. Anche in questo caso utilizzeremo l’energia e la quantità di moto per

definire la cinematica delle reazioni nucleari. Altre leggi di conservazione esatte fondamentali sono, per

esempio, la conservazione del momento angolare totale, la conservazione della carica elettrica e la

conservazione del numero barionico. Nella sua versione approssimata, la conservazione del numero

barionico implica di poter utilizzare la conservazione del numero totale di nucleoni o, separatamente,

la conservazione del numero di protoni e del numero di neutroni. Tale approssimazione è valida se nel

processo non c’è sufficiente energia da poter creare anti-particelle e, allora, dovrò stabilire un valore di

soglia al di sotto della quale potrò dire numero di nucleoni piuttosto che numero di barioni. Le

condizioni affinché il numero di protoni e di neutroni sia separatamente conservato sono: 2

- Energia al di sotto dei 140 (140 è l’energia a riposo del mesone π che è l’adrone più

leggero che possiamo pensare di produrre in una reazione nucleare)

- No interazione debole (nei casi in cui è presente W il numero di nucleoni può variare)

L’altra legge è quella di conservazione del numero leptonico elettronico, muonico e tauonico

(separatamente) che ovviamente entra in gioco se sono presenti leptoni nel processo.

La legge di conservazione della parità la usiamo in tutte le reazioni nucleari dove non è presente

l’interazione debole: la parità del canale d’ingresso deve essere uguale a quella del canale d’uscita. La

parità P è un esempio di trasformazione discreta ma non è l’unico esempio di trasformazione discreta

quando si parla di leggi di conservazione: la coniugazione di carica e l’inversione temporale.

Fare l’inversione temporale significa considerare come stato iniziale quello finale e viceversa e, più in

generale, considerare la sequenza inversa dell’ordine temporale di sviluppo dinamico di un determinato

processo fisico. Per una reazione nucleare ciò significa scambiare canale d’ingresso e canale d’uscita:

+ →+ ⟺+ →+

In generale, però, fare l’inversione temporale significa anche invertire tutte le grandezze che dipendono

dal tempo, come, per esempio, la velocità:

: → −, → −,

Consideriamo l’emissione di un neutrone da parte di un nucleo; l’inversione temporale considera il

processo di cattura neutronica da parte di un nucleo: un neutrone con stessa energia cinetica ma velocità

diretta in verso opposto interagisce con il nucleo. Gli stati iniziali e finali si scambiano: nel processo di

emissione di un neutrone abbiamo nello stato iniziale nucleo e neutrone insieme mentre nello stato

finale il nucleo isolato e il neutrone libero. Viceversa, grazie all’inversione temporale, avremo

inizialmente neutrone libero e nucleo isolato e nello stato finale neutrone e nucleo insieme. Tale

esempio può essere anche esteso al caso di una particella carica; possiamo pensare, per esempio, al

processo di decadimento alfa, dove la particella alfa emessa doveva attraversa una barriera di potenziale

per uscire dalla buca attrattiva del nucleo; se consideriamo una particella carica che interagisce col

nucleo anche in questo caso avremo che la particella dovrà superare la barriera di potenziale

coulombiano (se la sua energia è minore della barriera) con determinate probabilità calcolabili in modo

simile a quanto fatto per il decadimento alfa. In generale, ci aspettiamo un collegamento tra la fisica del

processo diretto e quella del processo inverso.

Su basi estremamente generali, si può dimostrare che qualsiasi processo fisico deve essere invariante

rispetto all’applicazione simultanea delle tre operazioni discrete CPT: coniugazione di carica (C), parità

(P) e inversione temporale (T). Ciò significa che se un processo è invariante rispetto a CP allora deve

essere invariante anche rispetto a T e, analogamente, se il processo viola CP deve essere violata anche T

così che il prodotto CPT produca una invarianza complessiva. C’è una eccezione che riguarda i processi

in cui è convolta W dove sì è rilevata una debole violazione di CP e, di conseguenza di T; è un’eccezione

particolare non so nemmeno perché l’ho scritto. In generale, comunque, l’inversione temporale è una

simmetria.

Nota: L'operazione di coniugazione di carica (operazione che indichiamo con la lettera C) inverte la

carica elettrica di una particella. L’invarianza delle leggi fisiche sotto questa operazione significa che,

presa una carica q immersa in eventuali campi em e sostituita con una carica -q, se si invertono anche le

direzioni dei campi elettrici e magnetici agenti su tale carica, non si ha alcuna variazione delle leggi della

dinamica che descrivono tale carica.

Quello che si può ottenere da questa considerazione è una relazione piuttosto generale che collega la

sezione d’urto del processo diretto alla sezione d’urto del processo inverso: 3

(, ) ⟶ (, )

Questo legame può essere ricavato con l’assunzione di poter usare la teoria delle perturbazioni per

descrivere il processo in questione: 2

2

(, ) ⟹ (, ) = (, ) = = | |

ℏ

,

2

2

(, ) ⟹ (, ) = (, ) = = | |

ℏ

,

I due elementi di matrice, se l’operatore di interazione è lo stesso, differiscono solo perché si sono

scambiati gli stati iniziali e finali; ma poiché l’operatore deve essere hermitiano vale la relazione:

2 2

∗ ∗

= ⟹ =

| | | |

Le densità degli stati finali si scrivono come: 2

4

(2

= + 1)(2 + 1)

3

(2ℏ)

,

analogamente per il processo inverso dove dovremo sostituire il momento angolare di b con quello di

“a” e il momento angolare di Y con quello di X e così via. Dalla relazione per il differenziale dell’energia

= si può ricavare quanto vale , sostituirlo e, dividendo membro a membro, si può ricavare il

rapporto tra le due sezioni d’urto (che è del tutto generale e basato solamente sul fatto che l’operatore

H sia hermitiano cosa che sappiamo essere sempre vera):

2 (2

(, ) + 1)(2 + 1)

= 2 (2

(, ) + 1)(2 + 1)

tale risultato viene detto principio del bilancio dettagliato. Questa relazione ci dimostra che la fisica dei

decadimenti radioattivi sarà molto utile a spiegare i processi inversi di reazione nucleari.

MODELLI INTERPRETATIVI DELLE REAZIONI NUCLEARI

Possiamo introdurre diversi modelli interpretativi in base al tipo di reazioni nucleari considerate. Noi

considereremo due tipi di modelli:

- Reazione diretta

- Nucleo composto

Modello a reazione diretta

In questo modello si assume che le condizioni fisiche del processo siano tali per cui la particella “a”,

interagendo con il nucleo, non interagisce con tutto il nucleo ma interagisce con una porzione limitata

del nucleo, magari con un singolo nucleone o con un gruppo ristretto di nucleoni. In questo modo la

reazione può essere interpretata vedendo cosa succede nell’interazione con quel nucleone/gruppo

ristretto di nucleoni. Ѐ noto che la posizione spaziale di una particella è determinata dalla lunghezza

d’onda di de Broglie associata, che varia con l’energia: più l’energia cinetica è elevata più la lunghezza

d’onda è piccola. Ci aspettiamo, perciò, che se la lunghezza d’onda di de Broglie associata è piccola

rispetto alle dimensioni del nucleo (cioè è comparabile con le dimensioni di un nucleone/piccolo gruppo

di nucleoni) tale modello sarà una buona approssimazione del tipo di interazione. Dunque, la condizione

per cui il modello a reazione diretta è applicabile è che la lunghezza d’onda