Appunti fisica del nucleo - Modelli nucleari

MODELLO A GOCCIA DI LIQUIDO

Questo modello molto semplice permette di spiegare, mediante pochi parametri empirici, importanti

proprietà dei nuclei. Quando si parla di un liquido si descrivono caratteristiche come l’energia di

coesione o la tensione superficiale, caratteristiche che si prestano bene ad essere messe in analogia con

il sistema fisico nucleo. Il motivo principale per cui un nucleo si presta bene ad essere modellizzato con

una goccia di liquido, però, risiede nel fatto che in entrambi i modelli (goccia e nucleo) è presente

un’interazione di carattere attrattivo, intensa e a corto raggio d’azione che i costituenti del sistema

avvertono.

Un’altra importante analogia risiede nel carattere saturativo di questa interazione. Per spiegarlo

pensiamo ad un caso di interazione non saturativa come quella elettromagnetica; per esempio, per Z

particelle cariche in simmetria sferica si ha (nel sistema di Gauss):

2 2

3

= 5

cioè l’energia potenziale aumenta quadraticamente all’aumentare del numero di particelle Z a causa del

fatto che tale interazione è a lungo raggio d’azione. Ciò non è vero nel caso di interazione NF in cui ogni

nucleone interagisce solo con i suoi primi vicini a causa del corto raggio d’azione della NF. Aggiungendo

altri nucleoni il potenziale non continua ad aumentare quadraticamente (come nel caso dell’interazione

em) perché alcuni nucleoni avranno saturato la loro energia. In questo caso l’energia dipende

linearmente dal numero di costituenti del sistema: mi aspetto, dunque, che se divido l’energia del

sistema per il numero di particelle questa quantità, che è l’energia media per nucleone, resti costante.

In effetti, l’energia media per particella è costante: tale proprietà è detta proprietà di saturazione della

materia nucleare.

Per l’interazione coulombiana, invece, tale proprietà (di saturazione) non è valida ma comunque tale

interazione resta di grande rilevanza per il caso nucleare in quanto i protoni sono particelle cariche e

avvertono la repulsione coulombiana. In particolare, i protoni nel volume del nucleo avvertono una

interazione coulombiana simmetrica poiché hanno attorno a loro una distribuzione isotropa di protoni

identici cosa che, invece, non vale sulla superficie del nucleo dove la simmetria non è per nulla sferica (i

protoni sulla superficie vedono da un lato l’ “interno” del nucleo dove sono presenti altri protoni mentre

dall’altro l’ “esterno”, privo di cariche). In questi termini possiamo concludere che, come accade per i

liquidi a causa della tensione superficiale, la presenza della superficie riduce l’energia complessiva del

sistema.

Rappresentando il nucleo come una goccia di liquido elettricamente carica possiamo scrivere che:

( − 1)

2

|ε | = − −

3

1

3

dove:

- = contributo di volume. Esso deriva dal fatto che, per un nucleo sferico:

4 1

3

= π , = ⟹ ∝

3

0

3

2

- = contributo di superficie. Esso descrive la diminuzione dell’energia a causa della presenza

3

della superficie: 2

1 2

2

∝ ∝ ( ) =

3 3

(−1)

- = contributo coulombiano. Esso descrive il carattere repulsivo (che diminuisce

1

3

l’energia del sistema) dovuto all’interazione coulombiana tra i protoni del nucleo. L’origine

1

dell’andamento con il numero di massa A deriva da: = .

3

0 3

L’andamento trovato per l’energia di legame non descrive bene la curva sperimentale delle energie di

legame per nucleone in funzione del numero di massa e, in particolare, non descrive affatto bene

l’andamento della valle di stabilità. Avevamo infatti visto che per A piccoli i nuclei più stabili sono quelli

che anno ≅ mentre, all’aumentare di A, i nuclei più stabili diventano quelli che hanno > . Gli

andamenti attesi sono cioè:

|ε |

Ci aspettiamo dunque che diminuisca se ≠ ma che, allo stesso tempo, tale diminuzione diventi

sempre meno importante al crescere di A. Introduciamo a tal fine il termine:

2

(−)

- − = termine di simmetria.

Un ulteriore termine da aggiungere al fine di completare la modellizzazione è un termine che tenga conto

dei fatti sperimentalmente osservati riguardo l’andamento dell’energia di legame per nuclei p-p, d-p, p-

d e d-d; in particolare, sappiamo che i nuclei p-p hanno caratteristiche di stabilità migliori rispetto ai p-

d o d-p che a loro volta sono più stabili dei d-d:

>0 −

- δ = = termine di pairing

{

= 0 − / −

<0 −

Sperimentalmente si osserva, infatti, che:

( (

ε + 1) + ε − 1)

()

− ε ≠ 0

2

cioè a seconda che A sia pari o dispari ci sono delle differenze nell’energia di legame ε . In particolare,

per A dispari e Z pari il termine scritto sopra è positivo, poiché A+1 e A-1 sono pari e, se Z è pari, significa

che il nucleo è p-p. Viceversa, tale termine sarà negativo per nuclei d-d. Sperimentalmente si osserva

per nuclei p-p: 3

−

4

(

= − ) { 1

−

′

2

dove il pedice p nelle due costanti sperimentali sta per pairing, cioè accoppiamento. Tale termine vuole

modellizzare il vantaggio nell’accoppiamento tra coppie di nucleoni: nuclei p-p hanno tutti i nucleoni

accoppiati e una configurazione energeticamente favorevole, nuclei p-d o d-p avranno un solo nucleone

spagliato e avranno perciò energia di legame minore (in modulo) mentre nuclei d-d hanno, addirittura,

due nucleoni spagliati (protoni e neutroni non si accoppiano insieme) e perciò hanno energia di legame

ancora più piccola.

In conclusione, abbiamo che: 2

(

( − 1) − )

2

|ε | = − − − +δ

3

1

3 4

Sperimentalmente si può calcolare:

15,5 16,8 0,72 23 34

Possiamo ora esprime la massa di un qualsiasi nucleo X in funzione del numero di massa A:

|ε |

(

= + − ) −

2

dove: 2

(

( − 1) − )

2

|ε | = − − − +δ

3

1

3

tale relazione è nota come formula semi-empirica delle masse o legge di Bethe-Weizsäcker. La legge

|ε |

appena trovata permette di ricavare l’andamento per (basta dividere per A) che rispecchia piuttosto

bene l’andamento empirico riportato sopra ma che è calcolabile solo quando, oltre ad A, è noto anche Z.

Il modello a goccia di liquido ci permette di affrontare varie questioni relative all’atomo: | |

a) Determinare, fissato A, qual è la combinazione (Z, N) più stabile, cioè che massimizza e cioè,

in altri termini, ci permette di determinare la valle di stabilità. Il problema si riduce perciò alla

ricerca di un minimo:

| =0

=

b) Trovare l’andamento di , per A fissato, al variare di Z il che corrisponde a considerare famiglie

|ε |

di nuclei isobari (A fissato). In base a quanto scritto sopra, sostituendo l’espressione di

nell’espressione per la massa si ottiene un andamento parabolico del tipo:

2

= − +

1 2 3

c) Trovare l’energia di separazione definita come la minima energia necessaria per separare un

nucleone dal nucleo, cioè in generale: () (

≡ − − 1)

che nel caso particolare di neutrone o protone diventa:

() (

≡ − − 1)

() (

≡ − − 1)

in questa definizione ritroviamo il concetto di drip lines che erano quelle curve, definite nella

tavola di Segrè, tali per cui l’energia di separazione è nulla (la drip line neutronica avrà = 0

mentre quella protonica avrà = 0).

Andiamo ad analizzare nel dettaglio le tre questioni appena sollevate.

Problema a):

Occorre determinare:

| =0

=

che risolta fornisce: 2

3

≈− 2

+ 1

3 5

che è la condizione che descrive la valle di stabilità. Trovata la condizione = () che ci fa stare sulla

valle di stabilità è anche opportuno chiedersi quale sia il valore minimo dell’energia media per nucleone

|ε | |ε |

e, in particolare, quale sia la condizione che descrive la curva del grafico ( ; ):

|ε |

)=0

(

da cui si trova ≅ 62/63 che è in ottimo accordo con i dati sperimentali.

Problema b):

Abbiamo visto che, per A fissato, i nuclei isobari si distribuiscono sulla parabola di equazione:

2

() = − +

1 2 3

Occorre però distinguere due casi: quello di A pari ed A dispari. Infatti, il termine noto della parabola

sicuramente conterrà al suo interno tutti i termini della legge semi-empirica delle masse che non

dipendono da Z tra cui, sicuramente, il termine di

pairing . Per quanto detto, se A è dispari, e cioè per

nuclei p-d o d-p, tale termine è nullo (δ = 0) e di

conseguenza avremo un unico valore di e la

parabola sarà univocamente determinata. Se A è

pari, invece, a seconda del valore di Z, potremo avere

nuclei p-p o d-d che, come visto sopra, hanno valori

diversi per il termine di pairing. In particolare, se il

−

nucleo è p-p allora δ > 0 e